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Vérification de la stabilité d’un portique

Génie Civil : Vérification de la Stabilité d'un Portique Simple en Bois

Vérification de la stabilité d'un portique simple en bois

Contexte : Franchir de Grandes Portées en Bois

Le portiqueStructure composée de deux poteaux (éléments verticaux) et d'une traverse (élément horizontal ou incliné), assemblés de manière rigide. Il est très efficace pour franchir des espaces sans appuis intermédiaires. est une structure fondamentale en génie civil, utilisée pour les bâtiments industriels, agricoles ou sportifs. En bois, il est souvent réalisé en lamellé-collé pour atteindre de grandes portées. Sa stabilité dépend de la rigidité de ses assemblages (notamment l'encastrement en pied et la liaison poteau-traverse) et de la capacité de ses membres à résister aux efforts combinés de compression, de flexion et aux effets du second ordre (flambement, déversement). Cet exercice propose de vérifier les éléments clés d'un portique simple sous charges gravitaires et de vent.

Remarque Pédagogique : Contrairement à une série de poutres sur poteaux, les éléments d'un portique travaillent ensemble. Une charge verticale sur la traverse induit de la flexion dans les poteaux, et une charge horizontale sur un poteau se transmet dans toute la structure. Comprendre cette "hyperstaticité" est la clé du dimensionnement des portiques.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les efforts (moment fléchissant, effort normal) dans un portique simple.
  • Vérifier la résistance d'une traverse en bois lamellé-collé à la flexion.
  • Vérifier la résistance d'un poteau à la flexion composée (compression + flexion).
  • Comprendre l'importance du déversementPhénomène d'instabilité d'une poutre fléchie, qui se tord et se déplace latéralement hors de son plan de flexion. C'est un risque majeur pour les poutres élancées non maintenues latéralement. pour les traverses de grande portée.
  • Appliquer les formules d'interaction de l'Eurocode 5 pour les éléments sollicités.

Données de l'étude

On étudie un portique simple en bois lamellé-collé GL24h, de 12m de portée et 5m de hauteur. Les poteaux et la traverse ont une section de 180x500 mm. Le portique est soumis à une charge verticale uniformément répartie sur la traverse \(q_d = 10 \, \text{kN/m}\) (combinaison ELU incluant poids propre et neige) et à une force de vent horizontale en tête de poteau \(H_d = 15 \, \text{kN}\).

Schéma du portique et des charges
qd = 10 kN/m Hd = 15 kN Portée = 12 m H = 5 m

Données réglementaires et matérielles (Eurocode 5) :

  • Classe de service 1, charge de court terme (\(k_{\text{mod}} = 0.9\))
  • Coefficient partiel de sécurité : \(\gamma_{\text{M}} = 1.25\) (pour le lamellé-collé)
  • Bois GL24h : \(f_{\text{m,k}} = 24 \, \text{MPa}\), \(f_{\text{c},0,\text{k}} = 24 \, \text{MPa}\)
  • Les pieds de poteaux sont considérés comme parfaitement encastrés.
  • La traverse est maintenue contre le déversement par des pannes.

Questions à traiter

  1. Calculer le moment fléchissant maximal à l'encastrement du poteau (\(M_{pied,d}\)).
  2. Calculer le moment fléchissant maximal dans la traverse (\(M_{trav,d}\)).
  3. Vérifier la résistance de la traverse à la flexion simple.
  4. Vérifier la résistance du poteau à la flexion composée (compression + flexion).

Correction : Vérification de la stabilité d'un portique

Question 1 : Moment à l'Encastrement du Poteau (\(M_{pied,d}\))

Principe :
Vent Moment

Dans un portique encastré, les charges horizontales (vent) et la dissymétrie des charges verticales créent des moments de flexion importants aux pieds des poteaux. On utilise des formules de Résistance des Matériaux (RDM) pour un portique simple pour estimer ces efforts.

Remarque Pédagogique :

L'importance de l'encastrement : Un pied de poteau "articulé" ne peut pas reprendre de moment. Un pied "encastré" le peut, ce qui rend le portique beaucoup plus rigide et stable face aux efforts horizontaux. La réalisation d'un bon encastrement est un défi technique majeur en construction bois.

Formule(s) utilisée(s) :

Pour un portique simple à 2 poteaux encastrés de même inertie, le moment au pied dû au vent est :

\[ M_{pied,d} \approx \frac{H_d \times h}{2} \]
Donnée(s) :
  • Charge de vent \(H_d = 15 \, \text{kN}\)
  • Hauteur du poteau \(h = 5 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} M_{pied,d} &= \frac{15 \, \text{kN} \times 5 \, \text{m}}{2} \\ &= 37.5 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Formules simplifiées : Les formules de RDM simples sont des approximations. Pour un projet réel, les ingénieurs utilisent des logiciels de calcul de structure qui modélisent précisément la géométrie, les rigidités des assemblages et les charges pour obtenir des efforts internes exacts.

Le saviez-vous ?

Le bois lamellé-collé (BLC) a été breveté en Allemagne en 1901 par Otto Hetzer. Cette invention a permis de s'affranchir des limites de taille des pièces de bois massif, ouvrant la voie à des structures en bois de très grande portée comme les dômes ou les halles d'exposition.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si les pieds sont articulés ?

Si les pieds sont articulés, le moment y est nul. Le portique se comporte alors comme un "arc à trois rotules" (deux aux pieds, une au faîtage). Il est beaucoup moins rigide et les moments dans la traverse et aux nœuds poteau-traverse sont bien plus importants pour reprendre les charges horizontales.

Résultat : Le moment de calcul au pied du poteau est \(M_{pied,d} = 37.5 \, \text{kN.m}\).

Question 2 : Moment dans la Traverse (\(M_{trav,d}\))

Principe :
Moment max ≈ qL²/8

La traverse se comporte comme une poutre sur deux appuis (les poteaux), soumise à la charge répartie \(q_d\). Le moment maximal se produit au milieu de la portée. Pour une poutre bi-articulée, ce moment est \(qL^2/8\). Pour un portique, la rigidité des nœuds modifie légèrement cette valeur, mais la formule reste une bonne première approximation.

Remarque Pédagogique :

Approximation vs Précision : En phase de prédimensionnement, un ingénieur utilise souvent ces formules simples pour estimer rapidement une section. Pour la justification finale, il utilisera un modèle informatique qui calcule le moment exact en tenant compte de la rigidité de tous les éléments, y compris les assemblages.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ M_{trav,d} \approx \frac{q_d \times L^2}{8} \]
Donnée(s) :
  • Charge répartie \(q_d = 10 \, \text{kN/m}\)
  • Portée \(L = 12 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ M_{trav,d} = \frac{10 \, \text{kN/m} \times (12 \, \text{m})^2}{8} = \frac{1440}{8} = 180 \, \text{kN.m} \]
Points de vigilance :

Moment aux appuis : Dans un portique rigide, il existe aussi un moment négatif (qui tend la fibre supérieure) au niveau des assemblages poteau-traverse. Ce moment doit aussi être vérifié et l'assemblage doit être capable de le transmettre.

Le saviez-vous ?

Pour optimiser le matériau, les traverses de portiques en lamellé-collé ont souvent une hauteur variable : plus haute au milieu (où le moment est maximal) et plus faible sur les appuis. Cela donne aux portiques leur forme caractéristique de "dos de baleine".

FAQ en rapport avec la question :
Le vent a-t-il un effet sur le moment dans la traverse ?

Oui. La force horizontale crée des moments dans les poteaux qui se transmettent à la traverse. Le vent peut donc augmenter ou diminuer le moment dans la traverse, selon sa direction et la géométrie du portique. Un calcul complet doit analyser plusieurs combinaisons de charges pour trouver le cas le plus défavorable.

Résultat : Le moment maximal dans la traverse est \(M_{trav,d} \approx 180 \, \text{kN.m}\).

Question 3 : Vérification de la Traverse à la Flexion

Principe :

On vérifie que la contrainte de flexion maximale dans la traverse, causée par le moment \(M_{trav,d}\), ne dépasse pas la résistance en flexion du matériau, \(f_{m,d}\). Comme la traverse est maintenue latéralement, le risque de déversement est écarté et une simple vérification de contrainte suffit.

Remarque Pédagogique :

Le rôle du module d'inertie : La contrainte de flexion est inversement proportionnelle au module d'inertie (\(W_y\)). Pour une même section, plus une poutre est haute, plus son module d'inertie est grand et plus elle est efficace pour résister à la flexion. C'est pourquoi on utilise des sections rectangulaires "debout" (h > b) pour les poutres.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_{m,y,d} = \frac{M_{trav,d}}{W_y} \le f_{m,d} \quad \text{avec} \quad W_y = \frac{b \cdot h^2}{6} \]
Donnée(s) :
  • \(M_{trav,d} = 180 \, \text{kN.m} = 180 \times 10^6 \, \text{N.mm}\)
  • Section : \(b=180\,\text{mm}\), \(h=500\,\text{mm}\)
  • \(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\) ; \(k_{mod} = 0.9\) ; \(\gamma_M = 1.25\)
Calcul(s) :
\[ f_{m,d} = \frac{0.9 \times 24}{1.25} = 17.28 \, \text{MPa} \]
\[ W_y = \frac{180 \times 500^2}{6} = 7,500,000 \, \text{mm}^3 \]
\[ \sigma_{m,y,d} = \frac{180 \times 10^6}{7,500,000} = 24 \, \text{MPa} \]

Vérification :

\[ 24 \, \text{MPa} \le 17.28 \, \text{MPa} \quad \Rightarrow \quad \text{NON CONFORME} \]
Résultat : La traverse n'est PAS CONFORME en flexion (\(24 \, \text{MPa} > 17.28 \, \text{MPa}\)). Il faudrait une section plus haute.

Question 4 : Vérification du Poteau en Flexion Composée

Principe :

Le poteau est soumis à la fois à une compression axiale (la moitié des charges verticales) et à la flexion due au moment d'encastrement. On doit utiliser une formule d'interaction pour vérifier que la combinaison des deux sollicitations est acceptable, en tenant compte du risque de flambement.

Remarque Pédagogique :

La formule la plus complète : Cette vérification est l'une des plus complètes en dimensionnement bois, car elle combine la compression, la flexion et la stabilité (flambement). Si un élément passe ce test, il est considéré comme très robuste. C'est la vérification typique pour tout poteau de bâtiment.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c,y} \cdot f_{c,0,d}} + \frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,d}} \le 1 \]
Donnée(s) :
  • Effort normal : \(N_d = \frac{q_d \cdot L}{2} = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60 \, \text{kN}\)
  • Moment au pied : \(M_{pied,d} = 37.5 \, \text{kN.m}\)
  • Section : \(b=180\,\text{mm}\), \(h=500\,\text{mm}\)
Calcul(s) :

1. Contraintes appliquées :

\[ \sigma_{c,0,d} = \frac{60000}{180 \times 500} = 0.67 \, \text{MPa} \]
\[ \sigma_{m,y,d} = \frac{37.5 \times 10^6}{7,500,000} = 5.0 \, \text{MPa} \]

2. Coefficient de flambement \(k_{c,y}\) (flexion autour de l'axe fort, on suppose \(k_{c,y} \approx 1.0\) car le poteau est très rigide dans ce sens) :

3. Vérification :

\[ \frac{0.67}{1.0 \times 18.46} + \frac{5.0}{17.28} = 0.036 + 0.289 = 0.325 \]
\[ 0.325 \le 1 \]
Résultat : La condition est vérifiée (\(0.325 \le 1\)). Le poteau est stable en flexion composée.

Simulation Interactive : Stabilité du Portique

Faites varier les paramètres du portique pour voir leur influence sur la résistance de la traverse et du poteau. L'objectif est de garder les deux ratios de vérification en dessous de 100%.

Paramètres du Portique
Ratios de Vérification

Pour Aller Plus Loin : Stabilité au Déversement

Dans notre exercice, nous avons supposé que la traverse était maintenue contre le déversementPhénomène d'instabilité d'une poutre fléchie, qui se tord et se déplace latéralement hors de son plan de flexion. C'est un risque majeur pour les poutres élancées non maintenues latéralement.. Si ce n'était pas le cas (absence de pannes ou maintien insuffisant), la poutre pourrait se "tordre" et fléchir latéralement bien avant d'atteindre sa résistance en flexion. Il faudrait alors appliquer un coefficient réducteur \(k_{crit}\) à la résistance en flexion, rendant la vérification beaucoup plus sévère. La prévention du déversement est un aspect crucial du dimensionnement des poutres de grande portée.

Le Saviez-Vous ?

Le plus grand portique en bois du monde se trouve dans le "Richmond Olympic Oval" au Canada, construit pour les Jeux Olympiques de 2010. Les poutres en lamellé-collé, fabriquées à partir de bois endommagé par des insectes (dendroctone du pin), franchissent une portée de près de 100 mètres, démontrant les capacités exceptionnelles du bois d'ingénierie.

Foire Aux Questions (FAQ)

Comment sont réalisés les assemblages rigides d'un portique ?

Les assemblages rigides (encastrements, nœuds) sont le point délicat. Ils sont souvent réalisés à l'aide de grandes plaques d'acier, de broches et de boulons. La conception de ces assemblages est complexe, car il faut s'assurer qu'ils sont assez rigides pour correspondre à l'hypothèse de calcul et assez résistants pour transmettre les efforts importants (moment, effort tranchant) sans poinçonner ou cisailler le bois.

Un portique à 3 articulations est-il plus simple à calculer ?

Oui, beaucoup plus simple. Un portique à 3 articulations (deux aux pieds, une au faîtage) est "isostatique", ce qui signifie que l'on peut trouver tous les efforts internes avec les seules équations de la statique, sans avoir besoin de connaître la rigidité des éléments. En revanche, il est moins performant pour reprendre les efforts horizontaux et se déforme davantage.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour un portique, si l'on double la portée (L), le moment maximal dans la traverse (\(qL^2/8\)) est :

2. Quel est le principal avantage d'un pied de poteau encastré par rapport à un pied articulé ?

Glossaire

Portique
Structure composée de deux poteaux (éléments verticaux) et d'une traverse (élément horizontal ou incliné), assemblés de manière rigide. Il est très efficace pour franchir des espaces sans appuis intermédiaires.
Déversement
Phénomène d'instabilité d'une poutre fléchie, qui se tord et se déplace latéralement hors de son plan de flexion. C'est un risque majeur pour les poutres élancées non maintenues latéralement.
Bois Lamellé-Collé (BLC)
Matériau d'ingénierie composé de lamelles de bois de faible épaisseur, triées et collées à plat et à fils parallèles. Il permet de fabriquer des pièces de très grande taille et de formes complexes.
Hyperstatique
Se dit d'une structure pour laquelle les équations de la statique ne suffisent pas à déterminer tous les efforts internes. Sa résolution nécessite de prendre en compte les déformations et la rigidité des matériaux.
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