Études de cas pratique

EGC

Section structure en bois

Dimensionnement d'une Section de Poutre en Bois en Flexion

Dimensionnement d'une Section de Poutre en Bois en Flexion

Comprendre le Dimensionnement d'une Section de Poutre en Bois en Flexion

Le dimensionnement d'une poutre en bois consiste à choisir des dimensions de section (largeur \(b\) et hauteur \(h\)) qui lui permettent de résister en toute sécurité aux sollicitations appliquées, tout en respectant des critères de déformation (flèche). Cet exercice se concentre sur la détermination de la hauteur minimale d'une poutre de largeur fixée, pour qu'elle résiste à un moment fléchissant de calcul à l'État Limite Ultime (ELU), selon les principes de l'Eurocode 5.

Données de l'étude

On souhaite déterminer la hauteur minimale (\(h\)) d'une poutre en bois de section rectangulaire, de largeur \(b\) fixée, pour qu'elle résiste à un moment fléchissant donné.

Caractéristiques et Sollicitations :

  • Largeur de la poutre imposée (\(b\)) : \(120 \, \text{mm}\)
  • Moment fléchissant de calcul à l'ELU (\(M_{Ed}\)) : \(15 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Classe de résistance du bois : C24 (\(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\))
  • Coefficient de modification (\(k_{mod}\)) : \(0.8\) (classe de service 2, charge de moyenne durée)
  • Coefficient partiel de sécurité pour le matériau bois (\(\gamma_M\)) : \(1.3\)
  • Coefficient de stabilité au déversement (\(k_{crit}\)) : \(1.0\) (déversement supposé totalement empêché)

Hypothèse : On néglige l'effet du coefficient de hauteur \(k_h\) dans un premier temps (on le supposera égal à 1.0), puis on vérifiera cette hypothèse.

Schéma : Section de Poutre à Dimensionner
Section à Dimensionner b=120mm h = ? M_Ed

Section rectangulaire de poutre en bois avec largeur \(b\) fixée et hauteur \(h\) à déterminer.

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance de calcul en flexion du bois (\(f_{m,d}\)), en supposant initialement \(k_h = 1.0\).
  2. Déterminer le module d'inertie élastique requis (\(W_{el,y,req}\)) pour que la section résiste au moment \(M_{Ed}\).
  3. En utilisant la formule du module d'inertie pour une section rectangulaire (\(W_{el,y} = b h^2 / 6\)), calculer la hauteur minimale requise (\(h_{req}\)) pour la poutre.
  4. Avec la hauteur \(h_{req}\) trouvée, calculer le coefficient de hauteur réel \(k_h\). Si \(k_h\) est significativement différent de 1.0, discuter de la nécessité d'itérer. (Pour cet exercice, on ne demandera pas l'itération complète si \(h_{req} < 150 \text{ mm}\) mais on notera l'impact).
  5. Choisir une hauteur commerciale (\(h_{comm}\)) pour la poutre (arrondie à une valeur standard supérieure, par exemple au cm ou à un multiple de 20 mm) et calculer le moment résistant final (\(M_{Rd}\)) de la section choisie (en utilisant le \(k_h\) approprié pour \(h_{comm}\)).
  6. Vérifier que \(M_{Ed} \leq M_{Rd}\) pour la section commerciale choisie.

Correction : Dimensionnement d'une Section de Poutre en Bois en Flexion

Question 1 : Résistance de Calcul en Flexion (\(f_{m,d}\)) (Hypothèse \(k_h=1.0\))

Principe :

La résistance de calcul en flexion du bois, \(f_{m,d}\), est la valeur que le bois peut supporter en flexion à l'ELU. Elle est dérivée de la résistance caractéristique \(f_{m,k}\) (donnée par la classe de résistance du bois), en appliquant des coefficients de modification et de sécurité. Le coefficient \(k_{mod}\) ajuste la résistance en fonction de la durée de la charge et de la classe de service (qui reflète l'humidité ambiante). Le coefficient \(k_h\) tient compte de l'effet de la hauteur de la section (ici, supposé à 1.0 pour commencer). Le coefficient \(k_{crit}\) prend en compte le risque de déversement (flambement latéral de la poutre), mais il est pris à 1.0 car on suppose le déversement empêché. Enfin, \(\gamma_M\) est le coefficient partiel de sécurité pour le matériau bois.

