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Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois

Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois (Génie Civil)

Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois

Contexte : Le dimensionnement d'un plancher en bois.

Dans la construction de bâtiments résidentiels, les planchers sont souvent constitués de solivesPièce de charpente, poutre secondaire posée horizontalement en appui sur les murs ou les poutres principales pour constituer le support d'un plancher. en bois reposant sur des murs ou des poutres porteuses. Ces solives doivent non seulement être assez résistantes pour ne pas casser sous le poids des occupants, des meubles et des cloisons (critère de résistanceCapacité d'un matériau ou d'une structure à supporter des charges sans se rompre. On la vérifie en comparant la contrainte maximale à la résistance de calcul du matériau.), mais aussi assez rigides pour ne pas fléchir excessivement et provoquer une sensation d'inconfort ou des fissures dans les finitions (critère de rigiditéCapacité d'une structure à résister à la déformation sous l'effet des charges. Elle est quantifiée par la flèche, qui doit rester dans des limites admissibles pour le confort et la durabilité. ou de flècheDéplacement transversal d'un point de la ligne moyenne d'une poutre sous l'effet d'un chargement. La flèche maximale est une valeur clé pour le dimensionnement au regard du confort et de l'aptitude au service.). Cet exercice vous guide dans la vérification complète d'une solive de plancher en bois selon les principes de l'Eurocode 5Norme européenne (EN 1995) qui définit les règles de conception et de calcul pour les structures en bois. Elle est la référence pour le dimensionnement en France et en Europe., la norme européenne pour les structures en bois.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une situation très concrète du métier d'ingénieur en structure bois. Contrairement à l'acier, le bois est un matériau dont les propriétés dépendent de la durée de la charge et de l'humidité ambiante. Nous allons donc introduire des coefficients spécifiques (`k_mod`) pour en tenir compte. De plus, la vérification de la flèche est souvent plus dimensionnante que la résistance pour les planchers en bois.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le moment fléchissant maximal dû à une charge uniformément répartie.
  • Déterminer la contrainte de flexion et la comparer à la résistance de calcul du bois.
  • Introduire les notions de classe de service et de coefficient `k_mod` (Eurocode 5).
  • Calculer la flèche maximale d'une poutre sous charge répartie.
  • Vérifier le critère de rigidité en comparant la flèche à une limite admissible (ex: L/300).

Données de l'étude

On étudie une solive de plancher d'habitation en bois de classe de résistance C24Classification normalisée du bois de construction (ici, résineux) garantissant des propriétés mécaniques minimales. C24 signifie une résistance caractéristique à la flexion de 24 MPa.. La solive est simplement appuyée à ses deux extrémités et supporte une charge d'exploitation uniformément répartieCharge variable appliquée sur une surface (ex: personnes, mobilier dans un logement), exprimée en force par unité de longueur (kN/m) pour le calcul d'une poutre..

Schéma de la solive et de son chargement
q L = 4.0 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée entre appuis \(L\) 4.0 \(\text{m}\)
Largeur de la section \(b\) 75 \(\text{mm}\)
Hauteur de la section \(h\) 225 \(\text{mm}\)
Charge répartie (ELU) \(q\) 2.5 \(\text{kN/m}\)
Classe de résistance du bois C24
Classe de serviceClassification selon l'Eurocode 5 qui définit l'environnement d'humidité de la structure. Classe 1 : intérieur chauffé. Classe 2 : sous abri non chauffé. Classe 3 : exposé aux intempéries. 1 (intérieur chauffé)

Questions à traiter

  1. Calculer le moment fléchissant maximal de calcul \(M_{\text{d}}\) dans la solive.
  2. Vérifier la résistance de la solive à la flexion.
  3. Calculer la flèche maximale \(f_{\text{max}}\) au centre de la solive.
  4. Vérifier que la condition de rigidité (flèche) est respectée.

Les bases de la RDM pour les Structures Bois

Le calcul des structures en bois suit des principes de base de la RDM, mais avec des spécificités liées au matériau.

