Études de cas pratique

EGC

Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois

Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois

Comprendre la Résistance et la Rigidité d’une Poutre en Bois

La conception d'une poutre en bois nécessite de vérifier plusieurs critères pour assurer sa sécurité et son bon fonctionnement. Les deux aspects principaux sont la résistance et la rigidité. La résistance concerne la capacité de la poutre à supporter les charges sans rompre. On vérifie généralement la résistance à la flexion (moment fléchissant) et au cisaillement (effort tranchant) à l'État Limite Ultime (ELU). La rigidité concerne la capacité de la poutre à ne pas se déformer excessivement sous les charges. On vérifie la flèche (déformation verticale) à l'État Limite de Service (ELS) pour garantir le confort des usagers et l'intégrité des éléments non structuraux (cloisons, revêtements).

Données de l'étude

On étudie une solive en bois de section rectangulaire, simplement appuyée, supportant un plancher.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Largeur de la solive (\(b\)) : \(75 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la solive (\(h\)) : \(220 \, \text{mm}\)
  • Portée de la solive entre appuis (\(L\)) : \(4.20 \, \text{m}\)
  • Classe de résistance du bois : C24 (\(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\); \(f_{v,k} = 4.0 \, \text{MPa}\); \(E_{0,mean} = 11000 \, \text{MPa}\))
  • Coefficient de modification (\(k_{mod}\)) : \(0.8\) (classe de service 1, charge de longue durée pour G / moyenne durée pour Q - on prendra 0.8 pour la combinaison ELU et ELS)
  • Coefficient partiel de sécurité pour le matériau bois (\(\gamma_M\)) : \(1.3\)
  • Coefficient de hauteur (\(k_h\)) : \(1.0\) (car \(h = 220 \text{ mm} \geq 150 \text{ mm}\))
  • Coefficient de stabilité au déversement (\(k_{crit}\)) : \(1.0\) (déversement supposé empêché)
  • Coefficient de fluage (\(k_{def}\)) : \(0.6\) (pour classe de service 1)

Charges (valeurs caractéristiques) :

  • Charge permanente linéique (incluant poids propre) (\(g_k\)) : \(1.50 \, \text{kN/m}\)
  • Charge d'exploitation linéique (catégorie A - habitation) (\(q_k\)) : \(2.00 \, \text{kN/m}\)

Limites de flèche (ELS) :

  • Flèche instantanée due à la charge totale : \(w_{inst} \leq L/300\)
  • Flèche nette finale (incluant fluage) : \(w_{net,fin} \leq L/250\)
Schéma : Solive en Bois et Section
Solive en flexion q L = 4.20 m Section b=75 h=220

Solive simplement appuyée avec charge répartie et sa section transversale.

Questions à traiter

  1. Calculer la charge de calcul à l'ELU (\(q_{Ed}\)) et la charge caractéristique pour la vérification de la flèche instantanée (\(q_{k,inst}\) pour G+Q).
  2. Calculer le moment fléchissant maximal (\(M_{Ed}\)) et l'effort tranchant maximal (\(V_{Ed}\)) à l'ELU.
  3. Calculer le module d'inertie élastique (\(W_{el,y}\)) et l'aire de la section (\(A\)).
  4. Calculer la résistance de calcul en flexion (\(f_{m,d}\)) et le moment résistant (\(M_{Rd}\)). Vérifier la résistance en flexion.
  5. Calculer la résistance de calcul au cisaillement (\(f_{v,d}\)) et l'effort tranchant résistant (\(V_{Rd}\)). Vérifier la résistance au cisaillement.
  6. Calculer le moment d'inertie (\(I_y\)) de la section.
  7. Calculer la flèche instantanée (\(w_{inst}\)) sous la combinaison caractéristique \(G_k + Q_k\). Vérifier la limite.
  8. Calculer la flèche nette finale (\(w_{net,fin}\)) en considérant que toute la charge permanente et une fraction \(\psi_2 = 0.3\) de la charge d'exploitation sont quasi-permanentes. Vérifier la limite. (Formule simplifiée: \(w_{net,fin} = w_{G,inst}(1+k_{def}) + w_{Q,inst}(1+\psi_2 k_{def})\) ou plus simple \(w_{net,fin} = w_{inst,G}(1+k_{def}) + w_{inst,Q,qp}(1+k_{def})\) où \(Q_{qp} = \psi_2 Q_k\)). On utilisera \(w_{net,fin} = w_{inst,G}(1+k_{def}) + w_{inst,Qk}(\psi_0+\psi_2 k_{def})\) avec \(\psi_0 = 0.7\) pour bureaux/habitation. Pour simplifier, on prendra \(w_{net,fin} = w_{inst, (Gk + \psi_2 Qk)} \times (1+k_{def})\).

