Études de cas pratique

EGC

Analyse d’un Système de Plancher en Bois

Analyse d’un Système de Plancher en Bois

Comprendre l'Analyse d’un Système de Plancher en Bois

L'analyse d'un système de plancher en bois implique de comprendre comment les charges (poids propre du plancher, charges d'exploitation comme les personnes et le mobilier) sont transférées depuis la surface du plancher (platelage ou dalle) vers les éléments porteurs secondaires (solives), puis vers les éléments porteurs principaux (poutres principales), et enfin vers les appuis (murs ou poteaux). Cet exercice se concentre sur la détermination des charges agissant sur une solive et la vérification de sa résistance en flexion à l'État Limite Ultime (ELU).

Données de l'étude

On étudie un plancher en bois pour un local d'habitation. Le plancher est constitué de solives régulièrement espacées, supportant un platelage.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Portée des solives (distance entre poutres principales) : \(L_{solive} = 3.80 \, \text{m}\)
  • Entraxe des solives (\(e_{solive}\)) : \(0.60 \, \text{m}\)
  • Section d'une solive : base \(b = 60 \, \text{mm}\), hauteur \(h = 180 \, \text{mm}\)
  • Bois des solives : Classe de résistance C22 (\(f_{m,k} = 22 \, \text{MPa}\))
  • Coefficient de modification (\(k_{mod}\)) : \(0.8\) (classe de service 1, charge de moyenne durée)
  • Coefficient partiel de sécurité pour le matériau bois (\(\gamma_M\)) : \(1.3\)
  • Coefficient de hauteur (\(k_h\)) : Calculer avec \(k_h = \min \left( (150/h)^{0.2} \, ; \, 1.3 \right)\) si \(h < 150 \text{ mm}\), sinon \(k_h=1.0\).
  • Coefficient de stabilité au déversement (\(k_{crit}\)) : \(1.0\) (déversement supposé empêché)
  • Poids volumique du bois des solives : \(\gamma_{bois} = 5.0 \, \text{kN/m}^3\)

Charges surfaciques sur le plancher :

  • Platelage bois + finitions légères (charge permanente) : \(g'_{platelage} = 0.30 \, \text{kN/m}^2\)
  • Plafond suspendu sous les solives (charge permanente) : \(g'_{plafond} = 0.15 \, \text{kN/m}^2\)
  • Charge d'exploitation (catégorie A - habitation) : \(q_k = 2.0 \, \text{kN/m}^2\)
Schéma : Système de Plancher en Bois (Vue en Plan et Coupe Solive)
Vue en Plan du Plancher Portée Solive (L_solive) e_solive Coupe d'une Solive b=60 h=180 p_u,joist

Système de plancher avec solives reposant sur des poutres principales.

Questions à traiter

  1. Calculer le poids propre surfacique des solives (\(g_{solives}\)) réparties sur la surface du plancher.
  2. Calculer la charge permanente surfacique totale (\(G_{k,surf}\)) sur le plancher (platelage + plafond + solives).
  3. Calculer la charge permanente linéique caractéristique (\(g_{k,joist}\)) et la charge d'exploitation linéique caractéristique (\(q_{k,joist}\)) agissant sur une solive.
  4. Calculer la charge totale linéique pondérée à l'ELU (\(p_{u,joist}\)) sur une solive.
  5. Calculer le moment fléchissant maximal de calcul (\(M_{Ed,joist}\)) dans une solive.
  6. Calculer le module d'inertie élastique (\(W_{el,y}\)) et le coefficient de hauteur (\(k_h\)) pour une solive.
  7. Calculer la résistance de calcul en flexion (\(f_{m,d}\)) et le moment résistant (\(M_{Rd,joist}\)) d'une solive.
  8. Vérifier la résistance en flexion de la solive (\(M_{Ed,joist} \leq M_{Rd,joist}\)).