1. Le Moment FléchissantEffort interne dans une poutre qui mesure la tendance des forces externes à la faire plier ou fléchir. Il est maximal là où la contrainte de flexion est la plus forte. pour une Charge Répartie :
Contrairement à une charge ponctuelle, une charge uniformément répartie (notée \(q\), en N/m) sollicite la poutre sur toute sa longueur. Le diagramme de moment fléchissant est une parabole. Le moment maximal se situe toujours au milieu de la travée et sa valeur est : \[ M_{\text{max}} = \frac{q \cdot L^2}{8} \]

2. Résistance de Calcul du BoisValeur de résistance utilisée dans les calculs de sécurité, obtenue en appliquant des coefficients de sécurité (γM) et de condition d'usage (k_mod) à la résistance caractéristique du matériau. (Eurocode 5) :
La résistance du bois n'est pas une valeur unique. Elle dépend des conditions. La résistance de calcul en flexion, \(f_{\text{m,d}}\), est obtenue à partir de la résistance caractéristique \(f_{\text{m,k}}\) (donnée par la classe, ex: 24 MPa pour C24) en appliquant des coefficients : \[ f_{\text{m,d}} = \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{m,k}}}{\gamma_{\text{M}}} \] Où \(k_{\text{mod}}\) dépend de la durée de la charge et de la classe de service (humidité), et \(\gamma_{\text{M}}\) est un coefficient de sécurité partiel sur le matériau (généralement 1.3 pour le bois massif).

3. FlècheDéplacement transversal d'un point de la ligne moyenne d'une poutre sous l'effet d'un chargement. La flèche maximale est une valeur clé pour le dimensionnement au regard du confort et de l'aptitude au service. pour une Charge Répartie :
La formule de la flèche est également différente. Pour une charge uniformément répartie \(q\), la flèche maximale au centre de la poutre est donnée par : \[ f_{\text{max}} = \frac{5 \cdot q \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I} \] On remarque l'influence très forte de la portée, à la puissance 4 !

Correction : Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois

Question 1 : Calculer le moment fléchissant maximal de calcul (Md)

Principe (le concept physique)

Le moment fléchissant maximal est l'effort interne de "pliage" le plus intense que la solive subit. Pour une charge répartie comme celle d'un plancher, cet effort maximal se produit exactement au milieu de la portée. C'est ce point qui est le plus susceptible de céder par flexion, c'est donc là que nous devons faire notre première vérification de résistance.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le diagramme de l'effort tranchant pour une charge répartie est linéaire, partant de \(qL/2\) à un appui, s'annulant au milieu, et atteignant \(-qL/2\) à l'autre appui. Le moment fléchissant étant l'intégrale de l'effort tranchant, son diagramme est une parabole. Le maximum de cette parabole se trouve là où sa dérivée (l'effort tranchant) est nulle, c'est-à-dire au milieu de la poutre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez une étagère très chargée de livres. Elle ploie visiblement au milieu. C'est une visualisation directe du moment fléchissant maximal. La formule \(qL^2/8\) capture cet effet : plus la charge \(q\) est lourde et surtout plus la portée \(L\) est grande (au carré !), plus l'étagère "souffre" en son centre.

Normes (la référence réglementaire)

La formule \(M = qL^2/8\) est un résultat fondamental de la statique pour les poutres isostatiques. Elle est la base de tous les calculs de flexion pour les charges réparties dans les normes de construction, y compris l'Eurocode 5.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une charge uniformément répartie \(q\) sur une poutre de portée \(L\) sur appuis simples :

\[ M_{\text{d}} = \frac{q_{\text{d}} \cdot L^2}{8} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge est parfaitement et uniformément répartie sur toute la longueur de la solive et que les appuis sont de type "simple" (rotule), ne reprenant aucun moment.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge répartie de calcul, \(q_{\text{d}} = 2.5 \, \text{kN/m}\)
  • Portée entre appuis, \(L = 4.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La cohérence des unités est capitale. Le plus simple est de tout convertir en N et mm avant de commencer. Une charge de 2.5 kN/m équivaut à 2500 N / 1000 mm, soit \(q = 2.5 \, \text{N/mm}\). Une portée de 4.0 m devient \(L = 4000 \, \text{mm}\). Le résultat du moment sera alors directement en N·mm, ce qui est parfait pour le calcul de contrainte en MPa.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme Attendu du Moment Fléchissant
Md = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités :

\[ q_{\text{d}} = 2.5 \, \text{kN/m} = 2.5 \, \text{N/mm} \]
\[ L = 4.0 \, \text{m} = 4000 \, \text{mm} \]

