Vérification de la résistance à la compression
📝 Situation du Projet
Le projet "Résidence Horizon" est un ouvrage de type R+4 (Rez-de-chaussée + 4 niveaux) à usage principal d'habitation, situé en zone urbaine dense à Nantes. La structure porteuse est mixte, constituée de voiles en béton armé pour le contreventement et les séparatifs, et d'une ossature poteaux-poutres pour les grands espaces ouverts du RDC (hall d'entrée, locaux vélos, commerces). Le plancher est une dalle pleine en béton armé de 20 cm d'épaisseur à tous les niveaux.
Le poteau étudié, repéré P4, est un élément structurel critique situé au centre du Rez-de-Chaussée. Il reprend une surface de plancher considérable (environ 25 m² par niveau) sur 4 étages, cumulant ainsi des charges verticales très importantes issues des niveaux d'habitation supérieurs. Une défaillance de ce poteau entraînerait un effondrement en chaîne des planchers qu'il supporte.
En phase d'Exécution (EXE), le rôle de l'ingénieur n'est plus de concevoir, mais de valider et justifier les choix techniques avant la construction. En tant qu'ingénieur structure, vous devez vérifier la résistance du poteau P4 vis-à-vis de l'État Limite Ultime (ELU) sous les charges verticales pondérées. Vous devez explicitement contrôler le risque d'instabilité par flambement et confirmer que la section d'acier proposée par le projeteur est suffisante et réglementaire.
- Localisation
Nantes (44) - Zone de sismicité modérée, mais étude statique ici. - Maître d'Ouvrage
SCI Horizon - Exigence de durabilité 50 ans. - Lot Concerné
Gros Œuvre / Structure - Béton Coulé en Place.
"Attention, P4 est sujet au risque de flambement. Vérifiez bien son élancement géométrique (\(\lambda\)) avant de calculer la résistance. N'oubliez pas les dispositions constructives minimales (pourcentage d'acier min/max et espacement des cadres) pour garantir un bétonnage correct et éviter l'éclatement du béton."
L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif et matériel du projet. Ces données sont impératives et contractuelles pour le calcul.
📚 Référentiel Normatif
Le calcul doit être mené selon les Eurocodes, normes européennes de conception.
NF EN 1990 (Eurocode 0) Bases de calcul (Combinaisons ELU/ELS).NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) Calcul des structures en béton (Résistance, Flambement).
NF EN 206/CN Spécification du béton (Classes d'exposition).
[Art. 3.2] BÉTON ARMÉ
- Classe de résistance C25/30 : La résistance caractéristique à la compression à 28 jours est de 25 MPa sur cylindre (fck) et 30 MPa sur cube.
- Classe d'exposition XC1 : Environnement sec ou humide en permanence (Intérieur de bâtiment). Cela impose un enrobage minimal pour protéger les aciers.
- Granulats Dmax = 20mm : Dimension maximale des cailloux, influençant l'espacement des armatures.
[Art. 3.3] ARMATURES
- Nuance B500B : Aciers Haute Adhérence (HA) de limite élastique fyk = 500 MPa. La classe B indique une ductilité normale/moyenne, requise en zone sismique faible.
[Art. 4.1] POTEAUX
- Section carrée constante.
- Enrobage c_nom = 30mm : Distance entre la surface du béton et l'armature, garantissant la durabilité et la résistance au feu.
| RÉSISTANCES CARACTÉRISTIQUES (Valeurs brutes) | |
| Béton (fck) | 25 MPa (MN/m²) |
| Acier (fyk) | 500 MPa (MN/m²) |
| COEFFICIENTS DE SÉCURITÉ (Matériaux) | |
| Béton (γc) | 1.5 (Car le béton est hétérogène et fabriqué in situ) |
| Acier (γs) | 1.15 (Car l'acier est un matériau industriel contrôlé) |
📐 Géométrie et Ferraillage Proposé
- Hauteur libre (l0): 3.00 m (Hypothèse simplificatrice : Poteau bi-articulé, donc longueur de flambement = hauteur d'étage).
- Section (b x h): 30 cm x 30 cm (Surface Ac = 0,09 m²).
- Armatures Longitudinales (As): 4 HA 16. Cela correspond à 4 barres de diamètre 16mm, soit une section totale de 8.04 cm².
⚖️ Descente de Charges (Issue de la note de calcul globale)
Les charges sont transmises par les poutres et planchers des niveaux supérieurs (R+1 à R+4) sur la tête du poteau RDC.