Correction : Analyse d’un Système de Plancher en Bois

Question 1 : Poids Propre Surfacique des Solives (\(g_{solives}\))

Principe :

Pour obtenir un poids surfacique équivalent des solives, on calcule le poids d'une solive sur une longueur de 1m, puis on divise ce poids par la surface qu'elle est censée supporter (cette surface est une bande de largeur égale à l'entraxe des solives et de longueur 1m). Le volume d'une solive pour 1m de longueur est \(V_{solive,1m} = \text{section de la solive} \times 1\text{m}\). Le poids d'une solive pour 1m de longueur est \(P_{solive,1m} = V_{solive,1m} \times \gamma_{bois}\). La surface de plancher supportée par cette portion de 1m de solive est \(A_{supportée} = e_{solive} \times 1\text{m}\). Ainsi, le poids propre surfacique des solives est \(g_{solives} = \frac{P_{solive,1m}}{A_{supportée}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[S_{solive} = b \times h \quad (\text{section d'une solive})\] \[g_{solives} = \frac{S_{solive} \times \gamma_{bois}}{e_{solive}}\]

(En considérant une longueur de 1m pour la répartition sur la surface)

Données spécifiques (converties en mètres) :
  • Base solive (\(b\)) : \(60 \, \text{mm} = 0.06 \, \text{m}\)
  • Hauteur solive (\(h\)) : \(180 \, \text{mm} = 0.18 \, \text{m}\)
  • \(\gamma_{bois} = 5.0 \, \text{kN/m}^3\)
  • Entraxe solives (\(e_{solive}\)) : \(0.60 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_{solive} &= 0.06 \, \text{m} \times 0.18 \, \text{m} \\ &= 0.0108 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} g_{solives} &= \frac{0.0108 \, \text{m}^2 \times 5.0 \, \text{kN/m}^3}{0.60 \, \text{m}} \\ &= \frac{0.054 \, \text{kN/m}}{0.60 \, \text{m}} \\ &= 0.09 \, \text{kN/m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le poids propre surfacique équivalent des solives est \(g_{solives} = 0.09 \, \text{kN/m}^2\).

Question 2 : Charge Permanente Surfacique Totale (\(G_{k,surf}\))

Principe :

La charge permanente surfacique totale sur le plancher est la somme du poids propre du platelage, du poids propre du plafond suspendu et du poids propre surfacique équivalent des solives.

Formule(s) utilisée(s) :
\[G_{k,surf} = g'_{platelage} + g'_{plafond} + g_{solives}\]
Données spécifiques :
  • \(g'_{platelage} = 0.30 \, \text{kN/m}^2\)
  • \(g'_{plafond} = 0.15 \, \text{kN/m}^2\)
  • \(g_{solives} = 0.09 \, \text{kN/m}^2\) (calculée)
Calcul :
\[ \begin{aligned} G_{k,surf} &= 0.30 + 0.15 + 0.09 \, (\text{kN/m}^2) \\ &= 0.54 \, \text{kN/m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La charge permanente surfacique totale sur le plancher est \(G_{k,surf} = 0.54 \, \text{kN/m}^2\).

Question 3 : Charges Linéiques Caractéristiques sur une Solive (\(g_{k,joist}, q_{k,joist}\))

Principe :

Chaque solive reprend les charges surfaciques (permanentes et d'exploitation) sur une largeur égale à son entraxe (\(e_{solive}\)). Pour obtenir la charge linéique sur une solive, on multiplie la charge surfacique par cet entraxe.