2. Application de la formule :

\[ \begin{aligned} M_{\text{d}} &= \frac{2.5 \, \text{N/mm} \cdot (4000 \, \text{mm})^2}{8} \\ &= \frac{2.5 \cdot 16,000,000}{8} \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 5,000,000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

Ce qui équivaut à \(5.0 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Schéma (Après les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (Parabolique)
Md = 5.0 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur de 5.0 kN·m représente la sollicitation maximale que la poutre doit endurer. C'est la valeur de référence que nous utiliserons pour vérifier si la section de bois choisie est suffisamment robuste.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas oublier le carré sur la longueur \(L\). C'est une erreur fréquente qui sous-estimerait massivement le moment. Vérifiez également que vous utilisez bien la charge répartie \(q\) et non une force totale \(Q = qL\), ce qui conduirait à une formule différente.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Pour une charge répartie \(q\), le moment max est \(M = qL^2/8\).
  • Le moment est maximal au centre de la poutre.
  • La cohérence des unités (ex: N et mm) est essentielle pour la suite des calculs.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Si la poutre était encastrée à ses deux extrémités au lieu d'être simplement appuyée, le moment maximal au centre serait réduit à \(qL^2/24\), mais des moments négatifs de \(qL^2/12\) apparaîtraient aux appuis. C'est le principe de l'hyperstaticité : les encastrements "aident" le milieu de la poutre, mais créent de nouvelles contraintes aux extrémités.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette charge "q" inclut-elle le poids propre de la poutre ?

Dans les calculs de dimensionnement, la charge \(q\) est la somme de toutes les charges : permanentes (poids propre, poids des revêtements de sol...) et d'exploitation (personnes, meubles...). Pour cet exercice, on suppose que la valeur de 2.5 kN/m est une charge de calcul qui inclut déjà tous ces éléments et les coefficients de sécurité réglementaires.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment fléchissant maximal de calcul est de 5,000,000 N·mm (ou 5.0 kN·m).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée était de 5.0 m au lieu de 4.0 m, quel serait le nouveau moment maximal en kN·m ?

Question 2 : Vérifier la résistance de la solive à la flexion

Principe (le concept physique)

Cette étape consiste à comparer la "demande" (la contrainte générée par les charges) à la "capacité" (la résistance du matériau). La contrainte maximale (\(\sigma_{\text{m,d}}\)) se produit sur les fibres extrêmes de la poutre (en haut et en bas). On la compare à la résistance de calcul du bois (\(f_{\text{m,d}}\)), qui tient compte de la nature du matériau et des conditions d'utilisation. Si la contrainte est inférieure à la résistance, la solive est considérée comme sûre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le module de flexionPropriété géométrique d'une section (notée W) qui représente son efficacité à résister à la flexion. Pour une section rectangulaire, W = bh²/6. Plus W est grand, plus la contrainte est faible pour un même moment. \(W_{\text{y}}\) est une propriété purement géométrique qui représente l'efficacité de la section à résister au moment fléchissant. Une section avec un grand \(W_{\text{y}}\) développera des contraintes plus faibles pour un même moment appliqué. La formule \(\sigma = M/W\) est une simplification directe de \(\sigma = My/I\), où \(W = I/y_{\text{max}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à la résistance \(f_{\text{m,d}}\) comme à la "vitesse maximale autorisée" pour la contrainte dans le bois. Notre calcul de \(\sigma_{\text{m,d}}\) nous donne la "vitesse réelle" de la contrainte. La vérification consiste simplement à s'assurer que l'on ne dépasse pas la limite autorisée, en gardant une marge de sécurité.

Normes (la référence réglementaire)

La méthode de calcul de \(f_{\text{m,d}}\) est directement issue de l'Eurocode 5 (NF EN 1995-1-1). Les valeurs de \(f_{\text{m,k}}\) sont données dans le tableau des classes de résistance (Tableau 1 de la norme), et les valeurs de \(k_{\text{mod}}\) sont dans le Tableau 3.1. Le coefficient \(\gamma_{\text{M}}\) est un coefficient de sécurité partiel fondamental des Eurocodes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le critère de vérification est :

\[ \sigma_{\text{m,d}} \le f_{\text{m,d}} \]

Avec la contrainte de flexion calculée par :

\[ \sigma_{\text{m,d}} = \frac{M_{\text{d}}}{W_{\text{y}}} \quad \text{où} \quad W_{\text{y}} = \frac{b \cdot h^2}{6} \]

