Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin
Comprendre l’Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin
Dans le cadre de la construction d’une maison résidentielle en bois, un ingénieur doit vérifier la résistance d’une poutre en bois qui servira de support principal pour le toit. La poutre est en bois de pin et doit supporter une charge uniformément répartie due au poids du toit et des charges de neige.
Pour comprendre les Caractéristiques mécaniques du bois, cliquez sur le lien.
Données :
- Matériau : Pin
- Densité du pin : 500 kg/m³
- Module d’élasticité (E) : 11 GPa
- Contrainte admissible (en flexion) : 16 MPa
- Longueur de la poutre (L) : 4 m
- Charge permanente (G) due au poids du toit : 1.5 kN/m
- Charge d’exploitation (Q) due à la neige : 3 kN/m
Questions :
1. Calculer la charge totale répartie (w) que la poutre doit supporter.
2. Déterminer le moment fléchissant maximal (M) dans la poutre. Utiliser la formule pour une charge répartie sur une poutre simplement appuyée.
3. Vérifier si la poutre est suffisamment résistante :
- Calculer le moment de résistance requis ( \( M_r \) ) en utilisant la contrainte admissible et la section de la poutre. Supposer une section rectangulaire avec une largeur \( b = 150 \) mm et une hauteur \( h = 300 \) mm.
- Calculer le moment de résistance de la section ( \( M_s \).
- Comparer \( M_s \) et \( M \) pour vérifier si la poutre est adéquate.
Correction : Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin
1. Calcul de la charge totale répartie (w)
La poutre supporte deux types de charges réparties uniformément :
-
La charge permanente (G) due au poids du toit.
-
La charge d’exploitation (Q) due à la neige.
La charge totale répartie est la somme de ces deux charges.
Formule
\[ w = G + Q \]
Données
- Charge permanente, \( G = 1{,}5 \) kN/m
- Charge d’exploitation, \( Q = 3 \) kN/m
Calcul
\[ w = 1{,}5 \, \text{kN/m} + 3 \, \text{kN/m} \] \[ w = 4{,}5 \, \text{kN/m} \]
2. Détermination du moment fléchissant maximal (M)
Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, le moment fléchissant maximal se situe au milieu de la portée.
Formule
\[ M = \frac{w \times L^2}{8} \]
Données
- Charge totale répartie, \( w = 4{,}5 \) kN/m
- Longueur de la poutre, \( L = 4 \) m
Calcul
1. Calcul de \( L^2 \) :
\[ L^2 = 4^2 = 16 \, \text{m}^2 \]
2. Application de la formule :
\[ M = \frac{4{,}5 \, \text{kN/m} \times 16 \, \text{m}^2}{8} \] \[ M = \frac{72 \, \text{kN·m}}{8} \] \[ M = 9 \, \text{kN·m} \]
Remarque : 9 kN·m correspond également à 9000 N·m.
3. Vérification de la résistance de la poutre
Étape 3.1 : Calcul du module de résistance (section modulus)
Pour une section rectangulaire, le module de résistance \( Z \) est déterminé par la formule :
\[ Z = \frac{b \times h^2}{6} \]
Il représente la capacité de la section à résister au moment fléchissant.
Données
- Largeur, \( b = 150 \) mm \( = 0{,}15 \) m
- Hauteur, \( h = 300 \) mm \( = 0{,}3 \) m
Calcul
1. Calcul de \( h^2 \) :
\[ h^2 = (0{,}3 \, \text{m})^2 = 0{,}09 \, \text{m}^2 \]
2. Calcul de \( Z \) :
\[ Z = \frac{0{,}15 \, \text{m} \times 0{,}09 \, \text{m}^2}{6} \] \[ Z = \frac{0{,}0135 \, \text{m}^3}{6} \] \[ Z \approx 0{,}00225 \, \text{m}^3 \]
Étape 3.2 : Calcul du moment de résistance de la section (M\(_s\))
Le moment de résistance \( M_s \) d’une section est obtenu en multipliant le module de résistance \( Z \) par la contrainte admissible en flexion \( \sigma_{\text{adm}} \).
Formule
\[ M_s = \sigma_{\text{adm}} \times Z \]
Données
- Contrainte admissible en flexion, \( \sigma_{\text{adm}} = 16 \) MPa \( = 16 \times 10^6 \) N/m\(^2\)
- Module de résistance, \( Z \approx 0{,}00225 \) m\(^3\)
Calcul
\[ M_s = 16 \times 10^6 \, \text{N/m}^2 \times 0{,}00225 \, \text{m}^3 \] \[ M_s = 36\,000 \, \text{N·m} \] \[ M_s = 36 \, \text{kN·m} \]
Étape 3.3 : Comparaison entre \( M \) et \( M_s \)
Pour vérifier que la poutre est suffisamment résistante, on compare le moment fléchissant maximal \( M \) à la capacité de la section \( M_s \).
Données
- Moment fléchissant maximal, \( M = 9 \) kN·m
- Moment de résistance de la section, \( M_s = 36 \) kN·m
Conclusion du Calcul
\[ M_s \, (36 \, \text{kN·m}) > M \, (9 \, \text{kN·m}) \]
La poutre possède une résistance adéquate puisque le moment de résistance de la section est largement supérieur au moment fléchissant maximal induit par les charges.
Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin
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