Études de cas pratique

EGC

Dimensionnement d’une Solive en Bois Massif

Dimensionnement d'une Solive en Bois Massif en Flexion Simple (ELU)

Dimensionnement d'une Solive en Bois Massif en Flexion Simple (ELU)

Comprendre le Dimensionnement d'une Solive en Bois Massif

Le dimensionnement d'une solive en bois massif consiste à déterminer les dimensions de sa section transversale (largeur \(b\) et hauteur \(h\)) pour qu'elle puisse résister en toute sécurité aux charges qui lui sont appliquées, sans dépasser les contraintes admissibles du matériau et en respectant les critères de déformation. Cet exercice se concentre sur la vérification à l'État Limite Ultime (ELU) en flexion simple, c'est-à-dire s'assurer que la contrainte de flexion maximale dans la solive ne dépasse pas la résistance en flexion de calcul du bois.

Données de l'étude

On souhaite vérifier la section d'une solive de plancher en bois massif de classe C24, simplement appuyée à ses extrémités. La solive a une section de \(75 \, \text{mm} \times 225 \, \text{mm}\).

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Type de bois : Bois massif C24
  • Section proposée (largeur \(b \times\) hauteur \(h\)) : \(75 \, \text{mm} \times 225 \, \text{mm}\)
  • Portée (longueur entre appuis \(L\)) : \(4.5 \, \text{m}\)
  • Entraxe des solives : \(0.50 \, \text{m}\)
  • Conditions d'appui : Simplement appuyée.
  • Classe de résistance : C24
    • Résistance caractéristique en flexion (\(f_{\text{m,k}}\)) : \(24 \, \text{MPa}\)
    • Masse volumique caractéristique (\(\rho_k\)) : \(350 \, \text{kg/m}^3\)
  • Classe de service : 1 (local chauffé)
  • Classe de durée de chargement : Moyenne durée (pour la combinaison d'actions prédominante)
  • Coefficient de modification (\(k_{\text{mod}}\)) : \(0.8\)
  • Coefficient partiel de sécurité pour le matériau (\(\gamma_M\)) : \(1.3\)

Charges caractéristiques (surfaciques pour le plancher) :

  • Charges permanentes (hors poids propre des solives, \(g_k'\)) : \(1.0 \, \text{kN/m}^2\) (ex: plancher OSB, isolation, faux-plafond)
  • Charges d'exploitation (catégorie A - locaux d'habitation, \(q_k\)) : \(2.0 \, \text{kN/m}^2\)

Coefficients partiels de sécurité pour les actions (ELU) :

  • Pour les charges permanentes (\(\gamma_G\)) : \(1.35\)
  • Pour les charges d'exploitation (\(\gamma_Q\)) : \(1.5\)
Schéma : Solive en Bois Massif et Charges
q_d (total) L = 4.5 m Solive simplement appuyée

Solive sur appuis simples avec charge répartie de calcul \(q_d\).

Questions à traiter

  1. Calculer le poids propre caractéristique de la solive (\(g_{k,solive}\)) en kN/m.
  2. Calculer la charge permanente caractéristique totale par mètre linéaire de solive (\(G_k\)).
  3. Calculer la charge d'exploitation caractéristique par mètre linéaire de solive (\(Q_k\)).
  4. Déterminer la charge de calcul uniformément répartie sur la solive (\(q_d\)) à l'ELU.
  5. Calculer le moment de flexion maximal de calcul (\(M_{y,d}\)) dans la solive.
  6. Calculer le module de flexion élastique (\(W_y\)) de la section \(75 \times 225 \, \text{mm}\).
  7. Déterminer la contrainte de flexion de calcul (\(\sigma_{m,y,d}\)) dans la solive.
  8. Calculer la résistance en flexion de calcul du bois C24 (\(f_{m,d}\)).
  9. Vérifier la condition de résistance en flexion : \(\sigma_{m,y,d} \leq f_{m,d}\). Conclure sur la validité de la section.

Correction : Dimensionnement d'une Solive en Bois Massif

Question 1 : Poids Propre Caractéristique de la Solive (\(g_{\text{k,solive}}\))

Principe :

Le poids propre d'un élément est calculé à partir de son volume et de sa masse volumique. Pour une solive, on le ramène à une charge linéique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[g_{\text{k,solive}} = b \cdot h \cdot \rho_k \cdot g\]

où \(g\) est l'accélération due à la pesanteur (\(\approx 9.81 \, \text{m/s}^2 \approx 0.00981 \, \text{kN/kg}\)).

