Études de cas pratique

EGC

Calcul la résistance d’une planche de bois

Calcul de la Résistance d’une Planche de Bois en Flexion

Comprendre le Calcul de la Résistance d’une Planche de Bois en Flexion

Le bois est un matériau couramment utilisé en construction pour les éléments de structure tels que les planches, les poutres ou les solives. Lorsqu'une planche est soumise à des charges perpendiculaires à son axe longitudinal, elle subit une flexion. Il est essentiel de vérifier que la contrainte de flexion maximale induite dans la planche ne dépasse pas la résistance admissible du bois, ou que le moment fléchissant agissant est inférieur au moment résistant de la section. Ce calcul est effectué à l'État Limite Ultime (ELU) selon les principes de l'Eurocode 5.

Données de l'étude

On étudie une planche de bois rectangulaire, simplement appuyée, utilisée comme solive dans un plancher.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Largeur de la planche (\(b\)) : \(45 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la planche (\(h\)) : \(145 \, \text{mm}\)
  • Portée de la planche entre appuis (\(L\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
  • Classe de résistance du bois : C24 (\(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\) - résistance caractéristique en flexion)
  • Coefficient de modification (\(k_{mod}\)) : \(0.9\) (pour classe de service 2 et charge de courte durée)
  • Coefficient partiel de sécurité pour le matériau bois (\(\gamma_M\)) : \(1.3\)
  • Coefficient de hauteur (\(k_h\)) : On calculera \(k_h = \min \left( (150/h)^{0.2} \, ; \, 1.3 \right)\) si \(h < 150 \text{ mm}\), sinon \(k_h=1.0\).
  • Coefficient de stabilité au déversement (\(k_{crit}\)) : \(1.0\) (on suppose que le déversement est empêché).

Sollicitations (ELU) :

  • Charge uniformément répartie de calcul (\(q_{Ed}\)) : \(2.5 \, \text{kN/m}\) (incluant le poids propre de la planche)
Schéma : Planche en Flexion et Section
Planche en flexion qEd L = 3.0 m Section b=45mm h=145mm

Planche simplement appuyée avec charge répartie et sa section transversale.

Questions à traiter

  1. Calculer le module d'inertie élastique (\(W_{el,y}\)) de la section de la planche.
  2. Calculer le coefficient de hauteur (\(k_h\)).
  3. Calculer la résistance de calcul en flexion du bois (\(f_{m,d}\)).
  4. Calculer le moment résistant de calcul de la section (\(M_{Rd}\)).
  5. Calculer le moment fléchissant maximal de calcul agissant (\(M_{Ed}\)) dans la planche.
  6. Vérifier si la planche résiste en flexion (\(M_{Ed} \leq M_{Rd}\)).

Correction : Calcul de la Résistance d’une Planche de Bois

Question 1 : Module d'Inertie Élastique (\(W_{el,y}\))

Principe :

Le module d'inertie élastique (aussi appelé module de section ou module de flexion) est une propriété géométrique de la section qui caractérise sa capacité à résister à la flexion. Pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\), sollicitée en flexion par rapport à l'axe passant par son centre de gravité et parallèle à sa base, ce module est calculé par la formule \(W_{el,y} = \frac{I_y}{v}\), où \(I_y = \frac{b h^3}{12}\) est le moment d'inertie et \(v = h/2\) est la distance de la fibre la plus éloignée à l'axe neutre. Cela se simplifie en \(W_{el,y} = \frac{b h^2}{6}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{el,y} = \frac{b h^2}{6}\]
Données spécifiques (converties en mm) :
  • Base (\(b\)) : \(45 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(145 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{el,y} &= \frac{45 \, \text{mm} \times (145 \, \text{mm})^2}{6} \\ &= \frac{45 \times 21025}{6} \, \text{mm}^3 \\ &= \frac{946125}{6} \, \text{mm}^3 \\ &= 157687.5 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

Conversion en cm³ : \(W_{el,y} \approx 157.69 \, \text{cm}^3\)

Résultat Question 1 : Le module d'inertie élastique est \(W_{el,y} = 157687.5 \, \text{mm}^3\).

