Calcul la résistance d’une planche de bois
Comprendre le calcul de la résistance d’une planche de bois
L’objectif de cet exercice est de permettre à l’étudiant de déterminer si une planche de bois peut supporter une charge spécifique sans se rompre. Cela implique de calculer la déflexion maximale de la planche et de vérifier la contrainte de flexion afin de s’assurer que la planche reste dans les limites de sécurité structurelle.
Données Fournies:
- Matériau de la planche : Pin
- Dimensions de la planche :
- Longueur (L) : 2 mètres
- Largeur (b) : 30 cm
- Épaisseur (h) : 5 cm
- Charge appliquée : 1500 N uniformément répartie sur la longueur de la planche
- Propriétés mécaniques du Pin :
- Module d’Young (E) : 11 GPa
- Résistance à la rupture (σrupt) : 40 MPa
Questions:
1. Calcul de la Flexion Maximale :
- Déterminer la flèche maximale (déflexion verticale) de la planche en considérant celle-ci comme une poutre en flexion simple supportée par deux appuis à ses extrémités.
2. Vérification de la Contrainte de Flexion :
- Utiliser la formule de contrainte de flexion pour une poutre simplement appuyée sous une charge uniformément répartie pour calculer la contrainte de flexion maximale (σ_flexion) au point le plus sollicité de la planche.
3. Évaluation de la Sécurité :
- Comparer la contrainte de flexion maximale calculée avec la résistance à la rupture du pin. Utiliser un facteur de sécurité n, défini comme le rapport entre la résistance à la rupture et la contrainte maximale, pour évaluer la sécurité de la planche.
Questions pour Discussion:
- Que se passerait-il si la charge était doublée ?
- Comment l’épaisseur de la planche affecte-t-elle la flèche maximale et la contrainte de flexion ?
- Quelles pourraient être les conséquences d’une humidité élevée sur la résistance de la planche ?
Correction : Calcul la résistance d’une planche de bois
1. Calcul de la flexion maximale (flèche maximale)
Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniforme, la flèche maximale est donnée par:
\[ f = \frac{5 \cdot P \cdot L^3}{384 \cdot E \cdot I} \]
où:
- \(P = 1500 \, \text{N}\) (charge totale),
- \(L = 2 \, \text{m}\) (longueur),
- \(E = 11 \, \text{GPa} = 11 \times 10^9 \, \text{Pa}\) (module d’Young),
- \(I = \frac{b \cdot h^3}{12}\) (moment d’inertie de la section rectangulaire).
Calcul du moment d’inertie \(I\):
\[ I = \frac{0.3 \, \text{m} \cdot (0.05 \, \text{m})^3}{12} = \frac{0.3 \cdot 0.000125}{12} = 3.125 \times 10^{-6} \, \text{m}^4. \]
Calcul de la flèche \(f\):
\[ f = \frac{5 \cdot 1500 \cdot 2^3}{384 \cdot 11 \times 10^9 \cdot 3.125 \times 10^{-6}} \] \[ f = \frac{60000}{1.32 \times 10^7} \] \[ f \approx 0.00455 \, \text{m} \] \[ f = 4.55 \, \text{mm}. \]
Conclusion : La planche fléchit de 4,55 mm sous la charge. Cette valeur est typique pour du bois soumis à une charge modérée.
2. Vérification de la contrainte de flexion
La contrainte de flexion maximale est donnée par:
\[ \sigma_{\text{flexion}} = \frac{M \cdot c}{I} \]
où:
- \(M = \frac{P \cdot L}{8} = \frac{1500 \cdot 2}{8} = 375 \, \text{Nm}\) (moment de flexion maximal),
- \(c = \frac{h}{2} = 0.025 \, \text{m}\) (distance de la fibre la plus éloignée).
Calcul de \(\sigma_{\text{flexion}}\):
\[ \sigma_{\text{flexion}} = \frac{375 \cdot 0.025}{3.125 \times 10^{-6}} \] \[ \sigma_{\text{flexion}} = \frac{9.375}{3.125 \times 10^{-6}} \] \[ \sigma_{\text{flexion}} = 3 \, 000 \, 000 \, \text{Pa} \] \[ \sigma_{\text{flexion}} = 3 \, \text{MPa}. \]
Conclusion : La contrainte maximale est de 3 MPa, bien inférieure à la résistance à la rupture du pin (40 MPa).
3. Évaluation de la sécurité
Objectif : Déterminer si la planche est sécurisée avec un facteur de sécurité \(n \geq 2\).
Calcul du facteur de sécurité \(n\):
\[ n = \frac{\sigma_{\text{rupt}}}{\sigma_{\text{flexion}}} \] \[ n = \frac{40 \, \text{MPa}}{3 \, \text{MPa}} \] \[ n \approx 13.33. \]
Conclusion : Le facteur de sécurité est très élevé (\(n = 13.33\)). La planche est donc sécurisée.
4. Discussion
a. Si la charge est doublée:
- La contrainte doublerait (\(\sigma = 6 \, \text{MPa}\)), et \(n = \frac{40}{6} \approx 6.67\), toujours acceptable.
- La flèche doublerait (\(f \approx 9.1 \, mm\)).
b. Effet de l’épaisseur \(h\):
- La flèche est inversement proportionnelle à \(h^3\). Doubler \(h\) réduirait la flèche par 8.
- La contrainte est inversement proportionnelle à \(h^2\). Doubler \(h\) réduirait la contrainte par 4.
c. Impact de l’humidité:
L’humidité réduit le module d’Young (\(E\)) et \(\sigma_{\text{rupt}}\), augmentant la flèche et risquant la rupture prématurée.
Synthèse finale : La planche en pin est largement sécurisée pour la charge donnée. Une augmentation de charge ou une exposition à l’humidité nécessiterait une réévaluation.
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