Vérification de la Résistance à la Compression en Béton Armé
Contexte : Comment un poteau en béton armé supporte-t-il une charge ?
Les poteaux sont les éléments verticaux qui transmettent les charges des planchers vers les fondations. En béton armé, un poteau travaille principalement en compression. Le béton est excellent pour résister à la compression, mais il est renforcé par des barres d'acier longitudinales qui l'aident à supporter la charge et augmentent sa ductilité. La capacité portante d'un poteau, ou sa résistance à la compressionForce de compression maximale qu'un élément peut supporter avant la ruine. Elle est calculée à l'État Limite Ultime (ELU)., est la somme des contributions du béton et de l'acier. Calculer cette résistance est une étape fondamentale pour s'assurer que le poteau ne s'écrasera pas sous les charges de calcul.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous montrera comment calculer la résistance ultime à la compression centrée (\(N_{Rd}\)) d'un poteau en béton armé. Nous déterminerons d'abord les résistances de calcul des matériaux, puis nous les combinerons pour trouver la force maximale que la section peut supporter, en négligeant les effets de flambement (poteau court).
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le rôle combiné du béton et de l'acier en compression.
- Calculer les résistances de calcul des matériaux (\(f_{cd}\) et \(f_{yd}\)).
- Déterminer l'aire nette du béton et l'aire d'acier.
- Calculer l'effort normal résistant ultime (\(N_{Rd}\)) d'un poteau court.
- Vérifier les pourcentages d'armatures minimum et maximum réglementaires.
Données de l'étude
Section du poteau en béton armé
- Poteau : section carrée \(40 \, \text{cm} \times 40 \, \text{cm}\)
- Béton : Classe C30/37 (\(f_{\text{ck}} = 30 \, \text{MPa}\))
- Acier : nuance S500 B (\(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\))
- Armatures longitudinales : 8 barres HA 20 (\(A_s\))
- Coefficients de sécurité (ELU) : \(\gamma_c = 1.5\), \(\gamma_s = 1.15\)
- Coefficient pour la résistance en compression du béton : \(\alpha_{cc} = 0.85\) (pour charges de longue durée)
Questions à traiter
- Calculer les résistances de calcul du béton (\(f_{cd}\)) et de l'acier (\(f_{yd}\)).
- Calculer l'effort normal résistant ultime du poteau, \(N_{Rd}\).
Correction : Vérification de la résistance à la compression en béton armé
Question 1 : Calculer les résistances de calcul des matériaux
Principe avec image animée (le concept physique)
Les résistances des matériaux données (\(f_{ck}\) pour le béton, \(f_{yk}\) pour l'acier) sont des valeurs "caractéristiques", qui ont une probabilité de 5% de ne pas être atteintes. Pour les calculs de sécurité à l'ELU, on utilise des résistances de "calcul" (\(f_{cd}\), \(f_{yd}\)), qui sont obtenues en divisant les valeurs caractéristiques par des coefficients de sécurité partiels (\(\gamma_c\) et \(\gamma_s\)). Cela garantit une marge de sécurité vis-à-vis des incertitudes sur la qualité des matériaux.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Les coefficients partiels de sécurité \(\gamma\) sont définis dans les Eurocodes. Pour le béton, \(\gamma_c = 1.5\) en situation durable, et pour l'acier, \(\gamma_s = 1.15\). La valeur pour le béton est plus élevée car sa mise en œuvre sur chantier est sujette à plus d'aléas que la production industrielle de l'acier. De plus, la résistance du béton en compression est affectée par la durée d'application des charges, ce qui est pris en compte par le coefficient \(\alpha_{cc}\) (généralement 0.85 ou 1.0).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Tous les calculs à l'État Limite Ultime (ELU) doivent impérativement être menés avec les résistances de calcul des matériaux, jamais avec leurs résistances caractéristiques.
Normes (la référence réglementaire)
Les formules pour les résistances de calcul sont données dans l'Eurocode 2, sections 3.1.6 pour le béton (formule 3.15) et 3.2.7 pour l'acier (formule 3.8).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On se place dans une situation de projet durable et courante. Le coefficient \(\alpha_{cc}\) est pris égal à 0.85 pour tenir compte des effets à long terme.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Résistance de calcul du béton en compression :
Résistance de calcul de l'acier :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\), \(\gamma_c = 1.5\), \(\alpha_{cc} = 0.85\)
- \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\), \(\gamma_s = 1.15\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la résistance du béton :
Calcul de la résistance de l'acier :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Dans nos calculs de sécurité, nous considérerons que le béton peut résister à 17.0 MPa et l'acier à 434.8 MPa. Ces valeurs réduites intègrent les marges de sécurité réglementaires.