Formule(s) utilisée(s) :
\[g_{k,joist} = G_{k,surf} \times e_{solive}\] \[q_{k,joist} = Q_k \times e_{solive}\]
Données spécifiques :
  • \(G_{k,surf} = 0.54 \, \text{kN/m}^2\) (calculée)
  • Charge d'exploitation surfacique (\(Q_k\)) : \(2.0 \, \text{kN/m}^2\)
  • Entraxe solives (\(e_{solive}\)) : \(0.60 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} g_{k,joist} &= 0.54 \, \text{kN/m}^2 \times 0.60 \, \text{m} \\ &= 0.324 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} q_{k,joist} &= 2.0 \, \text{kN/m}^2 \times 0.60 \, \text{m} \\ &= 1.20 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Les charges linéiques caractéristiques sur une solive sont \(g_{k,joist} = 0.324 \, \text{kN/m}\) et \(q_{k,joist} = 1.20 \, \text{kN/m}\).

Question 4 : Charge Totale Linéique Pondérée à l'ELU (\(p_{u,joist}\))

Principe :

La charge totale linéique à l'ELU sur une solive est obtenue en pondérant les charges linéiques caractéristiques \(g_{k,joist}\) et \(q_{k,joist}\) par les coefficients de sécurité réglementaires (\(1.35\) pour G et \(1.5\) pour Q).

Formule(s) utilisée(s) :
\[p_{u,joist} = 1.35 g_{k,joist} + 1.5 q_{k,joist}\]
Données spécifiques :
  • \(g_{k,joist} = 0.324 \, \text{kN/m}\)
  • \(q_{k,joist} = 1.20 \, \text{kN/m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} p_{u,joist} &= (1.35 \times 0.324) + (1.5 \times 1.20) \, (\text{kN/m}) \\ &= 0.4374 + 1.80 \, (\text{kN/m}) \\ &= 2.2374 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

On arrondit : \(p_{u,joist} \approx 2.24 \, \text{kN/m}\).

Résultat Question 4 : La charge totale linéique pondérée à l'ELU sur une solive est \(p_{u,joist} \approx 2.24 \, \text{kN/m}\).

Question 5 : Moment Fléchissant Maximal (\(M_{Ed,joist}\)) dans une Solive

Principe :

Pour une solive simplement appuyée de portée \(L_{solive}\) soumise à une charge uniformément répartie \(p_{u,joist}\), le moment fléchissant maximal se produit à mi-portée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Ed,joist} = \frac{p_{u,joist} L_{solive}^2}{8}\]
Données spécifiques :
  • \(p_{u,joist} \approx 2.2374 \, \text{kN/m}\)
  • Portée solive (\(L_{solive}\)) : \(3.80 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{Ed,joist} &= \frac{2.2374 \, \text{kN/m} \times (3.80 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{2.2374 \times 14.44}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= \frac{32.308}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &\approx 4.0385 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le moment fléchissant maximal de calcul dans une solive est \(M_{Ed,joist} \approx 4.04 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 6 : Module d'Inertie Élastique (\(W_{el,y}\)) et Coefficient (\(k_h\))

Principe :

Le module d'inertie élastique \(W_{el,y}\) est une propriété géométrique de la section. Le coefficient \(k_h\) ajuste la résistance en flexion en fonction de la hauteur de la section.

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{el,y} = \frac{b h^2}{6}\] \[k_h = 1.0 \quad \text{si } h \geq 150 \, \text{mm}\] \[k_h = \min \left( \left(\frac{150}{h}\right)^{0.2} \, ; \, 1.3 \right) \quad \text{si } h < 150 \, \text{mm}\]
Données spécifiques (solive, en mm) :
  • Base (\(b\)) : \(60 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(180 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{el,y} &= \frac{60 \, \text{mm} \times (180 \, \text{mm})^2}{6} \\ &= \frac{60 \times 32400}{6} \, \text{mm}^3 \\ &= 324000 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

Comme \(h = 180 \, \text{mm} \geq 150 \, \text{mm}\) :

\[ k_h = 1.0 \]
Résultat Question 6 : \(W_{el,y} = 324000 \, \text{mm}^3\) et \(k_h = 1.0\).