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 5) :
\[f_{m,d} = k_{mod} \cdot k_h \cdot k_{crit} \cdot \frac{f_{m,k}}{\gamma_M}\]
Données spécifiques :
  • \(k_{mod} = 0.8\)
  • \(k_h = 1.0\) (hypothèse initiale)
  • \(k_{crit} = 1.0\)
  • \(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\) (pour bois de classe C24)
  • \(\gamma_M = 1.3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{m,d} &= 0.8 \times 1.0 \times 1.0 \times \frac{24 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 0.8 \times 18.4615 \, \text{MPa} \\ &\approx 14.769 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : En supposant \(k_h=1.0\), la résistance de calcul en flexion est \(f_{m,d} \approx 14.77 \, \text{MPa}\).

Question 2 : Module d'Inertie Élastique Requis (\(W_{el,y,req}\))

Principe :

Pour qu'une section résiste à un moment fléchissant \(M_{Ed}\), la contrainte maximale de flexion induite (\(\sigma_{m,Ed} = M_{Ed} / W_{el,y}\)) ne doit pas dépasser la résistance de calcul en flexion (\(f_{m,d}\)). Donc, \(M_{Ed} / W_{el,y} \leq f_{m,d}\). Pour dimensionner, on cherche le module d'inertie minimal requis en posant l'égalité : \(W_{el,y,req} = M_{Ed} / f_{m,d}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{el,y,req} = \frac{M_{Ed}}{f_{m,d}}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{Ed} = 15 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 15 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(f_{m,d} \approx 14.769 \, \text{N/mm}^2\) (calculée)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{el,y,req} &= \frac{15 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{14.769 \, \text{N/mm}^2} \\ &\approx 1015640 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

Conversion en cm³ : \(W_{el,y,req} \approx 1015.64 \, \text{cm}^3\)

Résultat Question 2 : Le module d'inertie élastique requis est \(W_{el,y,req} \approx 1.016 \times 10^6 \, \text{mm}^3\).

Question 3 : Expression de \(W_{el,y}\) et Hauteur Minimale Requise (\(h_{req}\))

Principe :

Le module d'inertie élastique d'une section rectangulaire est \(W_{el,y} = \frac{b h^2}{6}\). En égalant cette expression au module requis \(W_{el,y,req}\) et connaissant la base \(b\), on peut isoler et calculer la hauteur minimale \(h_{req}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{el,y} = \frac{b h^2}{6}\] \[h_{req} = \sqrt{\frac{6 \cdot W_{el,y,req}}{b}}\]
Données spécifiques (unités mm) :
  • \(W_{el,y,req} \approx 1015640 \, \text{mm}^3\)
  • Base (\(b\)) : \(120 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} h_{req} &= \sqrt{\frac{6 \times 1015640}{120}} \\ &= \sqrt{\frac{6093840}{120}} \\ &= \sqrt{50782} \\ &\approx 225.35 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La hauteur minimale requise (avec \(k_h=1.0\)) est \(h_{req} \approx 225.4 \, \text{mm}\).

Question 4 : Vérification du Coefficient de Hauteur (\(k_h\))

Principe :

Maintenant que nous avons une première estimation de la hauteur (\(h_{req} \approx 225.4 \, \text{mm}\)), nous devons vérifier si notre hypothèse initiale de \(k_h = 1.0\) était correcte. Le coefficient \(k_h\) est égal à 1.0 si \(h \geq 150 \, \text{mm}\). Si \(h < 150 \, \text{mm}\), il est calculé par \(\min \left( (150/h)^{0.2} \, ; \, 1.3 \right)\).

Données spécifiques :
  • Hauteur calculée (\(h_{req}\)) : \(\approx 225.4 \, \text{mm}\)
Vérification :

Puisque \(h_{req} \approx 225.4 \, \text{mm}\) est supérieur à \(150 \, \text{mm}\), l'hypothèse initiale de \(k_h = 1.0\) est correcte.

\[k_h = 1.0 \quad (\text{car } 225.4 \text{ mm} \geq 150 \text{ mm})\]

Aucune itération n'est donc nécessaire pour ce coefficient dans ce cas.

Résultat Question 4 : L'hypothèse \(k_h = 1.0\) est confirmée car la hauteur requise est \(h_{req} \approx 225.4 \, \text{mm} \geq 150 \, \text{mm}\).

Question 5 : Choix d'une Hauteur Commerciale (\(h_{comm}\)) et Moment Résistant Final (\(M_{Rd}\))

Principe :

On choisit une hauteur commerciale (\(h_{comm}\)) pour la poutre, qui doit être supérieure ou égale à la hauteur minimale requise (\(h_{req}\)). Les dimensions commerciales sont souvent des multiples de 10 mm, 20 mm ou 50 mm. Une fois \(h_{comm}\) choisie, on recalcule le module d'inertie réel (\(W_{el,y,comm}\)) et le moment résistant (\(M_{Rd}\)) de cette section commerciale.