Poids propre béton, chapes, cloisons fixes...800 kN (0.80 MN)
Personnes, meubles, cloisons mobiles (Cat A)...300 kN (0.30 MN)
- En tête : La charge est appliquée, la rotation est libre, le déplacement vertical est libre (tassement).
- En pied : La rotation est libre, mais le déplacement est bloqué.
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Effort Normal Permanent | Ng | 0.80 | MN |
| Effort Normal Variable | Nq | 0.30 | MN |
| Section Acier Proposée | As_prov | 8.04 | cm² |
E. Protocole de Résolution
Voici la méthodologie séquentielle recommandée pour vérifier ce poteau selon l'Eurocode 2.
[Étape 1 : Sollicitation ELU]
Calculer l'effort normal agissant de calcul (\(N_{\text{Ed}}\)) en combinant les charges G et Q.
[Étape 2 : Analyse du Flambement]
Déterminer l'élancement géométrique (\(\lambda\)) et vérifier s'il est nécessaire de réduire la capacité portante.
[Étape 3 : Résistance Théorique]
Calculer l'effort normal résistant (\(N_{\text{Rd}}\)) de la section béton + acier proposée.
[Étape 4 : Vérification Finale]
Comparer la sollicitation (\(N_{\text{Ed}}\)) à la résistance (\(N_{\text{Rd}}\)) pour valider le dimensionnement.
Vérification de la résistance à la compression
🎯 Objectif
L'objectif fondamental de cette étape est de déterminer la charge maximale pondérée que le poteau devra supporter durant toute sa durée de vie. Il ne s'agit pas seulement d'additionner des poids, mais de définir l'enveloppe de sécurité maximale, appelée l'État Limite Ultime (ELU), pour garantir que la structure ne s'effondrera pas, même dans des conditions défavorables.
📚 Référentiel
EN 1990 (Eurocode 0) - Bases de calculAnnexe A1 (Bâtiments)Pourquoi majorer les charges ? La charge permanente (\(G\)) est connue avec une incertitude faible (on connait le poids du béton), on la majore donc modérément par 1,35. En revanche, la charge d'exploitation (\(Q\)) est très aléatoire (foule compacte, stockage imprévu), on applique donc un coefficient de sécurité plus fort de 1,50. Cette combinaison "fondamentale" couvre statistiquement la pire situation probable sur 50 ans.
C'est cette valeur \( N_{\text{Ed}} \) (Design value of Effect) qui servira de référence absolue pour tout le reste du dimensionnement.
En calcul de structure, on distingue deux états :
1. L'ELU (État Limite Ultime) : C'est la limite avant la ruine (effondrement). On cherche la sécurité des personnes. Les coefficients sont > 1.
2. L'ELS (État Limite de Service) : C'est la limite de confort (fissuration, flèche). On utilise souvent G+Q sans majoration (coeff = 1).
Ici, pour vérifier la résistance d'un poteau, c'est l'ELU qui est dimensionnant.
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Charge Permanente G | 0.80 MN |
| Charge Variable Q | 0.30 MN |
Travaillez toujours en MégaNewtons (MN) et en mètres (m) pour les calculs de béton armé. Pourquoi ? Parce que la contrainte du béton est en MPa (MégaPascal), et 1 MPa = 1 MN/m². Cela simplifie énormément les formules et évite les erreurs de puissance de 10. (Rappel : 1 tonne ≈ 10 kN = 0.01 MN).
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous appliquons ici les coefficients partiels de sécurité définis par l'Annexe Nationale de l'Eurocode pour un bâtiment d'habitation courant. Nous décomposons le calcul pour bien isoler la part de chaque charge.
1. Identification des termesOn remplace les variables par les données de l'énoncé :
\(G = 0,80 \text{ MN}\) (Action permanente défavorable)
\(Q = 0,30 \text{ MN}\) (Action variable dominante)
Commençons par identifier les valeurs à insérer dans la formule de combinaison fondamentale :
Calcul de la combinaison ELULe calcul se décompose ainsi : la part des charges permanentes (1,08 MN) représente la majorité de la charge totale, complétée par la part variable (0,45 MN).
2. Somme FinaleInterprétation physique : Le poteau doit être dimensionné pour résister à une force axiale de 153 tonnes, et non pas simplement 110 tonnes (80+30).