Données spécifiques (unités cohérentes : m, kg, kN) :
  • Largeur (\(b\)) : \(75 \, \text{mm} = 0.075 \, \text{m}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(225 \, \text{mm} = 0.225 \, \text{m}\)
  • Masse volumique (\(\rho_k\)) : \(350 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération pesanteur (\(g\)) : \(0.00981 \, \text{kN/kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} g_{\text{k,solive}} &= 0.075 \, \text{m} \cdot 0.225 \, \text{m} \cdot 350 \, \text{kg/m}^3 \cdot 0.00981 \, \text{kN/kg} \\ &= 0.016875 \, \text{m}^2 \cdot 350 \, \text{kg/m}^3 \cdot 0.00981 \, \text{kN/kg} \\ &= 5.90625 \, \text{kg/m} \cdot 0.00981 \, \text{kN/kg} \\ &\approx 0.05794 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le poids propre caractéristique de la solive est \(g_{\text{k,solive}} \approx 0.058 \, \text{kN/m}\).

Question 2 : Charge Permanente Caractéristique Totale (\(G_k\))

Principe :

La charge permanente totale sur une solive est la somme de son poids propre et des autres charges permanentes (plancher, etc.) ramenées à une charge linéique en multipliant par l'entraxe des solives.

Formule(s) utilisée(s) :
\[G_k = (g_k' \cdot \text{entraxe}) + g_{\text{k,solive}}\]
Données spécifiques :
  • Charges permanentes surfaciques (\(g_k'\)) : \(1.0 \, \text{kN/m}^2\)
  • Entraxe des solives : \(0.50 \, \text{m}\)
  • \(g_{\text{k,solive}} \approx 0.058 \, \text{kN/m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} G_k &= (1.0 \, \text{kN/m}^2 \cdot 0.50 \, \text{m}) + 0.058 \, \text{kN/m} \\ &= 0.50 \, \text{kN/m} + 0.058 \, \text{kN/m} \\ &= 0.558 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La charge permanente caractéristique totale est \(G_k = 0.558 \, \text{kN/m}\).

Question 3 : Charge d'Exploitation Caractéristique (\(Q_k\))

Principe :

La charge d'exploitation surfacique est ramenée à une charge linéique sur la solive en la multipliant par l'entraxe.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_k = q_k \cdot \text{entraxe}\]
Données spécifiques :
  • Charges d'exploitation surfaciques (\(q_k\)) : \(2.0 \, \text{kN/m}^2\)
  • Entraxe des solives : \(0.50 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_k &= 2.0 \, \text{kN/m}^2 \cdot 0.50 \, \text{m} \\ &= 1.0 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La charge d'exploitation caractéristique est \(Q_k = 1.0 \, \text{kN/m}\).

Question 4 : Charge de Calcul Uniformément Répartie (\(q_d\)) à l'ELU

Principe :

La charge de calcul à l'ELU est obtenue en appliquant les coefficients partiels de sécurité aux charges caractéristiques permanentes et d'exploitation.

Formule(s) utilisée(s) (Combinaison ELU fondamentale) :
\[q_d = \gamma_G \cdot G_k + \gamma_Q \cdot Q_k\]
Données spécifiques :
  • \(G_k = 0.558 \, \text{kN/m}\)
  • \(Q_k = 1.0 \, \text{kN/m}\)
  • \(\gamma_G = 1.35\)
  • \(\gamma_Q = 1.5\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} q_d &= (1.35 \cdot 0.558 \, \text{kN/m}) + (1.5 \cdot 1.0 \, \text{kN/m}) \\ &= 0.7533 \, \text{kN/m} + 1.5 \, \text{kN/m} \\ &= 2.2533 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La charge de calcul uniformément répartie est \(q_d \approx 2.253 \, \text{kN/m}\).

Question 5 : Moment de Flexion Maximal de Calcul (\(M_{\text{y,d}}\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie, le moment maximal se situe au milieu de la portée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{\text{y,d}} = \frac{q_d \cdot L^2}{8}\]
Données spécifiques :
  • \(q_d \approx 2.253 \, \text{kN/m}\)
  • Portée (\(L\)) : \(4.5 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{\text{y,d}} &= \frac{2.253 \, \text{kN/m} \cdot (4.5 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{2.253 \cdot 20.25}{8} \, \text{kNm} \\ &= \frac{45.62325}{8} \, \text{kNm} \\ &\approx 5.7029 \, \text{kNm} \\ &\approx 5.703 \times 10^6 \, \text{Nmm} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le moment de flexion maximal de calcul est \(M_{\text{y,d}} \approx 5.703 \, \text{kNm}\).

Question 6 : Module de Flexion Élastique (\(W_{\text{y}}\)) de la Section

Principe :

Pour une section rectangulaire, le module de flexion élastique par rapport à l'axe y (axe fort) est calculé comme suit.

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{\text{y}} = \frac{b \cdot h^2}{6}\]
Données spécifiques :
  • Largeur (\(b\)) : \(75 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(225 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{\text{y}} &= \frac{75 \, \text{mm} \cdot (225 \, \text{mm})^2}{6} \\ &= \frac{75 \cdot 50625}{6} \, \text{mm}^3 \\ &= \frac{3796875}{6} \, \text{mm}^3 \\ &= 632812.5 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le module de flexion élastique est \(W_{\text{y}} = 632812.5 \, \text{mm}^3\).

