Études de cas pratique

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Calcul d’une poutre en bois

Calcul d’une poutre en bois

Comprendre le calcul d’une poutre en bois

Vous êtes ingénieur structure dans une entreprise de construction. Votre projet actuel implique la conception d’une structure résidentielle en bois. Vous devez calculer les dimensions et la capacité portante d’une poutre principale en bois qui soutiendra le plancher d’un étage.

Pour comprendre le Calcul du Fléchissement d’une Poutre en Bois, cliquez sur le lien.

Données :

  • Matériau de la poutre : Bois de pin
  • Longueur de la poutre : 6 mètres
  • Charge permanente : 1.5 kN/m² (inclut le poids de la structure, plancher, etc.)
  • Charge variable : 2.0 kN/m² (mobilier, occupants)
  • Coefficient de sécurité : Selon Eurocode
  • Largeur de poutre : \(b = 150 \, \text{mm}\)
  • La largeur effectivement couverte par la poutre \(b_{\text{eff}}\) = 2 m
calcul d'une poutre en bois

Questions :

1. Calcul de la Charge Totale : Calculez la charge totale que la poutre doit supporter en considérant les charges permanentes et variables.

2. Sélection du Type de Bois et Dimensionnement : En vous basant sur les propriétés du bois de pin et les normes Eurocode, déterminez la section transversale appropriée de la poutre.

3. Vérification de la Résistance et Déformation : Assurez-vous que la poutre choisie respecte les critères de résistance et de déformation sous les charges appliquées, conformément à Eurocode 5.

4. Analyse de la Sécurité : Évaluez la sécurité de la poutre en appliquant le coefficient de sécurité Eurocode.

Correction : Calcul d’une poutre en bois

1. Calcul de la Charge Totale

La poutre supporte des charges réparties sur la largeur effective \( b_{eff} \). Pour obtenir la charge linéique (en kN/m) agissant sur la poutre, nous multiplions les charges surfaciques par la largeur effective.

Formule:

Pour une charge surfacique \( q\,(\mathrm{kN/m^2}) \) répartie sur une largeur \( b_{eff}\,(m) \) :

\[ q_{\text{lin}} = q \times b_{eff} \quad \left(\mathrm{kN/m}\right) \]

Calcul:
  • Charge permanente :

\[ q_g = 1.5\,\mathrm{kN/m^2} \times 2\,\mathrm{m} = 3.0\,\mathrm{kN/m} \]

  • Charge variable :

\[ q_v = 2.0\,\mathrm{kN/m^2} \times 2\,\mathrm{m} = 4.0\,\mathrm{kN/m} \]

  • Charge totale :

\[ q_{\text{tot}} = q_g + q_v \] \[ q_{\text{tot}} = 3.0 + 4.0 \] \[ q_{\text{tot}} = 7.0\,\mathrm{kN/m} \]

Résultat : La charge répartie totale est \( q_{\text{tot}} = 7.0\,\mathrm{kN/m} \).

2. Sélection du Type de Bois et Dimensionnement de la Section Transversale

Nous avons choisi le bois de pin. La section envisagée est rectangulaire de largeur \( b = 150\,\mathrm{mm} \) et d’une hauteur \( h \) à déterminer afin de résister à la flexion.

a) Calcul du moment fléchissant maximal

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximum est donné par :

\[ M_{\text{max}} = \frac{q_{\text{tot}} \, L^2}{8} \]

Substitution des valeurs:
  • \( q_{\text{tot}} = 7.0\,\mathrm{kN/m} \)
  • \( L = 6\,\mathrm{m} \)

\[ M_{\text{max}} = \frac{7.0 \times (6)^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{7.0 \times 36}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{252}{8} \] \[ M_{\text{max}} = 31.5\,\mathrm{kN\cdot m} \]

Pour utiliser des unités cohérentes avec la résistance exprimée en N/mm², nous convertissons en N·mm :

\[ 31.5\,\mathrm{kN\cdot m} = 31.5 \times 10^6\,\mathrm{N\cdot mm} \]

b) Dimensionnement en flexion

La résistance en flexion d’une section rectangulaire dépend de son module de section \( S \). Pour une section rectangulaire :

\[ S = \frac{b\,h^2}{6} \]

Pour que la section résiste au moment fléchissant, il faut que :

\[ S \ge \frac{M_{\text{max}}}{f_{m,d}} \]

Calcul du \( S \) requis:

En substituant \( M_{\text{max}} \) et \( f_{m,d} \) :

\[ S_{\text{req}} = \frac{31.5 \times 10^6\,\mathrm{N\cdot mm}}{10\,\mathrm{N/mm^2}} \] \[ S_{\text{req}} = 3.15 \times 10^6\,\mathrm{mm^3} \]

Détermination de la hauteur \( h \):

On a :

\[ \frac{b\,h^2}{6} \ge S_{\text{req}} \]

En substituant \( b = 150\,\mathrm{mm} \) :

\[ \frac{150\,h^2}{6} \ge 3.15 \times 10^6 \quad \Longrightarrow \quad 25\,h^2 \ge 3.15 \times 10^6 \]

Résolvons pour \( h^2 \) :

\[ h^2 \ge \frac{3.15 \times 10^6}{25} = 126\,000\,\mathrm{mm^2} \]

D’où :

\[ h \ge \sqrt{126\,000} \approx 355\,\mathrm{mm} \]

Il est courant de choisir une valeur normalisée supérieure. On pourra arrondir à \( h = 360\,\mathrm{mm} \).

Résultat : Une section rectangulaire de \( 150\,\mathrm{mm} \times 360\,\mathrm{mm} \) semble adaptée pour résister au moment fléchissant.