La charge pondérée (1,53 MN) est environ 40% supérieure à la charge de service (1,10 MN). C'est un ordre de grandeur classique en bâtiment. Si vous trouviez 10 MN ou 0.1 MN, il y aurait une erreur d'unité manifeste.
1. Avez-vous inclus le poids propre du poteau dans G ? (Souvent oublié, il représente environ 25 kN/m3 x Vol).
2. S'il y avait de la neige ou du vent en plus, il faudrait utiliser les coefficients \( \psi_0 \) (0,5 ou 0,6) pour les charges d'accompagnement.
❓ Pourquoi 1,35 et 1,5 ?
Ces coefficients sont issus de l'analyse probabiliste semi-probabiliste (méthode aux coefficients partiels). Ils garantissent que la probabilité de dépassement de la charge est infime (indice de fiabilité \( \beta = 3,8 \) pour 50 ans).
🎯 Objectif
Déterminer la sensibilité du poteau au flambement. Le flambement est un phénomène d'instabilité géométrique : une barre comprimée mince a tendance à se courber brusquement bien avant que le matériau n'atteigne sa limite de rupture par écrasement. Nous devons quantifier cette "minceur" par le calcul de l'élancement (\( \lambda \)).
📚 Référentiel
EN 1992-1-1 Art 5.8.3Effets du second ordreL'élancement \( \lambda \) compare la hauteur effective du poteau à son épaisseur. Plus \( \lambda \) est grand, plus le poteau est "élancé" (fin) et plus le risque de flambement est élevé.
Si \( \lambda \) est très faible (< limite), on néglige le flambement (calcul en compression pure).
Si \( \lambda \) est moyen ou fort, il faut impérativement réduire la capacité portante théorique pour tenir compte de cette instabilité.
C'est le rapport entre la longueur de flambement et le rayon de giration de la section.
La longueur de flambement \( l_0 \) dépend des liaisons aux extrémités :
- Poteau encastré-libre (console) : \( l_0 = 2 \cdot L \)
- Poteau bi-articulé : \( l_0 = 1 \cdot L \) (Cas sécuritaire standard)
- Poteau bi-encastré : \( l_0 = 0,5 \cdot L \)
Dans un bâtiment courant avec des planchers béton, on prend souvent \( l_0 = 0,7 \cdot L \), mais ici nous prenons le cas conservateur \( l_0 = L \).
Pour une section rectangulaire \( b \times h \), le rayon de giration est \( i = h / \sqrt{12} \). La formule de l'élancement devient :
Où \( h \) est la dimension du côté du poteau dans la direction où le flambement est étudié.
Étape 1 : Modèle Mécanique
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Longueur Libre L | 3.00 m |
| Hypothèse de liaison | Bi-articulé (sécuritaire) \( \Rightarrow l_0 = L \) |
| Dimension h | 0.30 m |
Pour vérifier rapidement de tête : si la hauteur d'étage est plus de 10 à 12 fois l'épaisseur du poteau, attention, l'élancement commence à être significatif (\( \lambda > 35 \)).
Étape 2 : Calculs Détaillés
Application de la formule simplifiée pour section rectangulaire.
1. Calcul du numérateurLongueur de flambement majorée par racine de 12 :
\(l_0 = 3,00 \text{ m}\) et \(\sqrt{12} \approx 3,464\)
Calculons d'abord le numérateur de la formule, qui représente la longueur de flambement corrigée par le facteur de forme de la section rectangulaire (\(\sqrt{12}\)) :
Cette valeur intermédiaire (10,392) doit maintenant être rapportée à la dimension du côté du poteau (\(h\)) pour obtenir le rapport d'élancement sans dimension.
2. Division par l'épaisseurCalcul de \(\lambda\)Un élancement de 34,6 est considéré comme moyen. Il est supérieur à la limite de non-flambement (souvent autour de 20), ce qui confirme la nécessité d'appliquer une réduction de résistance dans l'étape suivante.
L'élancement est de 34,6. C'est une valeur "moyenne". Ce n'est pas un poteau court (\( \lambda < 20 \)), ni un poteau très élancé (\( \lambda > 70 \)). Il faut donc appliquer une méthode de calcul prenant en compte le flambement (comme la méthode du coefficient \( \alpha \) ou la méthode de la courbure nominale).
Une valeur de 34,6 est tout à fait standard pour un poteau d'étage courant (2,50m à 3,00m) de section carrée. Si vous aviez trouvé 5 ou 200, il y aurait une erreur.
