Études de cas pratique

EGC

Calcul d’une poutre en bois

Vérification en Flexion et Cisaillement d’une Poutre en Bois

Comprendre la Vérification d'une Poutre en Bois

La vérification d'une poutre en bois consiste à s'assurer qu'elle peut supporter en toute sécurité les charges qui lui sont appliquées, sans dépasser ses capacités de résistance. Cela implique généralement de vérifier sa résistance à la flexion (pour éviter la rupture due à la courbure) et sa résistance au cisaillement (pour éviter la rupture due aux efforts tendant à faire glisser les sections les unes par rapport aux autres). Ces vérifications sont effectuées à l'État Limite Ultime (ELU) en utilisant les résistances de calcul du matériau et les sollicitations de calcul (moment fléchissant \(M_{Ed}\) et effort tranchant \(V_{Ed}\)).

Données de l'étude

On étudie une poutre en bois de section rectangulaire, simplement appuyée, soumise à une charge uniformément répartie.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Largeur de la poutre (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la poutre (\(h\)) : \(250 \, \text{mm}\)
  • Portée de la poutre entre appuis (\(L\)) : \(4.5 \, \text{m}\)
  • Classe de résistance du bois : C18 (\(f_{m,k} = 18 \, \text{MPa}\) - résistance caractéristique en flexion; \(f_{v,k} = 4.0 \, \text{MPa}\) - résistance caractéristique au cisaillement)
  • Coefficient de modification (\(k_{mod}\)) : \(0.8\) (pour classe de service 1 et charge de moyenne durée)
  • Coefficient partiel de sécurité pour le matériau bois (\(\gamma_M\)) : \(1.3\)
  • Coefficient de hauteur (\(k_h\)) : \(1.0\) (car \(h = 250 \text{ mm} \geq 150 \text{ mm}\))
  • Coefficient de stabilité au déversement (\(k_{crit}\)) : \(1.0\) (déversement empêché)
  • Coefficient de forme pour le cisaillement (\(k_{cr}\)) : \(0.67\) (pour section rectangulaire en bois massif) - Note: l'Eurocode utilise plutôt la formule \(V_{Rd} = \frac{2}{3} A_{ef} f_{v,d}\). On utilisera cette approche.

Sollicitations (ELU) :

  • Charge uniformément répartie de calcul (\(q_{Ed}\)) : \(5.0 \, \text{kN/m}\) (incluant le poids propre de la poutre)
Schéma : Poutre en Bois et Section
Poutre en flexion qEd L = 4.5 m Section b=100 h=250

Poutre simplement appuyée avec charge répartie et sa section transversale.

Questions à traiter

  1. Calculer le moment fléchissant maximal de calcul (\(M_{Ed}\)) et l'effort tranchant maximal de calcul (\(V_{Ed}\)) dans la poutre.
  2. Calculer le module d'inertie élastique (\(W_{el,y}\)) et l'aire de la section (\(A\)).
  3. Calculer la résistance de calcul en flexion (\(f_{m,d}\)) et la résistance de calcul au cisaillement (\(f_{v,d}\)).
  4. Calculer le moment résistant de calcul de la section (\(M_{Rd}\)).
  5. Calculer l'effort tranchant résistant de calcul de la section (\(V_{Rd}\)). Utiliser \(V_{Rd} = \frac{2}{3} A f_{v,d}\).
  6. Vérifier si la poutre résiste en flexion (\(M_{Ed} \leq M_{Rd}\)) et au cisaillement (\(V_{Ed} \leq V_{Rd}\)).

Correction : Vérification en Flexion et Cisaillement d’une Poutre en Bois

Question 1 : Moment (\(M_{Ed}\)) et Effort Tranchant (\(V_{Ed}\)) Maximaux

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée de portée \(L\) soumise à une charge uniformément répartie \(q_{Ed}\), le moment fléchissant maximal se produit à mi-portée et l'effort tranchant maximal se produit aux appuis.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Ed,max} = \frac{q_{Ed} L^2}{8}\] \[V_{Ed,max} = \frac{q_{Ed} L}{2}\]
Données spécifiques :
  • \(q_{Ed} = 5.0 \, \text{kN/m}\)
  • Portée (\(L\)) : \(4.5 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{Ed,max} &= \frac{5.0 \, \text{kN/m} \times (4.5 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{5.0 \times 20.25}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= \frac{101.25}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &\approx 12.656 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V_{Ed,max} &= \frac{5.0 \, \text{kN/m} \times 4.5 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{22.5}{2} \, \text{kN} \\ &= 11.25 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : \(M_{Ed,max} \approx 12.66 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) et \(V_{Ed,max} = 11.25 \, \text{kN}\).