Correction : Résistance et Rigidité d’une Poutre en Bois

Question 1 : Charges de Calcul (\(q_{Ed}\)) et Caractéristique (\(q_{k,inst}\))

Principe :

La charge de calcul à l'ELU est obtenue en pondérant les charges caractéristiques permanentes (\(G_k\)) et d'exploitation (\(Q_k\)) par les coefficients de sécurité. Pour la vérification de la flèche instantanée, on utilise la somme des charges caractéristiques.

Formule(s) utilisée(s) :
\[q_{Ed} = 1.35 g_k + 1.5 q_k\] \[q_{k,inst} = g_k + q_k\]
Données spécifiques :
  • \(g_k = 1.50 \, \text{kN/m}\)
  • \(q_k = 2.00 \, \text{kN/m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} q_{Ed} &= (1.35 \times 1.50) + (1.5 \times 2.00) \, \text{kN/m} \\ &= 2.025 + 3.00 \, \text{kN/m} \\ &= 5.025 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} q_{k,inst} &= 1.50 + 2.00 \, \text{kN/m} \\ &= 3.50 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : \(q_{Ed} = 5.025 \, \text{kN/m}\) et \(q_{k,inst} = 3.50 \, \text{kN/m}\).

Question 2 : Moment (\(M_{Ed}\)) et Effort Tranchant (\(V_{Ed}\)) Maximaux à l'ELU

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée de portée \(L\) soumise à une charge uniformément répartie \(q_{Ed}\), le moment fléchissant maximal est à mi-portée et l'effort tranchant maximal aux appuis.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Ed,max} = \frac{q_{Ed} L^2}{8}\] \[V_{Ed,max} = \frac{q_{Ed} L}{2}\]
Données spécifiques :
  • \(q_{Ed} = 5.025 \, \text{kN/m}\)
  • Portée (\(L\)) : \(4.20 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{Ed,max} &= \frac{5.025 \, \text{kN/m} \times (4.20 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{5.025 \times 17.64}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= \frac{88.641}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &\approx 11.08 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V_{Ed,max} &= \frac{5.025 \, \text{kN/m} \times 4.20 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{21.105}{2} \, \text{kN} \\ &= 10.5525 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : \(M_{Ed,max} \approx 11.08 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) et \(V_{Ed,max} \approx 10.55 \, \text{kN}\).

Question 3 : Module d'Inertie Élastique (\(W_{el,y}\)) et Aire (\(A\))

Principe :

Pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\), le module d'inertie élastique est \(W_{el,y} = bh^2/6\) et l'aire est \(A = bh\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{el,y} = \frac{b h^2}{6}\] \[A = b \cdot h\]
Données spécifiques (converties en mm) :
  • Base (\(b\)) : \(75 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(220 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{el,y} &= \frac{75 \, \text{mm} \times (220 \, \text{mm})^2}{6} \\ &= \frac{75 \times 48400}{6} \, \text{mm}^3 \\ &= \frac{3630000}{6} \, \text{mm}^3 \\ &= 605000 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A &= 75 \, \text{mm} \times 220 \, \text{mm} \\ &= 16500 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Conversion : \(W_{el,y} = 605 \, \text{cm}^3\), \(A = 165 \, \text{cm}^2\).

Résultat Question 3 : \(W_{el,y} = 605000 \, \text{mm}^3\) et \(A = 16500 \, \text{mm}^2\).

Question 4 : Résistance en Flexion (\(f_{m,d}\)), Moment Résistant (\(M_{Rd}\)) et Vérification

Principe :

La résistance de calcul en flexion \(f_{m,d}\) est calculée, puis le moment résistant \(M_{Rd}\). On vérifie ensuite que \(M_{Ed} \leq M_{Rd}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{m,d} = k_{mod} \cdot k_h \cdot k_{crit} \cdot \frac{f_{m,k}}{\gamma_M}\] \[M_{Rd} = f_{m,d} \cdot W_{el,y}\]
Données spécifiques :
  • \(k_{mod} = 0.8\), \(k_h = 1.0\), \(k_{crit} = 1.0\)
  • \(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\) (C24)
  • \(\gamma_M = 1.3\)
  • \(W_{el,y} = 605000 \, \text{mm}^3\)
  • \(M_{Ed} \approx 11.08 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 11.08 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{m,d} &= 0.8 \times 1.0 \times 1.0 \times \frac{24 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 0.8 \times 18.4615 \, \text{MPa} \\ &\approx 14.769 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} M_{Rd} &\approx 14.769 \, \text{N/mm}^2 \times 605000 \, \text{mm}^3 \\ &\approx 8935145 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &\approx 8.935 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Vérification en flexion :

\[11.08 \, \text{kN} \cdot \text{m} > 8.94 \, \text{kN} \cdot \text{m} \quad (\text{NON OK !})\]
Résultat Question 4 : \(f_{m,d} \approx 14.77 \, \text{MPa}\), \(M_{Rd} \approx 8.94 \, \text{kN} \cdot \text{m}\). La poutre ne résiste pas en flexion (\(M_{Ed} > M_{Rd}\)).