Attention si le poteau n'est pas carré (rectangulaire b x h). Il faut toujours calculer l'élancement dans les deux directions (x et y) et retenir le \( \lambda \) le plus grand (donc avec la petite dimension h), car le poteau flambera toujours du côté le plus faible.
❓ D'où vient racine de 12 ?
C'est purement mathématique. Le rayon de giration \( i = \sqrt{I/A} \). Pour un rectangle, l'inertie \( I = bh^3/12 \) et l'aire \( A = bh \). Donc \( i = \sqrt{(bh^3/12) / (bh)} = \sqrt{h^2/12} = h / \sqrt{12} \).
🎯 Objectif
Calculer la capacité résistante maximale du poteau (\( N_{\text{Rd}} \)) en considérant les matériaux (Béton + Acier) et en appliquant une réduction de sécurité pour tenir compte du risque de flambement identifié à l'étape précédente.
📚 Référentiel
EN 1992-1-1 Section 3 (Matériaux)Section 5.8 (Analyse 2nd ordre)Un poteau est un élément mixte : le béton résiste très bien à la compression, et l'acier vient l'aider.
La résistance théorique pure (sans flambement) est la somme des forces : \( F_{\text{béton}} + F_{\text{acier}} \).
Mais à cause de l'élancement (\( \lambda=34,6 \)), le poteau va fléchir légèrement sous charge, créant un moment parasite. Pour simplifier, on applique un coefficient de réduction \( \alpha \) (ou \( k_{\text{flamb}} \)) à cette somme. Plus \( \lambda \) est grand, plus \( \alpha \) est petit (punitif).
On n'utilise jamais la résistance caractéristique (\(f_{\text{ck}}, f_{\text{yk}}\)) directement. On la divise par un coefficient de sécurité matériau :
- Béton : \( f_{\text{cd}} = f_{\text{ck}} / \gamma_c \) (avec \( \gamma_c = 1,5 \))
- Acier : \( f_{\text{yd}} = f_{\text{yk}} / \gamma_s \) (avec \( \gamma_s = 1,15 \))
1. Résistance de calcul béton : \( f_{\text{cd}} = \alpha_{\text{cc}} \cdot f_{\text{ck}} / \gamma_c \) (on prend souvent \( \alpha_{\text{cc}}=1 \) selon Annexe nationale, ici simplifié).
2. Résistance de calcul acier : \( f_{\text{yd}} = f_{\text{yk}} / \gamma_s \).
3. Résistance Totale :
Pour cet exercice pédagogique, nous utilisons une valeur approchée du coefficient de réduction \( \alpha \approx 0,70 \) correspondant à \( \lambda=34,6 \) (Méthode Faussner simplifiée).
Étape 1 : Hypothèses & Données Matériaux
| Paramètre | Calcul | Valeur |
|---|---|---|
| Section Béton (Ac) | 0,30 x 0,30 | 0,09 m² |
| Section Acier (As) | 4 HA 16 (4x2,01) | 8,04 cm² = 8,04.10⁻⁴ m² |
| fcd (Béton) | 25 MPa / 1,5 | 16,67 MPa (MN/m²) |
| fyd (Acier) | 500 MPa / 1,15 | 434,78 MPa (MN/m²) |
Pour un poteau, le pourcentage d'acier est généralement compris entre 0,2% et 4% de la section de béton. Ici : \( 8,04 / (30\times30) \approx 0,9\% \). C'est un ratio très correct et économique.
Étape 2 : Calculs Détaillés
Nous procédons en deux temps : calcul de la résistance de la section "courte" (squash load), puis application de la réduction.
1. Résistance de la section brute (\(N_{R,\text{th}}\))On somme la force capable du béton et celle de l'acier :
Calculons la force maximale que peut supporter le béton seul (Terme \(B \times f_{cd}\)) :
Contribution BétonCalculons ensuite l'apport des armatures en acier (Terme \(A_s \times f_{yd}\)) :
Contribution AcierLa somme de ces deux contributions nous donne la résistance théorique d'un poteau court (sans risque de flambement) :
Le poteau perd de la capacité car il est élancé (\( \lambda=34,6 \)). Le coefficient \( \alpha \) (estimé ici à 0,70) représente cette perte.
Enfin, appliquons le coefficient de réduction \(\alpha \approx 0,70\) lié à l'élancement \(\lambda=34,6\) calculé précédemment, pour obtenir la résistance de calcul finale :
Calcul \(N_{\text{Rd}}\)On constate que le flambement nous fait "perdre" environ 0,55 MN de capacité portante par rapport à la section brute.
