Études de cas pratique

EGC

Déversement d’une Poutre en Lamellé-Collé

Vérification au Déversement d'une Poutre en Lamellé-Collé

Vérification au Déversement d'une Poutre en Lamellé-Collé

Comprendre la Vérification au Déversement d'une Poutre en Bois

Le déversement est un phénomène d'instabilité qui affecte les poutres élancées soumises à une flexion par rapport à leur axe de forte inertie. Si la poutre n'est pas suffisamment maintenue latéralement, elle peut se déformer en se déplaçant latéralement et en tournant autour de son axe longitudinal, bien avant que la contrainte de flexion n'atteigne la résistance du matériau. La vérification au déversement consiste à s'assurer que la contrainte de flexion de calcul (\(\sigma_{\text{m,y,d}}\)) est inférieure à la résistance en flexion de calcul, en tenant compte de l'instabilité par déversement via un facteur de réduction (\(k_{\text{crit}}\)).

Données de l'étude

On étudie une poutre en bois lamellé-collé de classe de résistance GL24h, simplement appuyée à ses extrémités et soumise à une charge uniformément répartie.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Type de bois : Lamellé-collé GL24h
  • Section rectangulaire : largeur \(b = 120 \, \text{mm}\), hauteur \(h = 360 \, \text{mm}\)
  • Portée (longueur réelle) : \(L = 6.0 \, \text{m}\)
  • Conditions d'appui : Simplement appuyée (articulée en rotation et en translation verticale, libre en rotation autour de l'axe longitudinal aux appuis). Maintien latéral assuré uniquement aux appuis. La charge est appliquée sur la face supérieure de la poutre et est considérée comme non stabilisante.
  • Classe de résistance : GL24h
    • Résistance caractéristique en flexion (\(f_{\text{m,k}}\)) : \(24 \, \text{MPa}\)
    • Module d'élasticité longitudinal moyen (\(E_{0,\text{mean}}\)) : \(11500 \, \text{MPa}\)
    • Module de cisaillement moyen (\(G_{\text{mean}}\)) : \(720 \, \text{MPa}\) (Note: \(G_{\text{mean}} \approx E_{0,\text{mean}}/16\))
  • Classe de service : 1
  • Classe de durée de chargement : Permanente
  • Coefficient de modification (\(k_{\text{mod}}\)) pour charge permanente, classe de service 1 : \(0.6\)
  • Coefficient partiel de sécurité pour le matériau (\(\gamma_M\)) : \(1.3\)

Sollicitations (ELU) :

  • Charge uniformément répartie de calcul (\(q_{\text{d}}\)) : \(5.0 \, \text{kN/m}\)
Schéma : Poutre en Lamellé-Collé et Déversement
q_d L = 6.0 m Section b=120 h=360 Déversement (Schéma de principe)

Poutre sur appuis simples avec charge répartie, section et mode de déversement.

Questions à traiter

  1. Calculer le moment de flexion maximal de calcul (\(M_{\text{y,d}}\)) dans la poutre.
  2. Calculer le module de flexion élastique (\(W_{\text{y}}\)) de la section.
  3. Déterminer la contrainte de flexion de calcul (\(\sigma_{\text{m,y,d}}\)).
  4. Calculer la résistance en flexion de calcul du matériau (\(f_{\text{m,d}}\)).
  5. Déterminer la longueur efficace de déversement (\(L_{\text{ef}}\)).
  6. Calculer la contrainte critique de déversement (\(\sigma_{\text{m,crit}}\)) en utilisant la formule simplifiée pour section rectangulaire.
  7. Calculer l'élancement relatif pour la flexion (\(\lambda_{\text{rel,m}}\)).
  8. Déterminer le facteur de réduction pour le déversement (\(k_{\text{crit}}\)).
  9. Vérifier la stabilité au déversement de la poutre : \(\frac{\sigma_{\text{m,y,d}}}{k_{\text{crit}} \cdot f_{\text{m,d}}} \leq 1.0\).