Question 7 : Résistance en Flexion (\(f_{m,d}\)) et Moment Résistant (\(M_{Rd,joist}\))

Principe :

La résistance de calcul en flexion \(f_{m,d}\) est calculée, puis le moment résistant \(M_{Rd,joist}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{m,d} = k_{mod} \cdot k_h \cdot k_{crit} \cdot \frac{f_{m,k}}{\gamma_M}\] \[M_{Rd,joist} = f_{m,d} \cdot W_{el,y}\]
Données spécifiques :
  • \(k_{mod} = 0.8\), \(k_h = 1.0\), \(k_{crit} = 1.0\)
  • \(f_{m,k} = 22 \, \text{MPa}\) (C22)
  • \(\gamma_M = 1.3\)
  • \(W_{el,y} = 324000 \, \text{mm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{m,d} &= 0.8 \times 1.0 \times 1.0 \times \frac{22 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 0.8 \times 16.923 \, \text{MPa} \\ &\approx 13.538 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} M_{Rd,joist} &\approx 13.538 \, \text{N/mm}^2 \times 324000 \, \text{mm}^3 \\ &\approx 4386312 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &\approx 4.386 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : \(f_{m,d} \approx 13.54 \, \text{MPa}\), \(M_{Rd,joist} \approx 4.39 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 8 : Vérification de la Solive en Flexion

Principe :

La sécurité en flexion est assurée si le moment fléchissant de calcul agissant (\(M_{Ed,joist}\)) est inférieur ou égal au moment résistant de calcul (\(M_{Rd,joist}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Ed,joist} \leq M_{Rd,joist}\]
Données spécifiques :
  • \(M_{Ed,joist} \approx 4.04 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • \(M_{Rd,joist} \approx 4.39 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
Comparaison :
\[4.04 \, \text{kN} \cdot \text{m} \leq 4.39 \, \text{kN} \cdot \text{m} \quad (\text{OK})\]

La condition est vérifiée.

Résultat Question 8 : La solive résiste en flexion (\(M_{Ed,joist} \leq M_{Rd,joist}\)).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. La charge permanente surfacique (\(G_{k,surf}\)) d'un plancher inclut typiquement :

2. Comment obtient-on la charge linéique sur une solive à partir d'une charge surfacique sur le plancher ?

3. La vérification de la résistance en flexion d'une poutre en bois à l'ELU consiste à s'assurer que :

Glossaire

Solive
Poutre secondaire, généralement de section plus petite, supportant directement un platelage ou une dalle et reportant les charges sur des poutres principales ou des murs.
Poutre Principale
Élément porteur majeur qui reprend les charges des solives ou d'autres éléments secondaires.
Entraxe
Distance entre les axes de deux éléments structuraux parallèles (ex: solives).
Charge Permanente (Gk)
Charge due au poids propre des éléments de construction fixes (plancher, solives, plafond, etc.).
Charge d'Exploitation (Qk)
Charge variable due à l'usage du bâtiment (personnes, mobilier, etc.).
Charge Linéique
Charge répartie le long d'un élément, exprimée en force par unité de longueur (ex: kN/m).
Charge Surfacique
Charge répartie sur une surface (ex: kN/m²).
État Limite Ultime (ELU)
État limite correspondant à la rupture ou à une déformation excessive de la structure, mettant en jeu la sécurité.
Moment Fléchissant de Calcul (\(M_{Ed}\))
Moment sollicitant la section, calculé à l'ELU.
Moment Résistant de Calcul (\(M_{Rd}\))
Capacité maximale d'une section à résister à un moment fléchissant à l'ELU.
Module d'Inertie Élastique (\(W_{el,y}\))
Caractéristique géométrique d'une section utilisée pour le calcul de la résistance en flexion.
Résistance de Calcul en Flexion (\(f_{m,d}\))
Résistance du bois en flexion utilisée pour les vérifications à l'ELU.
Analyse d’un Système de Plancher en Bois - Exercice d'Application

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