3. Résultat FinalMalgré une capacité théorique de 1,85 MN, on ne peut compter que sur 1,30 MN de résistance réelle sécurisée.
Observez les contributions : Le béton fournit l'essentiel de la force (1,50 MN vs 0,35 MN pour l'acier). C'est normal, le béton travaille en compression. L'acier est là pour aider et surtout pour reprendre les moments de flexion parasites.
Le coefficient \( \alpha \) a un impact énorme (30% de perte ici). Une erreur sur la longueur de flambement à la question 2 (par exemple oublier de vérifier les liaisons) fausserait totalement ce résultat.
❓ Peut-on mettre plus d'acier pour renforcer ?
Oui, on peut augmenter la section d'acier jusqu'à 4% de la section béton. Au-delà, on risque des problèmes de bétonnage (le béton ne passe plus entre les barres). Ici nous sommes à 0,9%, nous avons de la marge.
🎯 Objectif
C'est l'heure de vérité. Nous devons confronter la demande (la charge \( N_{\text{Ed}} \) calculée en Q1) à l'offre (la résistance \( N_{\text{Rd}} \) calculée en Q3). L'objectif est de valider ou d'invalider le dimensionnement proposé et, le cas échéant, de proposer des solutions correctives concrètes.
📚 Référentiel
EN 1990 (Format de vérification)La condition fondamentale de l'Eurocode est :
Si cette inégalité est respectée, la structure est sûre (probabilité de ruine < 10^-6). Sinon, elle est dangereuse. En tant qu'ingénieur, si \( N_{\text{Ed}} > N_{\text{Rd}} \), vous avez le devoir d'alerter et de redimensionner.
L'analyse ne s'arrête pas au constat "NOK" : il faut quantifier le déficit pour savoir quelle mesure correctrice appliquer (ajout léger d'acier ou changement radical de section).
Même si le calcul passe, il faudrait aussi vérifier l'espacement des cadres (st) pour empêcher le flambement local des barres longitudinales, et s'assurer que l'enrobage (30mm) est respecté.
Étape 1 : Récapitulatif des Données Techniques
| Type | Valeur | Source |
|---|---|---|
| Sollicitation (\(N_{\text{Ed}}\)) | 1,53 MN | Question 1 |
| Résistance (\(N_{\text{Rd}}\)) | 1,30 MN | Question 3 |
Calculez toujours le ratio \( N_{\text{Ed}} / N_{\text{Rd}} \).
- Si < 1 : OK.
- Si > 1 : NOK.
Ce pourcentage indique l'ampleur du problème.
Étape 2 : Calcul de Vérification
Confrontation des résultats.
1. Comparaison DirecteInégalité de sécurité :
Confrontons la demande (\(N_{\text{Ed}}\)) à la capacité (\(N_{\text{Rd}}\)) :
ComparaisonQuantifions précisément le déficit de résistance pour orienter les mesures correctives :
Le taux de travail de 118% indique une surcharge critique. La structure est instable sous les charges de calcul réglementaires.
3. Résultat FinalLa section proposée (30x30 avec 4HA16) est INSUFFISANTE. Le poteau est sous-dimensionné de près de 20%. Il y a un risque réel de rupture à l'ELU.
Le déficit est de 0,23 MN.
Solution 1 (Acier) : Ajouter 0,23 MN avec de l'acier demanderait environ 5 à 6 cm² de plus (soit passer de 4HA16 à 4HA20 ou 8HA14). C'est faisable.
Solution 2 (Béton) : Augmenter la section à 35x35 cm augmenterait la part béton de manière significative et réduirait l'élancement \( \lambda \), augmentant donc le coefficient \( \alpha \). C'est souvent la solution la plus robuste.
Ne jamais "bidouiller" les coefficients de sécurité pour faire passer le calcul. Si ça ne passe pas, on renforce. La sécurité des occupants en dépend.
❓ Pourquoi ne pas changer la qualité du béton ?
Passer d'un C25/30 à un C30/37 augmenterait la résistance \( f_{\text{cd}} \) de 16,6 à 20 MPa. Sur la section 30x30, cela apporterait \( 0,09 \times (20-16,6) = 0,30 \) MN de gain. Cela suffirait mathématiquement ici (gain > 0,23 MN déficit), mais attention à la disponibilité du béton C30 sur les petits chantiers.
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