Et la résistance de calcul du bois :

\[ f_{\text{m,d}} = \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{m,k}}}{\gamma_{\text{M}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre est maintenue latéralement et ne risque pas de flamber par déversement. On suppose également que le bois est de la qualité C24 spécifiée et que les conditions d'humidité correspondent bien à la classe de service 1.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment de calcul, \(M_{\text{d}} = 5,000,000 \, \text{N} \cdot \text{mm}\) (de Q1)
  • Dimensions, \(b=75 \, \text{mm}\), \(h=225 \, \text{mm}\)
  • Bois C24 : \(f_{\text{m,k}} = 24 \, \text{MPa}\)
  • Classe de service 1, charge d'exploitation (moyen terme) : \(k_{\text{mod}} = 0.8\)
  • Coefficient partiel pour le bois massif : \(\gamma_{\text{M}} = 1.3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le rapport \(\sigma_{\text{m,d}} / f_{\text{m,d}}\) est appelé "taux de travail". Il est souvent exprimé en pourcentage. Un bon dimensionnement vise un taux de travail élevé (proche de 100%) sans le dépasser, pour optimiser l'utilisation de la matière. Calculer ce ratio donne une idée immédiate de la performance de la section.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Contrainte vs Résistance
σd = ?Résistance fd = ?Vérifier si σd ≤ fd
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du module de flexion \(W_{\text{y}}\) :

\[ \begin{aligned} W_{\text{y}} &= \frac{75 \, \text{mm} \cdot (225 \, \text{mm})^2}{6} \\ &= 632,812.5 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

2. Calcul de la contrainte de flexion \(\sigma_{\text{m,d}}\) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{m,d}} &= \frac{5,000,000 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{632,812.5 \, \text{mm}^3} \\ &\approx 7.90 \, \text{N/mm}^2 \quad (\text{soit } 7.90 \, \text{MPa}) \end{aligned} \]

3. Calcul de la résistance de calcul \(f_{\text{m,d}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{m,d}} &= \frac{0.8 \cdot 24 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 14.77 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

4. Vérification du critère :

\[ 7.90 \, \text{MPa} \le 14.77 \, \text{MPa} \quad (\text{OK !}) \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance
σd = 7.90Résistance fd = 14.77 MPaOK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte agissante (7.90 MPa) est bien inférieure à la résistance que le bois peut offrir dans ces conditions (14.77 MPa). Le "taux de travail" est de 7.90 / 14.77 = 53%, ce qui indique une marge de sécurité confortable. La solive est donc suffisamment résistante à la flexion.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier les coefficients \(k_{\text{mod}}\) et \(\gamma_{\text{M}}\) et de comparer directement la contrainte à la valeur caractéristique de 24 MPa. Cela conduirait à une évaluation non sécuritaire de la poutre. Le calcul selon les Eurocodes impose l'utilisation de ces facteurs de sécurité et de condition.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance se vérifie en comparant la contrainte \(\sigma_{\text{m,d}}\) à la résistance \(f_{\text{m,d}}\).
  • La contrainte est \(\sigma = M/W\), où \(W = bh^2/6\).
  • La résistance de calcul \(f_{\text{m,d}}\) dépend de la classe du bois, de la durée de la charge et de l'humidité (\(k_{\text{mod}}\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les classes de résistance du bois (C18, C24, C30...) sont déterminées par des essais non destructifs en scierie. Des machines évaluent la rigidité de chaque planche et mesurent la densité des nœuds pour la classer. Un bois C24 est donc un bois dont les propriétés mécaniques minimales sont garanties.

FAQ (pour lever les doutes)
Que signifie "Classe de service 1" ?

C'est une classification de l'Eurocode 5 qui décrit l'environnement de la structure. La Classe 1 correspond à un milieu intérieur, chauffé, où l'humidité du bois reste inférieure à 12%. La Classe 2 correspond à un local non chauffé ou sous abri (charpente de garage). La Classe 3 est pour les structures exposées aux intempéries. La résistance du bois diminue fortement en Classe 2 et 3.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de flexion est de 7.90 MPa, ce qui est inférieur à la résistance de calcul de 14.77 MPa. La condition de résistance est vérifiée.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la poutre était en bois C18 (\(f_{\text{m,k}}=18 \, \text{MPa}\)), quelle serait sa résistance de calcul \(f_{\text{m,d}}\) en MPa ?