Correction : Vérification au Déversement

Question 1 : Moment de Flexion Maximal de Calcul (\(M_{\text{y,d}}\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment de flexion maximal se produit au milieu de la portée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{\text{y,d}} = \frac{q_{\text{d}} \cdot L^2}{8}\]
Données spécifiques :
  • Charge répartie de calcul (\(q_{\text{d}}\)) : \(5.0 \, \text{kN/m} = 5.0 \, \text{N/mm}\)
  • Portée (\(L\)) : \(6.0 \, \text{m} = 6000 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{\text{y,d}} &= \frac{5.0 \, \text{N/mm} \cdot (6000 \, \text{mm})^2}{8} \\ &= \frac{5.0 \cdot 36000000}{8} \, \text{Nmm} \\ &= \frac{180000000}{8} \, \text{Nmm} \\ &= 22500000 \, \text{Nmm} \\ &= 22.5 \, \text{kNm} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le moment de flexion maximal de calcul est \(M_{\text{y,d}} = 22.5 \, \text{kNm}\).

Question 2 : Module de Flexion Élastique (\(W_{\text{y}}\))

Principe :

Pour une section rectangulaire fléchie par rapport à son axe fort (axe y), le module de flexion élastique est donné par la formule ci-dessous.

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{\text{y}} = \frac{b \cdot h^2}{6}\]
Données spécifiques :
  • Largeur (\(b\)) : \(120 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(360 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{\text{y}} &= \frac{120 \, \text{mm} \cdot (360 \, \text{mm})^2}{6} \\ &= \frac{120 \cdot 129600}{6} \, \text{mm}^3 \\ &= 20 \cdot 129600 \, \text{mm}^3 \\ &= 2592000 \, \text{mm}^3 \\ &= 2.592 \times 10^6 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le module de flexion élastique est \(W_{\text{y}} = 2.592 \times 10^6 \, \text{mm}^3\).

Question 3 : Contrainte de Flexion de Calcul (\(\sigma_{\text{m,y,d}}\))

Principe :

La contrainte de flexion maximale dans la poutre est obtenue en divisant le moment de flexion maximal par le module de flexion élastique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{\text{m,y,d}} = \frac{M_{\text{y,d}}}{W_{\text{y}}}\]
Données spécifiques :
  • \(M_{\text{y,d}} = 22500000 \, \text{Nmm}\)
  • \(W_{\text{y}} = 2592000 \, \text{mm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{m,y,d}} &= \frac{22500000 \, \text{Nmm}}{2592000 \, \text{mm}^3} \\ &\approx 8.68 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 8.68 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La contrainte de flexion de calcul est \(\sigma_{\text{m,y,d}} \approx 8.68 \, \text{MPa}\).

Question 4 : Résistance en Flexion de Calcul (\(f_{\text{m,d}}\))

Principe :

La résistance en flexion de calcul du matériau est obtenue à partir de sa résistance caractéristique en flexion, en appliquant le coefficient de modification \(k_{\text{mod}}\) (qui tient compte de la classe de service et de la durée de chargement) et en divisant par le coefficient partiel de sécurité \(\gamma_M\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{\text{m,d}} = k_{\text{mod}} \frac{f_{\text{m,k}}}{\gamma_M}\]
Données spécifiques :
  • \(f_{\text{m,k}} = 24 \, \text{MPa}\)
  • \(k_{\text{mod}} = 0.6\)
  • \(\gamma_M = 1.3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{\text{m,d}} &= 0.6 \cdot \frac{24 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 0.6 \cdot 18.4615 \, \text{MPa} \\ &\approx 11.077 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La résistance en flexion de calcul est \(f_{\text{m,d}} \approx 11.08 \, \text{MPa}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la classe de durée de chargement était "Moyenne durée" au lieu de "Permanente" (impliquant un \(k_{\text{mod}}\) plus élevé, par exemple 0.8), la résistance en flexion de calcul \(f_{\text{m,d}}\) serait :

Question 5 : Longueur Efficace de Déversement (\(L_{\text{ef}}\))

Principe :

La longueur efficace de déversement (\(L_{\text{ef}}\)) dépend des conditions d'appui de la poutre en ce qui concerne la rotation latérale et la torsion, ainsi que de la position de la charge par rapport au centre de cisaillement. Pour une poutre simplement appuyée, sans maintien latéral intermédiaire, avec charge appliquée sur la face supérieure (non stabilisante), \(L_{\text{ef}} = L\). Des conditions plus complexes ou des maintiens intermédiaires réduiraient \(L_{\text{ef}}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Selon l'Eurocode 5, pour une poutre simplement appuyée sans maintiens intermédiaires, et charge sur la membrure supérieure non stabilisante :

\[L_{\text{ef}} = L\]

(Des formules plus précises existent, par exemple \(L_{\text{ef}} = L + 2h\) si la charge est déstabilisante, ou des coefficients multiplicateurs en fonction des maintiens. Ici, nous utiliserons la simplification courante \(L_{\text{ef}} = L\) pour ce cas d'étude.)