Question 2 : Coefficient de Hauteur (\(k_h\))

Principe :

Le coefficient de hauteur \(k_h\) est un facteur de correction qui tient compte de l'effet de la dimension de la section (spécifiquement sa hauteur \(h\)) sur la résistance en flexion du bois. Les normes reconnaissent que la résistance caractéristique en flexion \(f_{m,k}\) est généralement établie pour une hauteur de référence (souvent 150 mm). Pour des hauteurs différentes, cette résistance peut varier. Si \(h < 150 \text{ mm}\), \(k_h\) peut être supérieur à 1.0 (jusqu'à un maximum de 1.3), ce qui signifie une augmentation de la résistance. Si \(h \geq 150 \text{ mm}\), \(k_h\) est pris égal à 1.0.

Formule(s) utilisée(s) :
\[k_h = \min \left( \left(\frac{150}{h}\right)^{0.2} \, ; \, 1.3 \right) \quad \text{si } h < 150 \, \text{mm}\] \[k_h = 1.0 \quad \text{si } h \geq 150 \, \text{mm}\]

(h en mm)

Données spécifiques :
  • Hauteur (\(h\)) : \(145 \, \text{mm}\)
Calcul :

Comme \(h = 145 \, \text{mm} < 150 \, \text{mm}\), nous utilisons la première formule :

\[ \begin{aligned} \left(\frac{150}{145}\right)^{0.2} &\approx (1.03448)^{0.2} \\ &\approx 1.0068 \end{aligned} \]

Ensuite, on compare cette valeur à 1.3 :

\[ k_h = \min(1.0068 \, ; \, 1.3) = 1.0068 \]

Ce coefficient étant très proche de 1, son influence sera minime, mais il est important de suivre la procédure.

Résultat Question 2 : Le coefficient de hauteur est \(k_h \approx 1.0068\).

Question 3 : Résistance de Calcul en Flexion (\(f_{m,d}\))

Principe :

La résistance de calcul en flexion (\(f_{m,d}\)) est la valeur de résistance que l'on utilise pour les vérifications à l'ELU. Elle est déduite de la résistance caractéristique en flexion (\(f_{m,k}\)) en appliquant plusieurs coefficients : \(k_{mod}\) (qui tient compte de la durée de la charge et de la classe de service/humidité), \(k_h\) (calculé précédemment), et en divisant par le coefficient partiel de sécurité pour le matériau bois (\(\gamma_M\)). Le coefficient \(k_{crit}\) (stabilité au déversement) est pris égal à 1.0 ici car on suppose le déversement empêché.

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 5) :
\[f_{m,d} = k_{mod} \cdot k_h \cdot k_{crit} \cdot \frac{f_{m,k}}{\gamma_M}\]
Données spécifiques :
  • \(k_{mod} = 0.9\)
  • \(k_h \approx 1.0068\)
  • \(k_{crit} = 1.0\)
  • \(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\) (pour bois de classe C24)
  • \(\gamma_M = 1.3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{m,d} &= 0.9 \times 1.0068 \times 1.0 \times \frac{24 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 0.90612 \times 18.461538 \, \text{MPa} \\ &\approx 16.726 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La résistance de calcul en flexion est \(f_{m,d} \approx 16.73 \, \text{MPa}\).

Question 4 : Moment Résistant de Calcul (\(M_{Rd}\))

Principe :

Le moment résistant de calcul (\(M_{Rd}\)) d'une section en bois sollicitée en flexion est sa capacité à résister au moment fléchissant. Il est calculé en multipliant la résistance de calcul en flexion (\(f_{m,d}\)) par le module d'inertie élastique (\(W_{el,y}\)) de la section. C'est le moment maximal que la section peut supporter avant d'atteindre sa limite de résistance à l'ELU.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Rd} = f_{m,d} \cdot W_{el,y}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(f_{m,d} \approx 16.726 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(W_{el,y} = 157687.5 \, \text{mm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{Rd} &= 16.726 \, \text{N/mm}^2 \times 157687.5 \, \text{mm}^3 \\ &\approx 2637658 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

Pour une meilleure lisibilité, on convertit souvent cette valeur en kilonewton-mètre (kN·m) : \(1 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\).