Question 3 : Calculer la flèche maximale (f_max)

Principe (le concept physique)

Indépendamment de sa résistance, une poutre se déforme sous l'effet des charges. Cette déformation, appelée flèche, est une mesure de la rigidité de l'élément. Pour un plancher, une flèche trop importante est perceptible et inconfortable, même si la structure n'est pas en danger de rupture. Nous calculons donc cette déformation pour la vérifier à l'étape suivante.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de la flèche est issue de la double intégration de l'équation différentielle de la déformée : \(EI \cdot y''(x) = M(x)\). Pour une charge répartie, \(M(x) = qLx/2 - qx^2/2\). L'intégration successive avec les conditions aux limites (flèche nulle aux appuis) mène à la formule finale. On note que la flèche est proportionnelle à la charge \(q\) et inversement proportionnelle à la rigidité de flexion \(EI\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le terme \(L^4\) dans la formule de la flèche doit vous alerter ! Doubler la portée d'une poutre ne double pas sa flèche, mais la multiplie par \(2^4 = 16\). C'est énorme ! C'est pourquoi les grandes portées deviennent très vite un problème de rigidité bien avant d'être un problème de résistance.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 5 précise que pour les calculs de déformation, on doit utiliser les propriétés moyennes du matériau (ex: \(E_{\text{0,mean}}\)) car on s'intéresse au comportement le plus probable de la structure en service, et non à un cas extrême de rupture.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La flèche maximale pour une charge uniformément répartie est :

\[ f_{\text{max}} = \frac{5 \cdot q \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I} \]

Avec le moment quadratique \(I_{\text{y}}\) pour une section rectangulaire :

\[ I_{\text{y}} = \frac{b \cdot h^3}{12} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On effectue le calcul dans le domaine élastique linéaire. On utilise la charge \(q\) non pondérée (dite de service ou caractéristique) pour le calcul de flèche, mais pour simplifier cet exercice, nous réutiliserons la même valeur de \(q\). En pratique, les charges sont différentes pour les vérifications de résistance (ELU) et de flèche (ELS).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge, \(q = 2.5 \, \text{N/mm}\)
  • Portée, \(L = 4000 \, \text{mm}\)
  • Dimensions, \(b=75 \, \text{mm}\), \(h=225 \, \text{mm}\)
  • Bois C24 : Module d'élasticité moyen \(E_{\text{0,mean}} = 11,000 \, \text{MPa} \text{ (ou N/mm}^2\text{)}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Les nombres dans le calcul de flèche deviennent très grands. Utilisez la notation scientifique de votre calculatrice pour éviter les erreurs de saisie de zéros. Par exemple, \(L^4 = (4000)^4 = (4 \times 10^3)^4 = 256 \times 10^{12}\).

Schéma (Avant les calculs)
Déformation (Flèche) de la Poutre
f_max = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du moment quadratique \(I_{\text{y}}\) :

\[ \begin{aligned} I_{\text{y}} &= \frac{75 \, \text{mm} \cdot (225 \, \text{mm})^3}{12} \\ &= 71,191,406 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

2. Calcul de la flèche maximale \(f_{\text{max}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{max}} &= \frac{5 \cdot (2.5 \, \text{N/mm}) \cdot (4000 \, \text{mm})^4}{384 \cdot (11000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (71,191,406 \, \text{mm}^4)} \\ &= \frac{3.2 \times 10^{15}}{3.00 \times 10^{17}} \, \text{mm} \\ &\approx 10.66 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Flèche Maximale Calculée
f_max ≈ 10.7 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La solive fléchit d'environ 10.7 mm (un peu plus d'un centimètre) en son centre sous l'effet de la charge. Cette valeur seule ne signifie rien ; elle doit être comparée à une limite admissible pour être jugée acceptable ou non.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser le bon module d'élasticité. Pour le bois, il en existe plusieurs (moyen, caractéristique, parallèle ou perpendiculaire aux fibres). Pour la flèche, c'est le module moyen parallèle aux fibres (\(E_{\text{0,mean}}\)) qui doit être utilisé. Une confusion ici peut fausser le résultat de manière significative.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La flèche pour une charge répartie est \(f = 5qL^4 / (384EI)\).
  • Elle est extrêmement sensible à la portée \(L\) (puissance 4).
  • Pour le calcul de flèche, on utilise le module d'élasticité moyen \(E_{\text{mean}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le bois présente un phénomène de "fluage" : une déformation qui augmente avec le temps, même si la charge reste constante. L'Eurocode 5 en tient compte en majorant la flèche instantanée (celle que nous avons calculée) par un facteur (1+k_def) pour obtenir la flèche finale à long terme. Le facteur k_def dépend, lui aussi, de la classe de service.