Question 2 : Module d'Inertie Élastique (\(W_{el,y}\)) et Aire (\(A\))

Principe :

Pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\), le module d'inertie élastique est \(W_{el,y} = bh^2/6\) et l'aire est \(A = bh\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{el,y} = \frac{b h^2}{6}\] \[A = b \cdot h\]
Données spécifiques (converties en mm) :
  • Base (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(250 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{el,y} &= \frac{100 \, \text{mm} \times (250 \, \text{mm})^2}{6} \\ &= \frac{100 \times 62500}{6} \, \text{mm}^3 \\ &= \frac{6250000}{6} \, \text{mm}^3 \\ &\approx 1041667 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A &= 100 \, \text{mm} \times 250 \, \text{mm} \\ &= 25000 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Conversion : \(W_{el,y} \approx 1041.67 \, \text{cm}^3\), \(A = 250 \, \text{cm}^2\).

Résultat Question 2 : \(W_{el,y} \approx 1041667 \, \text{mm}^3\) et \(A = 25000 \, \text{mm}^2\).

Question 3 : Résistances de Calcul (\(f_{m,d}\) et \(f_{v,d}\))

Principe :

Les résistances de calcul sont obtenues à partir des résistances caractéristiques en appliquant les coefficients de modification et en divisant par le coefficient partiel de sécurité du matériau.

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 5) :
\[f_{m,d} = k_{mod} \cdot k_h \cdot k_{crit} \cdot \frac{f_{m,k}}{\gamma_M}\] \[f_{v,d} = k_{mod} \cdot \frac{f_{v,k}}{\gamma_M}\]

(\(k_{crit}\) est pour la stabilité au déversement, \(k_h\) pour l'effet de hauteur en flexion).

Données spécifiques :
  • \(k_{mod} = 0.8\)
  • \(k_h = 1.0\) (car \(h \geq 150 \text{ mm}\))
  • \(k_{crit} = 1.0\)
  • \(f_{m,k} = 18 \, \text{MPa}\) (pour C18)
  • \(f_{v,k} = 4.0 \, \text{MPa}\) (pour C18)
  • \(\gamma_M = 1.3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{m,d} &= 0.8 \times 1.0 \times 1.0 \times \frac{18 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 0.8 \times 13.846 \, \text{MPa} \\ &\approx 11.077 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{v,d} &= 0.8 \times \frac{4.0 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 0.8 \times 3.077 \, \text{MPa} \\ &\approx 2.462 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : \(f_{m,d} \approx 11.08 \, \text{MPa}\) et \(f_{v,d} \approx 2.46 \, \text{MPa}\).

Question 4 : Moment Résistant de Calcul (\(M_{Rd}\))

Principe :

Le moment résistant de calcul d'une section en bois en flexion est le produit de la résistance de calcul en flexion et du module d'inertie élastique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Rd} = f_{m,d} \cdot W_{el,y}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(f_{m,d} \approx 11.077 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(W_{el,y} \approx 1041667 \, \text{mm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{Rd} &\approx 11.077 \, \text{N/mm}^2 \times 1041667 \, \text{mm}^3 \\ &\approx 11540000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

Conversion en kN·m :

\[ M_{Rd} \approx 11.54 \, \text{kN} \cdot \text{m} \]
Résultat Question 4 : Le moment résistant de calcul est \(M_{Rd} \approx 11.54 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 5 : Effort Tranchant Résistant de Calcul (\(V_{Rd}\))

Principe :

L'effort tranchant résistant d'une section rectangulaire en bois est calculé en utilisant la résistance de calcul au cisaillement et l'aire efficace de cisaillement. Pour une section rectangulaire, l'aire efficace est \(A_{ef} = A = b \cdot h\), et la formule simplifiée de l'Eurocode 5 est \(V_{Rd} = \frac{2}{3} A f_{v,d}\).