Question 5 : Résistance au Cisaillement (\(f_{v,d}\)), Effort Tranchant Résistant (\(V_{Rd}\)) et Vérification

Principe :

La résistance de calcul au cisaillement \(f_{v,d}\) est calculée, puis l'effort tranchant résistant \(V_{Rd}\). On vérifie que \(V_{Ed} \leq V_{Rd}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{v,d} = k_{mod} \cdot \frac{f_{v,k}}{\gamma_M}\] \[V_{Rd} = \frac{2}{3} A \cdot f_{v,d}\]

(Pour une section rectangulaire, l'aire efficace de cisaillement \(A_{ef}\) est \(A\), et le facteur \(k_{cr}\) est implicitement pris en compte dans la formule \(2/3 A f_{v,d}\) ou par d'autres facteurs selon les normes plus détaillées. Ici, on utilise la formule simplifiée donnée qui est une approximation courante.)

Données spécifiques :
  • \(k_{mod} = 0.8\)
  • \(f_{v,k} = 4.0 \, \text{MPa}\) (C24)
  • \(\gamma_M = 1.3\)
  • \(A = 16500 \, \text{mm}^2\)
  • \(V_{Ed} \approx 10.55 \, \text{kN} = 10550 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{v,d} &= 0.8 \times \frac{4.0 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 0.8 \times 3.077 \, \text{MPa} \\ &\approx 2.462 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V_{Rd} &\approx \frac{2}{3} \times 16500 \, \text{mm}^2 \times 2.462 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 0.6667 \times 16500 \times 2.462 \, \text{N} \\ &\approx 27082 \, \text{N} \\ &\approx 27.08 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Vérification au cisaillement :

\[10.55 \, \text{kN} \leq 27.08 \, \text{kN} \quad (\text{OK})\]
Résultat Question 5 : \(f_{v,d} \approx 2.46 \, \text{MPa}\), \(V_{Rd} \approx 27.08 \, \text{kN}\). La poutre résiste au cisaillement.

Question 6 : Moment d'Inertie (\(I_y\))

Principe :

Le moment d'inertie d'une section rectangulaire par rapport à son axe de flexion principal (passant par le centre de gravité, parallèle à la base \(b\)) est nécessaire pour le calcul de la flèche.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_y = \frac{b h^3}{12}\]
Données spécifiques (en mm) :
  • \(b = 75 \, \text{mm}\)
  • \(h = 220 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_y &= \frac{75 \times (220)^3}{12} \\ &= \frac{75 \times 10648000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= \frac{798600000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= 66550000 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

Conversion en cm⁴ : \(I_y = 6655 \, \text{cm}^4\)

Résultat Question 6 : Le moment d'inertie est \(I_y = 66.55 \times 10^6 \, \text{mm}^4\).

Question 7 : Flèche Instantanée (\(w_{inst}\)) et Vérification

Principe :

La flèche instantanée pour une poutre simplement appuyée sous charge uniforme \(q_{k,inst}\) est donnée par la formule classique. Elle est comparée à la limite admissible.

Formule(s) utilisée(s) :
\[w_{inst} = \frac{5 q_{k,inst} L^4}{384 E_{0,mean} I_y}\]

Limite : \(w_{inst} \leq L/300\)

Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(q_{k,inst} = 3.50 \, \text{kN/m} = 3.50 \, \text{N/mm}\)
  • \(L = 4.20 \, \text{m} = 4200 \, \text{mm}\)
  • \(E_{0,mean} = 11000 \, \text{MPa} = 11000 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(I_y = 66550000 \, \text{mm}^4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} w_{inst} &= \frac{5 \times 3.50 \times (4200)^4}{384 \times 11000 \times 66550000} \\ &= \frac{5 \times 3.50 \times 3.111696 \times 10^{14}}{384 \times 11000 \times 66550000} \\ &= \frac{5.445468 \times 10^{15}}{2.810304 \times 10^{14}} \\ &\approx 19.376 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Limite admissible :

\[ w_{lim,inst} = \frac{L}{300} = \frac{4200 \, \text{mm}}{300} = 14.0 \, \text{mm} \]

Vérification :

\[19.38 \, \text{mm} > 14.0 \, \text{mm} \quad (\text{NON OK !})\]
Résultat Question 7 : La flèche instantanée \(w_{inst} \approx 19.38 \, \text{mm}\) dépasse la limite admissible de \(14.0 \, \text{mm}\).