FAQ (pour lever les doutes)
La formule de la flèche est-elle toujours la même ?

Non, la formule \(5qL^4/(384EI)\) est spécifique au cas d'une charge uniformément répartie sur une poutre bi-appuyée. Chaque cas de charge et de conditions d'appuis (encastrement, porte-à-faux...) a sa propre formule de flèche, qui est toujours issue de l'intégration de l'équation de la déformée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche maximale calculée au centre de la solive est d'environ 10.7 mm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on utilisait une solive de 300 mm de haut au lieu de 225 mm, quelle serait la nouvelle flèche en mm ? (Indice: I est proportionnel à h³)

Question 4 : Vérifier que la condition de rigidité est respectée

Principe (le concept physique)

C'est la vérification du confort et de l'aptitude au service. Les normes imposent que la déformation d'un plancher ne dépasse pas une certaine fraction de sa portée, afin d'éviter les vibrations, la sensation de souplesse sous les pieds, et les dommages aux éléments non structuraux (cloisons, carrelage). La limite la plus courante pour les planchers est une flèche inférieure à 1/300ème de la portée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les critères de flèche sont des "Etats Limites de ServiceCritères de calcul qui concernent le bon fonctionnement de la structure et le confort des usagers (ex: limitation de la flèche, des vibrations), par opposition aux Etats Limites Ultimes qui concernent la ruine de la structure." (ELS). Ils ne concernent pas la sécurité ultime de la structure, mais son bon fonctionnement et le confort des usagers. Il existe plusieurs types de flèches à vérifier : la flèche instantanée, la flèche due aux seules charges variables (pour éviter la fissuration des cloisons), et la flèche finale incluant le fluage. Notre vérification sur L/300 est une vérification simplifiée mais très courante de la flèche totale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Un plancher peut être parfaitement "sûr" (résistance OK) mais totalement "inutilisable" (flèche excessive). Imaginez marcher sur un trampoline : il est très résistant, mais sa grande flèche le rend impropre à supporter des meubles. La vérification de la flèche garantit que notre plancher se comporte comme un sol ferme et stable.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 5 recommande des limites de flèche en fonction de l'usage du bâtiment. Pour les planchers courants, une limite de \(L/300\) pour la flèche totale est une exigence typique pour garantir un niveau de confort adéquat.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le critère de vérification de la rigidité est :

\[ f_{\text{max}} \le f_{\text{lim}} \quad \text{avec} \quad f_{\text{lim}} = \frac{L}{300} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le critère L/300 est la limite applicable pour ce type de plancher, ce qui est une hypothèse standard pour un plancher résidentiel.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Flèche calculée, \(f_{\text{max}} = 10.7 \, \text{mm}\) (de Q3)
  • Portée, \(L = 4000 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour rapidement estimer si une poutre passera en flèche, on peut inverser la formule pour trouver la hauteur minimale requise. C'est une technique très utilisée en pré-dimensionnement pour choisir rapidement une section de poutre adéquate avant de faire les vérifications complètes.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Flèche vs Limite
f_max = 10.7 mmLimite f_lim = L/300 = ?Vérifier si f_max ≤ f_lim
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la flèche limite \(f_{\text{lim}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{lim}} &= \frac{4000 \, \text{mm}}{300} \\ &\approx 13.33 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Vérification du critère :