\[ M_{Rd} \approx \frac{2637658}{10^6} \, \text{kN} \cdot \text{m} \approx 2.638 \, \text{kN} \cdot \text{m} \]
Résultat Question 4 : Le moment résistant de calcul de la section est \(M_{Rd} \approx 2.64 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 5 : Moment Fléchissant Maximal Agissant (\(M_{Ed}\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée (c'est-à-dire reposant librement sur deux appuis) et soumise à une charge uniformément répartie \(q_{Ed}\) sur toute sa portée \(L\), le moment fléchissant est maximal au milieu de la portée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Ed} = \frac{q_{Ed} L^2}{8}\]
Données spécifiques :
  • \(q_{Ed} = 2.5 \, \text{kN/m}\)
  • Portée (\(L\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{Ed} &= \frac{2.5 \, \text{kN/m} \times (3.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{2.5 \times 9.0}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= \frac{22.5}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 2.8125 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le moment fléchissant maximal de calcul agissant est \(M_{Ed} = 2.8125 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 6 : Vérification de la Résistance en Flexion

Principe :

La vérification de la sécurité en flexion consiste à s'assurer que le moment fléchissant de calcul agissant sur la planche (\(M_{Ed}\)) ne dépasse pas le moment résistant de calcul de la section de la planche (\(M_{Rd}\)). Si \(M_{Ed} \leq M_{Rd}\), la planche est considérée comme suffisamment résistante.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Ed} \leq M_{Rd}\]
Données spécifiques :
  • \(M_{Ed} = 2.8125 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • \(M_{Rd} \approx 2.64 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
Comparaison :
\[2.8125 \, \text{kN} \cdot \text{m} > 2.64 \, \text{kN} \cdot \text{m}\]

La condition \(M_{Ed} \leq M_{Rd}\) n'est PAS vérifiée. Le moment agissant est supérieur au moment que la planche peut supporter.

Résultat Question 6 : La planche ne résiste pas en flexion sous la charge appliquée (\(M_{Ed} > M_{Rd}\)). Il faudrait choisir une section plus grande, un bois de classe supérieure, ou réduire les charges/portée.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Que représente \(f_{m,k}\) pour le bois ?

2. Le coefficient \(k_{mod}\) tient compte :

3. Si \(M_{Ed} > M_{Rd}\), cela signifie que :

Glossaire

Flexion (Bois)
Sollicitation d'un élément en bois par des forces perpendiculaires à son axe longitudinal, provoquant sa courbure.
Résistance Caractéristique en Flexion (\(f_{m,k}\))
Valeur de la contrainte de rupture en flexion d'un bois d'une classe de résistance donnée, ayant une probabilité de 5% de ne pas être atteinte.
Résistance de Calcul en Flexion (\(f_{m,d}\))
Résistance en flexion utilisée pour les vérifications à l'ELU, obtenue en modifiant \(f_{m,k}\) par \(k_{mod}\), \(k_h\) et en divisant par \(\gamma_M\).
Module d'Inertie Élastique (\(W_{el,y}\))
Caractéristique géométrique d'une section (\(I_y/v\)) qui, multipliée par la contrainte admissible, donne le moment résistant élastique. Pour une section rectangulaire, \(W_{el,y} = bh^2/6\).
Moment Résistant de Calcul (\(M_{Rd}\))
Capacité maximale d'une section à résister à un moment fléchissant à l'ELU.
Moment Fléchissant de Calcul (\(M_{Ed}\))
Moment sollicitant la section, calculé à l'ELU à partir des charges pondérées.
Coefficient de Modification (\(k_{mod}\))
Coefficient qui tient compte de l'effet de la durée de la charge et de la classe de service (conditions d'humidité) sur la résistance du bois.
Coefficient de Hauteur (\(k_h\))
Coefficient qui ajuste la résistance en flexion pour les sections de bois dont la hauteur est différente de la hauteur de référence (souvent 150 mm).
Coefficient Partiel de Sécurité (\(\gamma_M\))
Coefficient minorant la résistance caractéristique du matériau pour obtenir la résistance de calcul.
État Limite Ultime (ELU)
État limite relatif à la sécurité de la structure (rupture, instabilité).
Calcul de la Résistance d’une Planche de Bois - Exercice d'Application

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