Question 8 : Flèche Nette Finale (\(w_{net,fin}\)) et Vérification

Principe :

La flèche nette finale tient compte du fluage du bois sous les charges de longue durée. On calcule la flèche instantanée due à la part quasi-permanente des charges (\(G_k + \psi_2 Q_k\)) et on l'amplifie par \((1+k_{def})\).

Charge quasi-permanente : \(q_{qp} = g_k + \psi_2 q_k\). Pour bureaux/habitation, \(\psi_2 = 0.3\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[q_{qp} = g_k + \psi_2 q_k\] \[w_{inst,qp} = \frac{5 q_{qp} L^4}{384 E_{0,mean} I_y}\] \[w_{net,fin} = w_{inst,qp} (1+k_{def})\]

Une autre approche plus complète est \(w_{net,fin} = w_{G,inst}(1+k_{def}) + w_{Q,inst,princ}(\psi_0+\psi_2 k_{def}) + \sum w_{Q,inst,autres}(\psi_0+\psi_2 k_{def})\). Pour simplifier, on utilise la charge quasi-permanente globale.

Limite : \(w_{net,fin} \leq L/250\)

Données spécifiques :
  • \(g_k = 1.50 \, \text{kN/m}\)
  • \(q_k = 2.00 \, \text{kN/m}\)
  • \(\psi_2 = 0.3\)
  • \(k_{def} = 0.6\)
  • \(L = 4200 \, \text{mm}\), \(E_{0,mean} = 11000 \, \text{MPa}\), \(I_y = 66550000 \, \text{mm}^4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} q_{qp} &= 1.50 + (0.3 \times 2.00) \, \text{kN/m} \\ &= 1.50 + 0.60 \\ &= 2.10 \, \text{kN/m} = 2.10 \, \text{N/mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} w_{inst,qp} &= \frac{5 \times 2.10 \times (4200)^4}{384 \times 11000 \times 66550000} \\ &= \frac{5 \times 2.10 \times 3.111696 \times 10^{14}}{2.810304 \times 10^{14}} \\ &\approx 11.626 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} w_{net,fin} &= 11.626 \times (1 + 0.6) \\ &= 11.626 \times 1.6 \\ &\approx 18.60 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Limite admissible :

\[ w_{lim,net,fin} = \frac{L}{250} = \frac{4200 \, \text{mm}}{250} = 16.8 \, \text{mm} \]

Vérification :

\[18.60 \, \text{mm} > 16.8 \, \text{mm} \quad (\text{NON OK !})\]
Résultat Question 8 : La flèche nette finale \(w_{net,fin} \approx 18.60 \, \text{mm}\) dépasse la limite admissible de \(16.8 \, \text{mm}\). La poutre n'est pas vérifiée en rigidité.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Que représente \(f_{m,k}\) pour le bois ?

2. Le coefficient \(k_{mod}\) tient compte :

3. La vérification de la flèche (\(w_{net,fin} \leq L/250\)) concerne quel état limite ?

Glossaire

Résistance (Bois)
Capacité du bois à supporter des charges sans rompre. Vérifiée à l'ELU (flexion, cisaillement, etc.).
Rigidité (Bois)
Capacité du bois à résister à la déformation sous charge. Vérifiée par le calcul de la flèche à l'ELS.
Flexion
Sollicitation d'une poutre par des forces perpendiculaires à son axe, provoquant sa courbure.
Cisaillement
Sollicitation tendant à faire glisser les fibres du bois les unes par rapport aux autres.
Flèche (\(w\))
Déformation verticale d'une poutre sous l'effet des charges.
Flèche Instantanée (\(w_{inst}\))
Déformation immédiate sous l'application des charges.
Flèche Nette Finale (\(w_{net,fin}\))
Flèche totale à long terme, incluant les effets du fluage du bois et la part des charges variables considérée comme quasi-permanente.
Coefficient de Fluage (\(k_{def}\))
Coefficient qui majore la déformation instantanée pour tenir compte de la déformation différée due au fluage sous charges de longue durée.
Module d'Élasticité Moyen (\(E_{0,mean}\))
Valeur moyenne du module d'Young du bois, utilisée pour les calculs de déformation.
Moment d'Inertie (\(I_y\))
Caractéristique géométrique d'une section mesurant sa résistance à la flexion.
État Limite Ultime (ELU)
État limite relatif à la sécurité de la structure (rupture).
État Limite de Service (ELS)
État limite relatif aux conditions d'utilisation normale (confort, aspect, déformations).
Vérification en Flexion et Cisaillement d’une Poutre en Bois - Exercice d'Application

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