Études de cas pratique

EGC

Conception d’une Charpente en Bois

Conception d’une Charpente en Bois : Dimensionnement d’une Panne

Comprendre la Conception d’une Charpente en Bois

La conception d'une charpente en bois implique le dimensionnement de ses différents éléments, tels que les pannes, les chevrons, les arbalétriers, etc. Les pannes sont des éléments horizontaux qui reposent sur les fermes ou les murs porteurs et supportent les chevrons ou directement la couverture. Leur dimensionnement correct est crucial pour assurer la stabilité et la sécurité de la toiture. Cet exercice se concentre sur la vérification en flexion d'une panne soumise à des charges permanentes et de neige.

Données de l'étude

On souhaite vérifier la résistance en flexion d'une panne de toiture en bois, de section rectangulaire, simplement appuyée entre deux fermes.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Portée de la panne (\(L\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • Largeur de la section de la panne (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la section de la panne (\(h\)) : \(220 \, \text{mm}\)
  • Classe de résistance du bois : C24 (\(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\))
  • Coefficient de modification (\(k_{mod}\)) : \(0.8\) (pour classe de service 2 et charge de neige - durée moyenne)
  • Coefficient partiel de sécurité pour le matériau bois (\(\gamma_M\)) : \(1.3\)
  • Coefficient de hauteur (\(k_h\)) : \(1.0\) (car \(h = 220 \text{ mm} \geq 150 \text{ mm}\))
  • Coefficient de stabilité au déversement (\(k_{crit}\)) : \(0.9\) (hypothèse d'un maintien latéral partiel)

Charges (ELU) :

  • Charge permanente linéique (poids propre panne + couverture) : \(g_{Ed} = 1.5 \, \text{kN/m}\)
  • Charge de neige linéique : \(q_{k,neige} = 2.0 \, \text{kN/m}\) (valeur caractéristique)
  • Coefficient de pondération pour la neige à l'ELU : \(\gamma_Q = 1.5\)
Schéma : Panne en Flexion et Section
Panne en flexion p_u L = 4.0 m Section b=100 h=220

Panne simplement appuyée avec charge répartie et sa section transversale.

Questions à traiter

  1. Calculer la charge totale linéique pondérée à l'ELU (\(p_u\)) sur la panne.
  2. Calculer le moment fléchissant maximal de calcul (\(M_{Ed}\)) dans la panne.
  3. Calculer le module d'inertie élastique (\(W_{el,y}\)) de la section de la panne.
  4. Calculer la résistance de calcul en flexion du bois (\(f_{m,d}\)).
  5. Calculer le moment résistant de calcul de la section (\(M_{Rd}\)).
  6. Vérifier si la panne résiste en flexion (\(M_{Ed} \leq M_{Rd}\)).

Correction : Conception d’une Charpente en Bois – Dimensionnement d’une Panne

Question 1 : Charge Totale Linéique Pondérée à l'ELU (\(p_u\))

Principe :

La charge totale linéique à l'ELU (\(p_u\)) est obtenue en combinant les charges permanentes et les charges variables (ici, la neige) pondérées par leurs coefficients de sécurité respectifs. La combinaison de base à l'ELU est généralement \(1.35G_k + 1.5Q_k\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[p_u = 1.35 g_{Ed} + 1.5 q_{k,neige}\]

Note : L'énoncé donne \(g_{Ed}\) comme une charge déjà de calcul pour les permanentes, mais pour être cohérent avec la pondération de \(Q_k\), on devrait utiliser \(g_k\) et le pondérer. Si \(g_{Ed}\) est déjà \(1.35g_k\), alors la formule serait \(p_u = g_{Ed} + 1.5 q_{k,neige}\). Nous allons supposer que \(g_{Ed}\) est la valeur caractéristique \(g_k\) pour cet exercice et la pondérer.

\[p_u = 1.35 g_k + 1.5 q_{k,neige}\]
Données spécifiques :
  • Charge permanente (\(g_k\)) : \(1.5 \, \text{kN/m}\)
  • Charge de neige (\(q_{k,neige}\)) : \(2.0 \, \text{kN/m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} p_u &= (1.35 \times 1.5 \, \text{kN/m}) + (1.5 \times 2.0 \, \text{kN/m}) \\ &= 2.025 \, \text{kN/m} + 3.0 \, \text{kN/m} \\ &= 5.025 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La charge totale linéique pondérée à l'ELU est \(p_u = 5.025 \, \text{kN/m}\).