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 5) :
\[V_{Rd} = \frac{2}{3} A \cdot f_{v,d}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(A = 25000 \, \text{mm}^2\)
  • \(f_{v,d} \approx 2.462 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{Rd} &\approx \frac{2}{3} \times 25000 \, \text{mm}^2 \times 2.462 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 0.6667 \times 25000 \times 2.462 \, \text{N} \\ &\approx 41033 \, \text{N} \end{aligned} \]

Conversion en kN :

\[ V_{Rd} \approx 41.03 \, \text{kN} \]
Résultat Question 5 : L'effort tranchant résistant est \(V_{Rd} \approx 41.03 \, \text{kN}\).

Question 6 : Vérification de la Poutre

Principe :

La sécurité est assurée si les sollicitations de calcul (\(M_{Ed}, V_{Ed}\)) sont inférieures ou égales aux résistances de calcul correspondantes (\(M_{Rd}, V_{Rd}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Ed} \leq M_{Rd}\] \[V_{Ed} \leq V_{Rd}\]
Données spécifiques :
  • \(M_{Ed} \approx 12.66 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • \(M_{Rd} \approx 11.54 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • \(V_{Ed} = 11.25 \, \text{kN}\)
  • \(V_{Rd} \approx 41.03 \, \text{kN}\)
Comparaison :

Vérification en flexion :

\[12.66 \, \text{kN} \cdot \text{m} > 11.54 \, \text{kN} \cdot \text{m} \quad (\text{NON OK !})\]

Vérification au cisaillement :

\[11.25 \, \text{kN} \leq 41.03 \, \text{kN} \quad (\text{OK})\]

La condition de résistance en flexion n'est pas satisfaite.

Résultat Question 6 : La poutre résiste au cisaillement (\(V_{Ed} \leq V_{Rd}\)), mais elle ne résiste pas en flexion (\(M_{Ed} > M_{Rd}\)). La poutre n'est pas adéquate.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Que représente \(f_{m,k}\) pour le bois ?

2. Le coefficient \(k_{mod}\) tient compte :

3. Si \(V_{Ed} > V_{Rd}\) pour une poutre en bois, cela signifie :

Glossaire

Poutre en Bois
Élément structural en bois, généralement de section rectangulaire, utilisé pour supporter des charges en flexion et en cisaillement.
Flexion (Bois)
Sollicitation d'une poutre par des forces perpendiculaires à son axe, provoquant sa courbure.
Cisaillement (Bois)
Sollicitation tendant à faire glisser les fibres du bois les unes par rapport aux autres, parallèlement à la direction de l'effort tranchant.
Résistance Caractéristique en Flexion (\(f_{m,k}\))
Valeur de la contrainte de rupture en flexion d'un bois d'une classe de résistance donnée, avec une probabilité de 5% de non-atteinte.
Résistance Caractéristique au Cisaillement (\(f_{v,k}\))
Valeur de la contrainte de rupture au cisaillement d'un bois d'une classe de résistance donnée.
Résistance de Calcul (\(f_{m,d}, f_{v,d}\))
Résistance utilisée pour les vérifications à l'ELU, obtenue à partir des résistances caractéristiques et des coefficients de sécurité et de modification.
Module d'Inertie Élastique (\(W_{el,y}\))
Caractéristique géométrique d'une section (\(I_y/v\)) utilisée pour le calcul de la contrainte de flexion.
Moment Résistant de Calcul (\(M_{Rd}\))
Capacité maximale d'une section à résister à un moment fléchissant à l'ELU.
Effort Tranchant Résistant de Calcul (\(V_{Rd}\))
Capacité maximale d'une section à résister à un effort tranchant à l'ELU.
Moment Fléchissant de Calcul (\(M_{Ed}\))
Moment sollicitant la section, calculé à l'ELU.
Effort Tranchant de Calcul (\(V_{Ed}\))
Effort tranchant sollicitant la section, calculé à l'ELU.
Coefficient de Modification (\(k_{mod}\))
Coefficient tenant compte de l'effet de la durée de la charge et de la classe de service sur la résistance du bois.
Coefficient de Hauteur (\(k_h\))
Coefficient ajustant la résistance en flexion pour les sections de bois de hauteur différente de 150 mm.
Coefficient Partiel de Sécurité (\(\gamma_M\))
Coefficient minorant la résistance caractéristique du matériau.
État Limite Ultime (ELU)
État limite relatif à la sécurité de la structure.
Vérification en Flexion et Cisaillement d’une Poutre en Bois - Exercice d'Application

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