Données spécifiques :
  • Longueur réelle (\(L\)) : \(6000 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[L_{\text{ef}} = 6000 \, \text{mm}\]
Résultat Question 5 : La longueur efficace de déversement est \(L_{\text{ef}} = 6000 \, \text{mm}\).

Question 6 : Contrainte Critique de Déversement (\(\sigma_{\text{m,crit}}\))

Principe :

La contrainte critique de déversement est la contrainte de flexion théorique à laquelle une poutre idéale commencerait à déverser. Pour les sections rectangulaires en bois, une formule simplifiée est souvent utilisée, issue de l'Eurocode 5. Elle dépend des dimensions de la section, du module d'élasticité et de la longueur efficace. On utilise \(E_{0,\text{mean}}\) comme approximation pour \(E_{0,05}\) dans cet exercice, bien que l'EC5 spécifie \(E_{0,05}\) (module 5 percentiles).

Formule(s) utilisée(s) (simplifiée pour section rectangulaire) :
\[\sigma_{\text{m,crit}} = \frac{0.78 \cdot b^2 \cdot E_{0,\text{mean}}}{h \cdot L_{\text{ef}}}\]

Note: Cette formule est applicable pour \(L_{\text{ef}}/h\) entre 10 et 40, et \(h/b\) entre 2 et 6. Vérifions : \(L_{\text{ef}}/h = 6000/360 \approx 16.67\). \(h/b = 360/120 = 3\). Les conditions sont respectées.

Données spécifiques :
  • Largeur (\(b\)) : \(120 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(360 \, \text{mm}\)
  • Module d'élasticité (\(E_{0,\text{mean}}\)) : \(11500 \, \text{MPa}\)
  • Longueur efficace (\(L_{\text{ef}}\)) : \(6000 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{m,crit}} &= \frac{0.78 \cdot (120 \, \text{mm})^2 \cdot 11500 \, \text{MPa}}{360 \, \text{mm} \cdot 6000 \, \text{mm}} \\ &= \frac{0.78 \cdot 14400 \cdot 11500}{2160000} \, \text{MPa} \\ &= \frac{128952000}{2160000} \, \text{MPa} \\ &\approx 59.699 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La contrainte critique de déversement est \(\sigma_{\text{m,crit}} \approx 59.70 \, \text{MPa}\).

Question 7 : Élancement Relatif pour la Flexion (\(\lambda_{\text{rel,m}}\))

Principe :

L'élancement relatif pour la flexion met en relation la résistance caractéristique en flexion du matériau avec la contrainte critique de déversement. C'est un paramètre clé pour déterminer le facteur de réduction \(k_{\text{crit}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\lambda_{\text{rel,m}} = \sqrt{\frac{f_{\text{m,k}}}{\sigma_{\text{m,crit}}}}\]
Données spécifiques :
  • \(f_{\text{m,k}} = 24 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_{\text{m,crit}} \approx 59.70 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{rel,m}} &= \sqrt{\frac{24 \, \text{MPa}}{59.70 \, \text{MPa}}} \\ &\approx \sqrt{0.40199} \\ &\approx 0.634 \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : L'élancement relatif pour la flexion est \(\lambda_{\text{rel,m}} \approx 0.634\).

Question 8 : Facteur de Réduction pour le Déversement (\(k_{\text{crit}}\))

Principe :

Le facteur de réduction \(k_{\text{crit}}\) tient compte de l'instabilité par déversement. Sa valeur dépend de l'élancement relatif \(\lambda_{\text{rel,m}}\). Pour les poutres en bois (y compris lamellé-collé), l'Eurocode 5 donne les relations suivantes :

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 5) :

Si \(\lambda_{\text{rel,m}} \leq 0.75 \Rightarrow k_{\text{crit}} = 1.0\)

Si \(0.75 < \lambda_{\text{rel,m}} \leq 1.4 \Rightarrow k_{\text{crit}} = 1.56 - 0.75 \cdot \lambda_{\text{rel,m}}\)