Question 2 : Moment Fléchissant Maximal de Calcul (\(M_{Ed}\))

Principe :

Pour une poutre (panne) simplement appuyée de portée \(L\) et soumise à une charge uniformément répartie \(p_u\), le moment fléchissant maximal se produit à mi-portée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Ed} = \frac{p_u L^2}{8}\]
Données spécifiques :
  • \(p_u = 5.025 \, \text{kN/m}\)
  • Portée (\(L\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{Ed} &= \frac{5.025 \, \text{kN/m} \times (4.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{5.025 \times 16}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 5.025 \times 2 \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 10.05 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le moment fléchissant maximal de calcul est \(M_{Ed} = 10.05 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 3 : Module d'Inertie Élastique (\(W_{el,y}\))

Principe :

Le module d'inertie élastique d'une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\), sollicitée en flexion par rapport à son axe fort (passant par le centre de gravité et parallèle à la base), est une caractéristique géométrique qui intervient dans le calcul de la résistance en flexion. Il se calcule par la formule \(W_{el,y} = \frac{b h^2}{6}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{el,y} = \frac{b h^2}{6}\]
Données spécifiques (converties en mm) :
  • Base (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(220 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{el,y} &= \frac{100 \, \text{mm} \times (220 \, \text{mm})^2}{6} \\ &= \frac{100 \times 48400}{6} \, \text{mm}^3 \\ &= \frac{4840000}{6} \, \text{mm}^3 \\ &\approx 806666.67 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

Conversion en cm³ : \(W_{el,y} \approx 806.67 \, \text{cm}^3\)

Résultat Question 3 : Le module d'inertie élastique est \(W_{el,y} \approx 806667 \, \text{mm}^3\).

Question 4 : Résistance de Calcul en Flexion (\(f_{m,d}\))

Principe :

La résistance de calcul en flexion du bois (\(f_{m,d}\)) est obtenue à partir de sa résistance caractéristique en flexion (\(f_{m,k}\)) en appliquant divers coefficients de modification (pour la durée de charge, l'humidité, la hauteur de la section, la stabilité) et en divisant par le coefficient partiel de sécurité du matériau (\(\gamma_M\)).

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 5) :
\[f_{m,d} = k_{mod} \cdot k_h \cdot k_{crit} \cdot \frac{f_{m,k}}{\gamma_M}\]
Données spécifiques :
  • \(k_{mod} = 0.8\)
  • \(k_h = 1.0\) (car \(h = 220 \text{ mm} \geq 150 \text{ mm}\))
  • \(k_{crit} = 0.9\)
  • \(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\) (pour bois de classe C24)
  • \(\gamma_M = 1.3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{m,d} &= 0.8 \times 1.0 \times 0.9 \times \frac{24 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &= 0.72 \times \frac{24}{1.3} \, \text{MPa} \\ &\approx 0.72 \times 18.4615 \, \text{MPa} \\ &\approx 13.292 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La résistance de calcul en flexion est \(f_{m,d} \approx 13.29 \, \text{MPa}\).