3. Vérification de la Résistance et de la Déformation

a) Vérification de la résistance (flexion)

La contrainte maximale en flexion dans une section est donnée par :

\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}}}{S} \]

Utilisons la section proposée

\[ S = \frac{150 \times (360)^2}{6} \]

Calcul du module de section \( S \):

\[ (360)^2 = 129\,600\,\mathrm{mm^2} \]

\[ S = \frac{150 \times 129\,600}{6} \] \[ S = \frac{19\,440\,000}{6} \] \[ S \approx 3.24 \times 10^6\,\mathrm{mm^3} \]

Calcul de la contrainte :

\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{31.5 \times 10^6}{3.24 \times 10^6} \approx 9.72\,\mathrm{N/mm^2} \]

Comparaison avec \( f_{m,d} = 10\,\mathrm{N/mm^2} \) :

\[ 9.72\,\mathrm{N/mm^2} < 10\,\mathrm{N/mm^2} \]

Conclusion : La résistance en flexion est suffisante.

b) Vérification de la déformation (fléchissement)

La flèche maximale pour une poutre simplement appuyée sous charge uniformément répartie est donnée par :

\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5}{384} \cdot \frac{q_{\text{tot}} \, L^4}{E\,I} \]

où l’inertie \( I \) pour une section rectangulaire est :

\[ I = \frac{b\,h^3}{12} \]

Calcul de l’inertie \( I \):

Pour \( b = 150\,\mathrm{mm} \) et \( h = 360\,\mathrm{mm} \) :

\[ I = \frac{150 \times (360)^3}{12} \]

Calculons \( (360)^3 \) :

\[ (360)^3 = 360 \times 360 \times 360 \approx 46\,656\,000\,\mathrm{mm^3} \]

Alors :

\[ I = \frac{150 \times 46\,656\,000}{12} \] \[ I = \frac{6\,998\,400\,000}{12} \] \[ I \approx 583\,200\,000\,\mathrm{mm^4} \]

Conversion et calcul de la flèche:
  • La charge répartie : \( q_{\text{tot}} = 7.0\,\mathrm{kN/m} \). Pour travailler en N/mm, on convertit :

\[ 7.0\,\mathrm{kN/m} = \frac{7\,000\,\mathrm{N}}{1\,000\,\mathrm{mm}} = 7\,\mathrm{N/mm} \]

  • La longueur \( L = 6\,\mathrm{m} = 6000\,\mathrm{mm} \).
  • \( E = 11\,000\,\mathrm{N/mm^2} \).

Calcul de \( L^4 \) :

\[ L^4 = (6000)^4 = 6\,000^4 = 1.296 \times 10^{15}\,\mathrm{mm^4} \]

Alors :

\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5}{384} \times \frac{7 \times 1.296 \times 10^{15}}{11\,000 \times 583\,200\,000} \]

Étape 1 : Calcul du numérateur

\[ 7 \times 1.296 \times 10^{15} = 9.072 \times 10^{15}\,\mathrm{N\cdot mm^4} \]

Étape 2 : Calcul du dénominateur

\[ 11\,000 \times 583\,200\,000 \approx 6.4152 \times 10^{12}\,\mathrm{N\cdot mm^2} \]

Étape 3 : Rapport

\[ \frac{9.072 \times 10^{15}}{6.4152 \times 10^{12}} \approx 1\,414\,\mathrm{mm} \]

Étape 4 : Application du coefficient

\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5}{384} \times 1\,414 \] \[ \delta_{\text{max}} \approx 0.01302 \times 1\,414 \] \[ \delta_{\text{max}} \approx 18.4\,\mathrm{mm} \]

Comparaison avec la limite admissible:

Pour une poutre simplement appuyée, la flèche admissible est souvent prise comme \( L/300 \) :

\[ \delta_{\text{lim}} = \frac{6000}{300} = 20\,\mathrm{mm} \]

Conclusion : \( \delta_{\text{max}} \approx 18.4\,\mathrm{mm} < 20\,\mathrm{mm} \). La déformation est donc acceptable.

4. Analyse de la Sécurité

Application du Coefficient de Sécurité Eurocode

Les Eurocodes imposent l’utilisation de coefficients partiels pour les actions et la résistance. Dans notre démarche, nous avons utilisé une valeur de \( f_{m,d} \) qui intègre déjà ces effets.

  • Vérification en résistance : La contrainte maximale calculée \( \sigma_{\text{max}} \approx 9.72\,\mathrm{N/mm^2} \) est inférieure à la résistance de conception \( f_{m,d} = 10\,\mathrm{N/mm^2} \).
  • Vérification en déformation : La flèche calculée (≈ 18.4 mm) respecte la limite admissible (20 mm).

Ces résultats indiquent que, sous les charges appliquées et avec les coefficients de sécurité intégrés dans la démarche de conception, la poutre est sûre tant en termes de résistance que de service (déformation).

Conclusion de l’analyse de sécurité : La section proposée de \( 150\,\mathrm{mm} \times 360\,\mathrm{mm} \) permet de satisfaire aux exigences de résistance et de déformation, en respectant les prescriptions de l’Eurocode pour le bois de pin. La marge entre la contrainte maximale induite et la résistance de conception assure une sécurité adéquate.

Conclusion:

La poutre en bois de pin, de longueur 6 m, soumise à une charge répartie totale de 7 kN/m, et conçue avec une section rectangulaire de \( 150\,\mathrm{mm} \times 360\,\mathrm{mm} \), satisfait aux critères de résistance et de déformation conformément aux exigences de l’Eurocode. Les marges de sécurité (appliquées via le choix de \( f_{m,d} \) et la vérification des déformations) confirment que la solution proposée est adéquate pour l’application envisagée dans le projet résidentiel.

Calcul d’une poutre en bois

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