Si \(\lambda_{\text{rel,m}} > 1.4 \Rightarrow k_{\text{crit}} = \frac{1}{\lambda_{\text{rel,m}}^2}\)

Données spécifiques :
  • \(\lambda_{\text{rel,m}} \approx 0.634\)
Calcul :

Puisque \(\lambda_{\text{rel,m}} \approx 0.634 \leq 0.75\), on utilise la première condition :

\[k_{\text{crit}} = 1.0\]
Résultat Question 8 : Le facteur de réduction pour le déversement est \(k_{\text{crit}} = 1.0\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si \(\lambda_{\text{rel,m}}\) était de 1.0, quelle formule utiliserait-on pour \(k_{\text{crit}}\) ?

Question 9 : Vérification de la Stabilité au Déversement

Principe :

La poutre est considérée stable au déversement si la contrainte de flexion de calcul, divisée par le produit du facteur de réduction \(k_{\text{crit}}\) et de la résistance en flexion de calcul \(f_{\text{m,d}}\), est inférieure ou égale à 1.0. Alternativement, \(\sigma_{\text{m,y,d}} \leq k_{\text{crit}} \cdot f_{\text{m,d}}\).

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 5) :
\[\frac{\sigma_{\text{m,y,d}}}{k_{\text{crit}} \cdot f_{\text{m,d}}} \leq 1.0\]
Données spécifiques :
  • \(\sigma_{\text{m,y,d}} \approx 8.68 \, \text{MPa}\)
  • \(k_{\text{crit}} = 1.0\)
  • \(f_{\text{m,d}} \approx 11.08 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{8.68 \, \text{MPa}}{1.0 \cdot 11.08 \, \text{MPa}} &= \frac{8.68}{11.08} \\ &\approx 0.783 \end{aligned} \]

Comparaison : \(0.783 \leq 1.0\) (OK)

La condition est vérifiée. La poutre est stable vis-à-vis du déversement.

Résultat Question 9 : La poutre est stable au déversement (\(0.783 \leq 1.0\)).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Qu'est-ce que le déversement d'une poutre ?

2. Le facteur \(k_{\text{crit}}\) est utilisé pour :

3. Si l'élancement relatif \(\lambda_{\text{rel,m}}\) est très faible (ex: 0.5), cela signifie que :

Glossaire

Déversement
Phénomène d'instabilité d'une poutre fléchie, caractérisé par un déplacement latéral de la section comprimée et une rotation de la section transversale.
Bois Lamellé-Collé (BLC)
Matériau structurel obtenu par collage de lamelles de bois dont le fil est essentiellement parallèle.
\(k_{\text{mod}}\) (Coefficient de modification)
Coefficient qui tient compte de l'effet de la durée de chargement et de la teneur en humidité du bois (classe de service) sur ses propriétés de résistance et de rigidité.
\(\gamma_M\) (Coefficient partiel de sécurité)
Coefficient appliqué aux propriétés du matériau pour obtenir les valeurs de calcul de résistance, tenant compte des incertitudes.
\(L_{\text{ef}}\) (Longueur efficace de déversement)
Longueur théorique d'une poutre équivalente articulée aux deux extrémités en torsion et en flexion latérale, qui aurait la même charge critique de déversement.
\(\sigma_{\text{m,crit}}\) (Contrainte critique de déversement)
Contrainte de flexion théorique à laquelle le déversement se produirait dans une poutre idéale.
\(\lambda_{\text{rel,m}}\) (Élancement relatif pour la flexion)
Paramètre sans dimension qui caractérise la sensibilité de la poutre au déversement, calculé comme \(\sqrt{f_{\text{m,k}}/\sigma_{\text{m,crit}}}\).
\(k_{\text{crit}}\) (Facteur de réduction pour déversement)
Coefficient (\(\leq 1.0\)) qui réduit la résistance en flexion pour tenir compte du risque de déversement. Il dépend de \(\lambda_{\text{rel,m}}\).
Classe de service
Classe définie en fonction de l'humidité ambiante à laquelle la structure en bois sera exposée (ex: Classe 1 pour intérieur chauffé, Classe 2 pour extérieur abrité).
Vérification au Déversement d'une Poutre en Lamellé-Collé - Exercice d'Application

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