Question 5 : Moment Résistant de Calcul (\(M_{Rd}\))

Principe :

Le moment résistant de calcul (\(M_{Rd}\)) est la capacité maximale de la section de la panne à résister à un moment fléchissant. Il est calculé en multipliant la résistance de calcul en flexion du bois (\(f_{m,d}\)) par le module d'inertie élastique de la section (\(W_{el,y}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Rd} = f_{m,d} \cdot W_{el,y}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(f_{m,d} \approx 13.292 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(W_{el,y} \approx 806667 \, \text{mm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{Rd} &\approx 13.292 \, \text{N/mm}^2 \times 806667 \, \text{mm}^3 \\ &\approx 10721156 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

Conversion en kN·m : \(1 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\).

\[ M_{Rd} \approx \frac{10721156}{10^6} \, \text{kN} \cdot \text{m} \approx 10.72 \, \text{kN} \cdot \text{m} \]
Résultat Question 5 : Le moment résistant de calcul de la section est \(M_{Rd} \approx 10.72 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 6 : Vérification de la Résistance en Flexion

Principe :

Pour que la panne soit considérée comme sûre en flexion, le moment fléchissant de calcul agissant (\(M_{Ed}\)) doit être inférieur ou égal au moment résistant de calcul de la section (\(M_{Rd}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Ed} \leq M_{Rd}\]
Données spécifiques :
  • \(M_{Ed} \approx 10.05 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • \(M_{Rd} \approx 10.72 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
Comparaison :
\[10.05 \, \text{kN} \cdot \text{m} \leq 10.72 \, \text{kN} \cdot \text{m} \quad (\text{OK})\]

La condition est vérifiée. Le moment agissant est inférieur au moment que la panne peut supporter.

Résultat Question 6 : La panne résiste en flexion (\(M_{Ed} \leq M_{Rd}\)).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Qu'est-ce qu'une panne dans une charpente de toiture ?

2. Le coefficient \(k_{mod}\) dans le calcul de la résistance du bois tient compte :

3. Si \(M_{Ed} \leq M_{Rd}\) pour une poutre en bois, cela signifie que :

Glossaire

Panne
Pièce de charpente horizontale ou inclinée, posée sur les fermes, les murs ou les poteaux, et supportant les chevrons ou directement les éléments de couverture.
Flexion (Bois)
Sollicitation d'une poutre par des forces perpendiculaires à son axe, provoquant sa courbure.
Résistance Caractéristique en Flexion (\(f_{m,k}\))
Valeur de la contrainte de rupture en flexion d'un bois d'une classe de résistance donnée, ayant une probabilité de 5% de ne pas être atteinte.
Résistance de Calcul en Flexion (\(f_{m,d}\))
Résistance en flexion utilisée pour les vérifications à l'ELU, obtenue en modifiant \(f_{m,k}\) par divers coefficients et en divisant par \(\gamma_M\).
Module d'Inertie Élastique (\(W_{el,y}\))
Caractéristique géométrique d'une section (\(I_y/v\)) qui, multipliée par la contrainte admissible, donne le moment résistant élastique. Pour une section rectangulaire, \(W_{el,y} = bh^2/6\).
Moment Résistant de Calcul (\(M_{Rd}\))
Capacité maximale d'une section à résister à un moment fléchissant à l'ELU.
Moment Fléchissant de Calcul (\(M_{Ed}\))
Moment sollicitant la section, calculé à l'ELU à partir des charges pondérées.
Coefficient de Modification (\(k_{mod}\))
Coefficient tenant compte de l'effet de la durée de la charge et de la classe de service (humidité) sur la résistance du bois.
Coefficient de Hauteur (\(k_h\))
Coefficient qui ajuste la résistance en flexion pour les sections de bois dont la hauteur est différente de la hauteur de référence.
Coefficient de Stabilité au Déversement (\(k_{crit}\))
Coefficient qui réduit la résistance en flexion si la poutre n'est pas maintenue latéralement contre le déversement (flambement latéral-torsionnel).
Coefficient Partiel de Sécurité (\(\gamma_M\))
Coefficient minorant la résistance caractéristique du matériau pour obtenir la résistance de calcul.
État Limite Ultime (ELU)
État limite relatif à la sécurité de la structure (rupture, instabilité).
Conception d’une Charpente en Bois - Exercice d'Application

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