Question 7 : Contrainte de Flexion de Calcul (\(\sigma_{\text{m,y,d}}\))

Principe :

La contrainte de flexion est le rapport entre le moment de flexion de calcul et le module de flexion élastique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{\text{m,y,d}} = \frac{M_{\text{y,d}}}{W_{\text{y}}}\]
Données spécifiques :
  • \(M_{\text{y,d}} \approx 5.703 \times 10^6 \, \text{Nmm}\)
  • \(W_{\text{y}} = 632812.5 \, \text{mm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{m,y,d}} &= \frac{5.703 \times 10^6 \, \text{Nmm}}{632812.5 \, \text{mm}^3} \\ &\approx 9.012 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 9.01 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La contrainte de flexion de calcul est \(\sigma_{\text{m,y,d}} \approx 9.01 \, \text{MPa}\).

Question 8 : Résistance en Flexion de Calcul du Bois (\(f_{\text{m,d}}\))

Principe :

La résistance de calcul en flexion est obtenue à partir de la résistance caractéristique, modifiée par \(k_{\text{mod}}\) et divisée par \(\gamma_M\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{\text{m,d}} = k_{\text{mod}} \frac{f_{\text{m,k}}}{\gamma_M}\]
Données spécifiques :
  • \(f_{\text{m,k}} = 24 \, \text{MPa}\) (pour C24)
  • \(k_{\text{mod}} = 0.8\)
  • \(\gamma_M = 1.3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{\text{m,d}} &= 0.8 \cdot \frac{24 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 0.8 \cdot 18.4615 \, \text{MPa} \\ &\approx 14.769 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : La résistance en flexion de calcul est \(f_{\text{m,d}} \approx 14.77 \, \text{MPa}\).

Question 9 : Vérification de la Résistance en Flexion

Principe :

La condition de résistance est satisfaite si la contrainte de flexion de calcul est inférieure ou égale à la résistance en flexion de calcul du matériau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{\text{m,y,d}} \leq f_{\text{m,d}}\]
Données spécifiques :
  • \(\sigma_{\text{m,y,d}} \approx 9.01 \, \text{MPa}\)
  • \(f_{\text{m,d}} \approx 14.77 \, \text{MPa}\)
Vérification :
\[9.01 \, \text{MPa} \leq 14.77 \, \text{MPa} \quad (\text{OK})\]

La condition est vérifiée. Le taux de travail est \(\frac{9.01}{14.77} \approx 0.61\) (soit 61%).

Résultat Question 9 : La section de solive \(75 \times 225 \, \text{mm}\) en bois C24 est adéquate vis-à-vis de la résistance en flexion simple à l'ELU.

Quiz Intermédiaire 1 : Si la contrainte \(\sigma_{\text{m,y,d}}\) était de \(16.0 \, \text{MPa}\), la section serait-elle vérifiée ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'État Limite Ultime (ELU) pour une solive en flexion simple vérifie principalement :

2. Le coefficient \(k_{\text{mod}}\) pour le bois tient compte :

3. Si la contrainte de flexion calculée \(\sigma_{\text{m,y,d}}\) est supérieure à la résistance en flexion de calcul \(f_{\text{m,d}}\), que doit-on faire ?

Glossaire

Solive
Pièce de charpente, généralement horizontale, destinée à supporter un plancher ou un plafond.
Bois Massif
Bois scié directement à partir de grumes, par opposition au bois d'ingénierie comme le lamellé-collé.
Flexion Simple
Sollicitation d'une poutre qui tend à la faire fléchir sous l'effet de charges perpendiculaires à son axe longitudinal, sans effort normal significatif ni torsion.
État Limite Ultime (ELU)
État qui, s'il est dépassé, correspond à la ruine ou à une défaillance structurale majeure de l'ouvrage ou d'un de ses éléments (ex: rupture, perte de stabilité).
\(f_{\text{m,k}}\) (Résistance caractéristique en flexion)
Valeur de la résistance en flexion du bois, déterminée statistiquement (fractile 5%) à partir d'essais.
\(k_{\text{mod}}\) (Coefficient de modification)
Coefficient qui ajuste les propriétés de résistance du bois en fonction de la durée d'application des charges et des conditions d'humidité (classe de service).
\(\gamma_M\) (Coefficient partiel de sécurité pour le matériau)
Coefficient qui minore les résistances caractéristiques des matériaux pour obtenir les résistances de calcul, afin de tenir compte des incertitudes.
\(\gamma_G, \gamma_Q\) (Coefficients partiels de sécurité pour les actions)
Coefficients qui majorent les actions (charges) caractéristiques pour obtenir les actions de calcul, afin de tenir compte des incertitudes sur les charges.
\(W_y\) (Module de flexion élastique)
Caractéristique géométrique d'une section qui relie le moment de flexion à la contrainte maximale en flexion dans le domaine élastique.
Dimensionnement d'une Solive en Bois Massif - Exercice d'Application

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