Travaux de consolidation d’un vieux pont

1. Évaluation des besoins en matériaux

1.1. Béton pour les piliers

Objectif :
Calculer le volume total de béton nécessaire pour renforcer 20 piliers, chacun ayant une forme cylindrique.

a) Pour un pilier

Données :
Forme : cylindre
Diamètre = 2 m ⟹ Rayon, \(r = 1\,\text{m}\)
Hauteur, \(h = 10\,\text{m}\)

Formule utilisée :
Volume d’un cylindre : \[ V = \pi \times r^2 \times h \]

Calcul :
\[ V_{\text{pilier}} = \pi \times (1\,\text{m})^2 \times 10\,\text{m} \] \[ V_{\text{pilier}} = 10\pi\,\text{m}^3 \]
Chaque pilier nécessite \(10\pi\,\text{m}^3\) de béton.

b) Pour 20 piliers

Données :
Nombre de piliers = 20

Formule utilisée :
\[ V_{\text{total}} = \text{nombre de piliers} \times V_{\text{pilier}} \]

Calcul :
\( V_{\text{total}} = 20 \times 10\pi = 200\pi\,\text{m}^3 \)
Le volume total de béton à fournir est de \(200\pi\,\text{m}^3\).
En prenant \(\pi \approx 3,1416\) : \[ V_{\text{total}} \approx 200 \times 3,1416 \] \[ V_{\text{total}} = 628,32\,\text{m}^3 \]

1.2. Acier pour les supports

Objectif :
Déterminer la quantité d’acier nécessaire pour 10 supports, chacun constitué de 4 barres.

a) Pour une barre d’acier

Données :
Longueur, \(L = 12\,\text{m}\)
Diamètre = 10 cm = 0,10 m ⟹ Rayon, \(r = 0,05\,\text{m}\)

Formule utilisée :
Volume d’une barre (cylindre) : \[ V = \pi \times r^2 \times L \]

Calcul :
\[ V_{\text{barre}} = \pi \times (0,05\,\text{m})^2 \times 12\,\text{m} \]
\[ (0,05\,\text{m})^2 = 0,0025\,\text{m}^2 \] donc \[ V_{\text{barre}} = \pi \times 0,0025 \times 12 \] \[ V_{\text{barre}} = \pi \times 0,03\,\text{m}^3 \]
\[ V_{\text{barre}} \approx 3,1416 \times 0,03 \] \[ V_{\text{barre}} \approx 0,09425\,\text{m}^3 \]

b) Pour un support complet

Données :
Nombre de barres par support = 4

Formule utilisée :
\[ V_{\text{support}} = \text{nombre de barres} \times V_{\text{barre}} \]

Calcul :
\[ V_{\text{support}} = 4 \times 0,09425\,\text{m}^3 \] \[ V_{\text{support}} \approx 0,377\,\text{m}^3 \]

c) Pour 10 supports

Données :
Nombre de supports = 10

Calcul du volume total :
\[ V_{\text{acier total (m}^3\text{)}} = 10 \times V_{\text{support}} \] \[ V_{\text{acier total (m}^3\text{)}} \approx 10 \times 0,377 \] \[ V_{\text{acier total (m}^3\text{)}} \approx 3,77\,\text{m}^3 \]

Conversion en masse (tonnes) :
Densité de l’acier ≈ 7850 kg/m³.
\[ \text{Masse}_{\text{total}} = 3,77\,\text{m}^3 \times 7850\,\text{kg/m}^3 \] \[ \text{Masse}_{\text{total}} \approx 29\,584,5\,\text{kg} \]
Conversion en tonnes : \[29\,584,5\,\text{kg} \div 1000 \approx 29,58\,\text{tonnes} \]

Interprétation :
La quantité totale d’acier nécessaire est d’environ 29,58 tonnes.

2. Estimation des coûts

2.1. Coût du béton

Données :
Prix du béton = 75 €/m³
Volume de béton requis = \(200\pi\,\text{m}^3 \approx 628,32\,\text{m}^3\)

Formule utilisée :
\[ \text{Coût} = \text{Volume} \times \text{Prix unitaire} \]

Calcul :
\[ \text{Coût béton} = 628,32\,\text{m}^3 \times 75\,\text{€/m}^3 \] \[ \approx 47\,124\,\text{€} \]

2.2. Coût de l’acier

Données :
Prix de l’acier = 500 €/tonne
Masse d’acier requise = 29,58 tonnes

Calcul :
\[ \text{Coût acier} = 29,58\,\text{tonnes} \times 500\,\text{€/tonne} \] \[ \text{Coût acier} \approx 14\,790\,\text{€} \]

2.3. Coût total des matériaux

Formule utilisée :
\[ \text{Coût total} = \text{Coût béton} + \text{Coût acier} \]

Calcul :
\[ \text{Coût total} \approx 47\,124\,\text{€} + 14\,790\,\text{€} \] \[ \text{Coût total} \approx 61\,914\,\text{€} \]

Interprétation :
Le coût total estimé des matériaux est d’environ 61 914 €.

3. Planification du temps de construction

3.1. Temps pour couler le béton

Données :
Capacité de coulage = 10 m³ de béton par jour
Volume à couler = 628,32 m³

Formule utilisée :
\[ \text{Nombre de jours} = \frac{\text{Volume total}}{\text{Capacité journalière}} \]

Calcul :
\[ \text{Durée béton} = \frac{628,32\,\text{m}^3}{10\,\text{m}^3/\text{jour}} \] \[ \text{Durée béton} \approx 62,83\,\text{jours} \]
On arrondit à 63 jours.

3.2. Temps pour installer l’acier

Données :
Capacité d’installation = 5 tonnes d’acier par jour
Masse d’acier nécessaire = 29,58 tonnes

Calcul :
\[ \text{Durée acier} = \frac{29,58\,\text{tonnes}}{5\,\text{tonnes/jour}} \] \[ \text{Durée acier} \approx 5,92\,\text{jours} \]
On arrondit à 6 jours.

Interprétation :
La mise en œuvre du béton devrait prendre environ 63 jours, tandis que l’installation de l’acier environ 6 jours.

4. Impact sur le trafic

Objectif :
Évaluer l’impact sur le trafic lorsque le pont subira une fermeture partielle d’une voie sur deux.

Données :
Nombre de voies initiales = 2
Réduction : fermeture d’une voie ⟹ circulation sur l’autre seule
Volume de trafic quotidien = 10 000 véhicules

Calcul :
Si seule une voie est ouverte, la capacité est réduite de 50 % :
\[ \text{Véhicules circulant} = \frac{10\,000}{2} \] \[ \text{Véhicules circulant} = 5\,000\,\text{véhicules par jour} \]

Interprétation :
La fermeture partielle du pont réduira le trafic à environ 5 000 véhicules par jour, ce qui correspond à une baisse de 50 %..

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