Point à retenir : La résistance de calcul est la résistance caractéristique divisée par un coefficient de sécurité.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Cette étape est un prérequis à tout calcul à l'ELU. Elle permet de définir les propriétés des matériaux à utiliser dans les formules de résistance.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Oublier le coefficient \(\alpha_{cc}\) : Pour la compression du béton, il ne faut pas oublier le coefficient \(\alpha_{cc}\) qui prend en compte les effets à long terme. Son omission conduirait à une surestimation de la résistance du béton.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : Quelle serait la résistance de calcul \(f_{cd}\) pour un béton C25/30 ?
Question 2 : Calculer l'effort normal résistant ultime du poteau, \(N_{Rd}\)
Principe avec image animée (le concept physique)
La résistance totale du poteau en compression centrée est la somme des résistances de ses deux composants. On calcule la force que peut reprendre le béton seul (son aire nette multipliée par sa résistance de calcul \(f_{cd}\)) et on y ajoute la force que peuvent reprendre les armatures en acier (leur aire totale multipliée par leur résistance de calcul \(f_{yd}\)).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Cette formule simple suppose que la déformation est uniforme sur toute la section (compression centrée) et que le béton et l'acier atteignent simultanément leur déformation ultime. On doit utiliser l'aire "nette" du béton, c'est-à-dire l'aire totale de la section (\(A_g\)) de laquelle on a soustrait l'aire occupée par les barres d'acier (\(A_s\)).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Cette formule est la base du dimensionnement des poteaux. Elle montre bien la collaboration entre les deux matériaux : le béton reprend la majorité de l'effort grâce à sa grande surface, et l'acier apporte un complément de résistance significatif.
Normes (la référence réglementaire)
La formule de calcul de l'effort normal résistant pour une section en compression centrée est donnée dans l'Eurocode 2, section 6.1, formule (6.10).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le poteau est suffisamment court pour que le risque de flambement (instabilité géométrique) soit négligeable. Pour les poteaux élancés, des calculs plus complexes sont nécessaires.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Effort normal résistant ultime :
Aire nette du béton :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Section \(400 \, \text{mm} \times 400 \, \text{mm}\)
- Aire d'acier pour 8 HA 20 : \(A_s = 8 \times 314 = 2512 \, \text{mm}^2\)
- \(f_{cd} = 17.0 \, \text{MPa}\)
- \(f_{yd} = 434.8 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de l'aire totale et de l'aire nette de béton :
Calcul de la résistance ultime :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La résistance ultime du poteau est de 3769.5 kN (environ 377 tonnes). On note que le béton reprend environ 71% de la charge totale, et l'acier les 29% restants. C'est une répartition typique qui montre la contribution significative des armatures.
Point à retenir : La résistance d'un poteau est la somme de la résistance du béton (sur son aire nette) et de la résistance de l'acier.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Ce calcul donne la capacité portante maximale du poteau. C'est la valeur de référence à laquelle on comparera l'effort de compression ultime agissant (\(N_{Ed}\)) pour valider le dimensionnement de l'élément.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Oublier de soustraire l'aire d'acier : Il faut bien utiliser l'aire nette de béton (\(A_c\)) et non l'aire brute (\(A_g\)) pour calculer la contribution du béton, car l'emplacement des aciers est occupé par de l'acier, pas par du béton.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : Quelle serait la résistance \(N_{Rd}\) (en kN) si le poteau n'avait que 4 HA 20 (\(A_s = 1256 \, \text{mm}^2\)) ?
Mini Fiche Mémo : Résistance en Compression d'un Poteau
| Étape | Formule Clé & Objectif |
|---|---|
| 1. Résistances de Calcul | \( f_{cd} = \alpha_{cc} f_{ck}/\gamma_c \) et \( f_{yd} = f_{yk}/\gamma_s \) Déterminer les résistances des matériaux pour le calcul ELU. |
| 2. Aires Nettes | \( A_c = A_g - A_s \) Calculer l'aire de béton qui travaille réellement. |
| 3. Résistance Ultime | \( N_{Rd} = A_c f_{cd} + A_s f_{yd} \) Sommer les contributions du béton et de l'acier. |
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on augmente la résistance du béton (on passe de C25/30 à C35/45), la résistance du poteau \(N_{Rd}\) va :
2. La vérification de la résistance à la compression d'un poteau se fait à :
- État Limite Ultime (ELU)
- État qui correspond à la ruine ou à un grand endommagement de la structure. Les calculs à l'ELU visent à garantir la sécurité structurale.
- Résistance Caractéristique (\(f_{ck}\), \(f_{yk}\))
- Valeur de la résistance d'un matériau ayant une probabilité de 95% d'être atteinte ou dépassée. C'est la valeur garantie par le fabricant.
- Résistance de Calcul (\(f_{cd}\), \(f_{yd}\))
- Résistance caractéristique divisée par un coefficient de sécurité partiel. C'est la valeur utilisée dans les calculs de résistance à l'ELU.
- Flambement
- Phénomène d'instabilité d'un élément élancé soumis à la compression, qui se déforme brutalement par flexion latérale bien avant d'atteindre la limite d'écrasement du matériau.
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