\[ 10.7 \, \text{mm} \le 13.33 \, \text{mm} \quad (\text{OK !}) \]
Schéma (Après les calculs)
Flèche Calculée vs Flèche Limite
f_max = 10.7 mmFlèche Limite f_lim = 13.3 mmOK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La flèche réelle de la solive (10.7 mm) est inférieure à la flèche maximale autorisée par la norme (13.3 mm). Le plancher sera donc suffisamment rigide. Il est intéressant de noter que le taux de travail en flèche (10.7 / 13.3 = 80%) est plus élevé que le taux de travail en résistance (53%). Cela confirme que pour ce type d'élément, c'est bien la rigidité qui est le critère le plus contraignant.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas se tromper de limite. Une limite de L/300 est courante pour les planchers, mais pour une toiture supportant des éléments fragiles, on pourrait exiger L/400 ou L/500. Pour une charpente simple sans finition fragile, L/200 pourrait être acceptable. Le choix de la limite de flèche est une décision d'ingénierie importante.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La rigidité se vérifie en comparant la flèche calculée \(f_{\text{max}}\) à une flèche limite \(f_{\text{lim}}\).
  • Une limite courante pour les planchers est \(f_{\text{lim}} = L/300\).
  • Pour les poutres de grande portée, la rigidité (flèche) est souvent plus critique que la résistance.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'être humain est très sensible aux vibrations d'un plancher. Les normes modernes, comme l'Eurocode 5, incluent des vérifications dynamiques de confort vibratoire, en plus de la simple vérification de la flèche statique. On calcule la fréquence propre du plancher pour s'assurer qu'elle ne se situe pas dans la gamme des fréquences de la marche (typiquement 1.5 - 2.5 Hz), ce qui pourrait créer une résonance désagréable.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que la vérification de la flèche est toujours obligatoire ?

Oui, pour la quasi-totalité des éléments de structure horizontaux (poutres, dalles, solives). C'est une vérification d'Aptitude au Service qui est aussi importante que la vérification de la Résistance. Un projet ne peut pas être validé si les critères de flèche ne sont pas respectés.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche maximale est de 10.7 mm, ce qui est inférieur à la limite de 13.3 mm (L/300). La condition de rigidité est vérifiée.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la portée maximale (en m) que cette solive pourrait franchir sans dépasser la limite de flèche de L/300 ? (Indice: la flèche est proportionnelle à L⁴, la limite est proportionnelle à L)

Outil Interactif : Paramètres d'un Plancher Bois

Modifiez les paramètres de la solive pour voir leur influence sur la résistance et la flèche.

Paramètres d'Entrée
2.5 kN/m
4.0 m
225 mm
Résultats Clés (pour Bois C24)
Taux de Travail en Résistance -
Taux de Travail en Flèche -
Verdict -

Le Saviez-Vous ?

Le coefficient `k_mod` (facteur de modification) est une innovation clé des Eurocodes. Il quantifie un phénomène bien connu des charpentiers : une poutre en bois peut supporter une charge très lourde pendant quelques secondes (comme un coup de vent), mais la même charge appliquée pendant 50 ans pourrait la faire rompre. `k_mod` réduit la résistance de calcul pour les charges de longue durée, assurant la sécurité des structures sur le long terme.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi utilise-t-on le module d'élasticité MOYEN pour la flèche ?

Pour les calculs de déformation (Etats Limites de Service), on s'intéresse au comportement le plus probable de la structure. On utilise donc le module d'élasticité moyen (\(E_{\text{0,mean}}\)). Pour les calculs de résistance (Etats Limites Ultimes), on doit être plus prudent et on utilise des valeurs caractéristiques inférieures (souvent le 5ème percentile).

Que se passe-t-il si la condition de flèche n'est pas respectée ?

Si la flèche calculée est supérieure à la limite, la solive n'est pas conforme. L'ingénieur doit alors la redimensionner. La solution la plus efficace est d'augmenter sa hauteur (car l'inertie augmente avec \(h^3\) et la flèche diminue d'autant), ou de réduire l'espacement entre les solives pour que chacune porte une charge plus faible.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour une solive de plancher, quel critère est généralement le plus difficile à satisfaire (le plus dimensionnant) ?

2. Si on utilise la même solive dans un local humide (Classe de service 2), le coefficient `k_mod` sera plus faible. Qu'est-ce que cela implique ?

Solive
Pièce de charpente, poutre secondaire posée horizontalement en appui sur les murs ou les poutres principales pour constituer le support d'un plancher.
Eurocode 5 (EC5)
Norme européenne de calcul et de conception des structures en bois. Elle définit les méthodes de calcul et les exigences de sécurité.
k_mod
Coefficient de modification qui tient compte de l'effet de la durée de la charge et de la teneur en humidité du bois sur sa résistance.
Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois

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