Données spécifiques :
  • \(h_{req} \approx 225.4 \, \text{mm}\)
  • \(b = 120 \, \text{mm}\)
  • \(f_{m,d} \approx 14.77 \, \text{MPa}\) (avec \(k_h=1.0\))
Choix et Calcul :

On choisit une hauteur commerciale supérieure ou égale à 225.4 mm. Prenons par exemple \(h_{comm} = 240 \, \text{mm}\).

Nouveau module d'inertie avec \(h_{comm} = 240 \, \text{mm}\) :

\[ \begin{aligned} W_{el,y,comm} &= \frac{120 \, \text{mm} \times (240 \, \text{mm})^2}{6} \\ &= \frac{120 \times 57600}{6} \, \text{mm}^3 \\ &= 1152000 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

Moment résistant final avec cette section commerciale :

\[ \begin{aligned} M_{Rd} &= f_{m,d} \cdot W_{el,y,comm} \\ &\approx 14.769 \, \text{N/mm}^2 \times 1152000 \, \text{mm}^3 \\ &\approx 17010048 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

Conversion en kN·m :

\[ M_{Rd} \approx 17.01 \, \text{kN} \cdot \text{m} \]
Résultat Question 5 : En choisissant une hauteur commerciale \(h_{comm} = 240 \, \text{mm}\), le moment résistant de la section est \(M_{Rd} \approx 17.01 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 6 : Vérification Finale de la Résistance en Flexion

Principe :

On vérifie que le moment sollicitant \(M_{Ed}\) est inférieur ou égal au moment résistant \(M_{Rd}\) de la section commerciale choisie.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Ed} \leq M_{Rd}\]
Données spécifiques :
  • \(M_{Ed} = 15 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • \(M_{Rd} \approx 17.01 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) (pour \(b=120\text{mm}, h=240\text{mm}\))
Comparaison :
\[15 \, \text{kN} \cdot \text{m} \leq 17.01 \, \text{kN} \cdot \text{m} \quad (\text{OK})\]

La condition est vérifiée.

Résultat Question 6 : La section de poutre choisie (120 mm x 240 mm) résiste en flexion (\(M_{Ed} \leq M_{Rd}\)).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Quel est l'objectif principal du dimensionnement d'une poutre en bois en flexion à l'ELU ?

2. Le module d'inertie élastique (\(W_{el,y}\)) d'une section rectangulaire dépend de :

3. Si, après avoir calculé \(h_{req}\), on trouve que le \(k_h\) réel est inférieur à 1.0 (par exemple 0.9), comment cela affecterait-il la hauteur requise si on devait itérer ?

Glossaire

Dimensionnement
Processus de détermination des dimensions d'un élément structural pour qu'il résiste aux sollicitations appliquées.
Poutre en Bois
Élément structural linéaire en bois, travaillant principalement en flexion.
Flexion
Sollicitation qui tend à courber un élément.
État Limite Ultime (ELU)
État limite correspondant à la capacité portante maximale de la structure ou d'un de ses éléments avant rupture ou perte de stabilité.
Moment Fléchissant de Calcul (\(M_{Ed}\))
Moment sollicitant la section, calculé à l'ELU à partir des charges pondérées.
Moment Résistant de Calcul (\(M_{Rd}\))
Capacité maximale d'une section à résister à un moment fléchissant à l'ELU.
Résistance Caractéristique en Flexion (\(f_{m,k}\))
Résistance en flexion du bois, définie pour une classe de résistance donnée, avec une faible probabilité d'être inférieure.
Résistance de Calcul en Flexion (\(f_{m,d}\))
Résistance en flexion utilisée pour les calculs à l'ELU, tenant compte des coefficients de modification et de sécurité.
Module d'Inertie Élastique (\(W_{el,y}\))
Caractéristique géométrique de la section (\(I_y/y_{max}\)) qui relie le moment fléchissant à la contrainte maximale en flexion élastique.
Coefficient de Modification (\(k_{mod}\))
Coefficient ajustant la résistance du bois en fonction de la durée de la charge et de la classe de service (humidité).
Coefficient de Hauteur (\(k_h\))
Coefficient ajustant la résistance en flexion pour les sections de bois dont la hauteur est différente de la hauteur de référence (150 mm).
Coefficient de Stabilité au Déversement (\(k_{crit}\))
Coefficient réduisant la résistance en flexion si la poutre n'est pas adéquatement maintenue contre le flambement latéral.
Dimensionnement d'une Section de Poutre en Bois - Exercice d'Application

D’autres exercices de structure en bois:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *