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Analyse d’une poutre treillis en bois

Analyse des efforts dans les membrures et diagonales d'une poutre treillis en bois

Contexte : L'Art d'Assembler pour Porter

Les structures en treillis sont des assemblages de barres droites (généralement en bois ou en métal) connectées à leurs extrémités par des nœudsPoint de connexion où les membrures et les diagonales d'un treillis se rejoignent. En théorie, les nœuds sont articulés et ne transmettent pas de moment.. Cette configuration triangulaire leur confère une grande rigidité et une capacité à franchir de longues portées avec un minimum de matière. Elles sont omniprésentes dans les ponts, les charpentes de toitures et les pylônes. Pour dimensionner correctement chaque barre (appelée membrure ou diagonale), il est impératif de calculer l'effort interne qu'elle subit : est-elle tirée (tractionEffort interne qui tend à allonger une barre. Par convention, un effort de traction est positif.) ou comprimée (compressionEffort interne qui tend à raccourcir une barre. Par convention, un effort de compression est négatif.) ? Cet exercice se concentre sur la méthode des sectionsMéthode d'analyse qui consiste à "couper" virtuellement le treillis pour isoler une section et appliquer les équations de l'équilibre statique. pour trouver ces efforts.

Remarque Pédagogique : La méthode des sections est particulièrement efficace lorsqu'on ne s'intéresse qu'aux efforts dans quelques barres spécifiques, sans avoir à résoudre l'ensemble du treillis nœud par nœud.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer les principes de la statique pour calculer les réactions d'appuis.
  • Comprendre et appliquer la méthode des sections pour analyser un treillis.
  • Isoler une section de treillis et dessiner son diagramme de corps libre.
  • Calculer les efforts de traction et de compression dans des membrures et diagonales spécifiques.
  • Interpréter le signe des résultats pour déterminer la nature de l'effort (traction ou compression).

Données de l'étude

On étudie une poutre treillis de type Pratt en bois, simplement appuyée en A (appui articulé) et en E (appui simple à rouleau). Une charge verticale ponctuelle de \(P = 20 \, \text{kN}\) est appliquée au nœud C.

Schéma de la Poutre Treillis
A F C D H E B G P = 20 kN Portée = 5.0 m h = 1.5 m

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appuis en A et E.
  2. Par la méthode des sections (coupe α-α), déterminer les efforts dans la membrure supérieure BG et la membrure inférieure FC.
  3. Par une autre section, déterminer l'effort dans la diagonale CD.

Correction : Analyse des efforts dans les membrures et diagonales d'une poutre treillis en bois

Question 1 : Calcul des Réactions d'Appuis

Principe :
P Vₐ Hₐ Vₑ

La structure entière est en équilibre statique. Cela signifie que la somme des forces horizontales, la somme des forces verticales et la somme des moments par rapport à n'importe quel point doivent être nulles. On applique ces trois équations pour trouver les réactions inconnues aux appuis.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le choix du point pour calculer la somme des moments est stratégique. En choisissant un point où des forces inconnues s'appliquent (comme l'appui A), ces forces n'apparaissent pas dans l'équation des moments (car leur bras de levier est nul), ce qui simplifie la résolution.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sum F_x = 0 \]
\[ \sum F_y = 0 \]
\[ \sum M_{/A} = 0 \]
Calcul(s) :
\[ \sum F_x = H_A = 0 \, \text{kN} \]
\[ \begin{aligned} \sum M_{/A} &= 0 \\ (V_E \times 5.0) - (P \times 2.0) &= 0 \\ V_E &= \frac{20 \times 2.0}{5.0} \\ &= 8 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sum F_y &= 0 \\ V_A + V_E - P &= 0 \\ V_A &= P - V_E \\ V_A &= 20 - 8 = 12 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Identifier les appuis : Une erreur fréquente est de mal identifier les réactions possibles à chaque appui. Un appui articulé (ou rotule) en A bloque les déplacements X et Y (\(\Rightarrow H_A, V_A\)). Un appui à rouleau en E ne bloque que le déplacement vertical (\(\Rightarrow V_E\)).

Le saviez-vous ?

Une structure avec juste assez d'appuis pour être stable est dite "isostatique". C'est le cas ici (3 réactions pour 3 équations de statique globale). Si on avait mis deux appuis articulés, la structure serait devenue "hyperstatique", et les équations de la statique seule n'auraient pas suffi pour trouver les réactions.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la réaction horizontale \(H_A\) est-elle nulle ?

Parce qu'il n'y a aucune force horizontale appliquée sur la structure. L'équation \(\sum F_x = 0\) se simplifie en \(H_A = 0\). Si une charge inclinée était appliquée, \(H_A\) ne serait pas nulle.

Résultat : Les réactions sont \(H_A = 0 \, \text{kN}\), \(V_A = 12 \, \text{kN}\) et \(V_E = 8 \, \text{kN}\).

Question 2 : Efforts dans les barres BG et FC (Méthode des Sections)

Principe :
A F B Vₐ=12kN α α N_BG N_FC N_GC

On effectue une coupe verticale (α-α) qui traverse les barres BG, GC et FC. On isole la partie gauche du treillis. Ce nouvel objet est en équilibre sous l'action de la réaction d'appui \(V_A\) et des efforts inconnus dans les trois barres coupées. En appliquant les équations de la statique à cette section, on peut trouver les efforts.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La méthode des sections est puissante car elle permet d'ignorer les nœuds internes. Pour trouver l'effort dans la barre BG, on fait la somme des moments au nœud C. Les efforts des barres GC et FC passent par C et sont donc éliminés de l'équation, laissant \(N_{BG}\) comme seule inconnue.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sum M_{/C} = 0 \]
\[ \sum M_{/G} = 0 \]
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \sum M_{/C} = 0 &\Rightarrow (V_A \times 2.0) + (N_{BG} \times 1.5) = 0 \\ N_{BG} &= \frac{-12 \times 2.0}{1.5} \\ &= -16 \, \text{kN (Compression)} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sum M_{/G} = 0 &\Rightarrow (V_A \times 2.0) - (N_{FC} \times 1.5) = 0 \\ N_{FC} &= \frac{12 \times 2.0}{1.5} \\ &= +16 \, \text{kN (Traction)} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Convention de signe des moments : Soyez cohérent avec votre convention de signe (ex: sens anti-horaire positif). Une erreur de signe sur un moment inversera la nature de l'effort calculé (traction vs compression).

Le saviez-vous ?

Pour une poutre treillis simplement appuyée et soumise à des charges verticales descendantes, la membrure supérieure (ou "membrure haute") est presque toujours en compression, et la membrure inférieure (ou "membrure basse") est presque toujours en traction. C'est un bon moyen de vérifier rapidement la plausibilité de vos résultats.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi faire la somme des moments en G pour trouver l'effort en FC ?

Le point G est le point d'intersection des deux autres barres coupées (BG et GC). En calculant la somme des moments par rapport à ce point, les efforts \(N_{BG}\) et \(N_{GC}\) ont un bras de levier nul et disparaissent de l'équation. Cela isole directement la troisième inconnue, \(N_{FC}\), rendant le calcul très rapide.

Résultat : L'effort dans la membrure BG est de 16 kN (Compression) et dans la membrure FC, il est de 16 kN (Traction).

Question 3 : Effort dans la diagonale CD

Principe :
D H E Vₑ=8kN β β N_GC N_DH N_CD

Pour trouver l'effort dans la diagonale CD, nous faisons une nouvelle coupe (β-β) qui passe par les barres GC, CD et DH. Cette fois, nous isolons la partie droite du treillis. La section est en équilibre sous l'effet de la réaction d'appui \(V_E\) et des efforts dans les trois barres coupées. L'équation de la somme des forces verticales nous permettra d'isoler la composante verticale de \(N_{CD}\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Isoler la partie droite est plus simple car il n'y a qu'une seule force externe (\(V_E\)) à considérer, contre deux (\(V_A\) et \(P\)) si on isolait la partie gauche. De plus, la somme des forces verticales est ici très directe car une seule barre coupée (CD) a une composante verticale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sum F_y = 0 \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{\text{hauteur}}{\text{base}}\right) \]
Donnée(s) :
  • Réaction d'appui \(V_E = 8 \, \text{kN}\)
  • Hauteur du treillis \(h = 1.5 \, \text{m}\)
  • Largeur d'un panneau : \(1.0 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \theta &= \arctan\left(\frac{1.5}{1.0}\right) \\ &\approx 56.31^\circ \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sum F_y = 0 &\Rightarrow V_E - N_{CD} \sin(\theta) = 0 \\ 8 - N_{CD} \sin(56.31^\circ) &= 0 \\ N_{CD} &= \frac{8}{\sin(56.31^\circ)} \\ N_{CD} &= \frac{8}{0.832} \\ &\approx +9.62 \, \text{kN (Traction)} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Orientation des forces : On suppose toujours les efforts inconnus en traction (sortant du nœud). Si le résultat est négatif, cela signifie que l'effort est en réalité une compression. Le sens de la composante verticale (vers le haut ou vers le bas) dépend de l'orientation de la barre.

Le saviez-vous ?

La méthode des sections a été développée par l'ingénieur et mécanicien allemand August Ritter en 1862. Elle est parfois appelée "Méthode de Ritter" en son honneur.

FAQ en rapport avec la question :
Peut-on couper plus de 3 barres à la fois ?

En général, non. La méthode des sections fonctionne car on a trois équations de statique planes (\(\sum F_x, \sum F_y, \sum M\)). Si on coupe plus de trois barres dont les efforts sont inconnus, on a plus d'inconnues que d'équations, et le système ne peut pas être résolu directement. Il existe des cas particuliers (treillis avec des forces parallèles) où l'on peut couper quatre barres.

Résultat : L'effort dans la diagonale CD est d'environ 9.62 kN en Traction.

Simulation Interactive des Efforts

Faites varier la charge P appliquée au nœud C et observez comment les efforts dans les barres BG et CD changent. La compression est négative, la traction est positive.

Paramètres de Charge
Effort N_BG (Compression)
Effort N_CD (Traction)
Visualisation des Efforts

Pour Aller Plus Loin : Le Flambement

Au-delà de la simple compression : Connaître l'effort de compression dans une barre est crucial, mais ce n'est pas suffisant. Une barre longue et mince soumise à une compression peut "flamber" (se déformer brutalement latéralement) bien avant que le matériau lui-même ne cède. Le calcul de la charge critique de flambement (formule d'Euler) est une étape essentielle dans le dimensionnement des barres comprimées en bois ou en acier.

Le Saviez-Vous ?

Le bois est un matériau anisotrope : ses propriétés mécaniques (résistance, rigidité) ne sont pas les mêmes dans toutes les directions. Il est beaucoup plus résistant à la traction et à la compression dans le sens des fibres (longitudinalement) que perpendiculairement aux fibres. C'est pourquoi les barres d'un treillis sont toujours orientées dans le sens de la longueur du bois.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la différence entre la méthode des nœuds et la méthode des sections ?

La méthode des nœuds consiste à isoler chaque nœud un par un et à appliquer l'équilibre des forces (\(\sum F_x = 0, \sum F_y = 0\)). Elle permet de trouver les efforts dans toutes les barres, mais peut être longue. La méthode des sections coupe le treillis en deux et applique l'équilibre (y compris les moments) à toute une section. Elle est plus rapide pour trouver l'effort dans une barre spécifique située au milieu du treillis.

Pourquoi les diagonales d'une poutre Pratt sont-elles orientées comme ça ?

Dans une poutre Pratt, les diagonales sont orientées de manière à être en traction sous l'effet de charges de gravité. La traction est un mode de sollicitation plus efficace et plus simple à gérer pour de nombreux matériaux (comme l'acier) que la compression, qui pose des risques de flambement. Les montants verticaux, plus courts, sont alors en compression.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un treillis, un effort positif signifie conventionnellement :

  • Un effort nul

2. La méthode des sections est la plus efficace pour :

Glossaire

Treillis (ou Poutre-treillis)
Structure composée de barres assemblées en triangles pour former un ensemble rigide.
Nœud
Point d'intersection et de connexion des barres d'un treillis. En théorie, les liaisons aux nœuds sont des articulations parfaites.
Méthode des Sections
Technique d'analyse consistant à faire une coupe imaginaire à travers le treillis pour isoler une partie et analyser son équilibre statique.
Traction
Effort interne qui tend à étirer une barre. Par convention, il est compté positivement.
Compression
Effort interne qui tend à écraser ou raccourcir une barre. Par convention, il est compté négativement.
Flambement
Phénomène d'instabilité d'une barre comprimée qui, sous l'effet d'une charge critique, se déforme brutalement de manière latérale.
Analyse des efforts dans les membrures et diagonales d'une poutre treillis en bois

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