Études de cas pratique

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Calcul de la pente d’une charpente en bois

Calcul de la Pente d’une Charpente en Bois

Comprendre le Calcul de la Pente d’une Charpente en Bois

La pente d'une toiture est un élément crucial de sa conception. Elle influence l'écoulement des eaux de pluie, la charge de neige, le choix du matériau de couverture, et l'esthétique générale du bâtiment. La pente peut être exprimée en pourcentage (%) ou en degrés (°). Elle est définie par le rapport entre la hauteur verticale (montée ou hauteur du faîtage par rapport à la base du versant) et la projection horizontale de cette hauteur (parcours ou largeur du versant à l'horizontale).

Données de l'étude

On étudie une toiture à deux versants symétriques pour une petite construction.

Caractéristiques géométriques :

  • Largeur totale du bâtiment (entre murs extérieurs) : \(L_{batiment} = 8.00 \, \text{m}\)
  • Hauteur du faîtage par rapport au sommet des murs (montée) : \(H_{faitage} = 2.40 \, \text{m}\)

Hypothèse : Les versants sont symétriques. La projection horizontale d'un versant est donc la moitié de la largeur du bâtiment.

Schéma : Toiture à Deux Versants
L_batiment = 8.00 m H_faitage = 2.40 m L_batiment / 2 α Pente de Toiture

Schéma illustrant les dimensions pour le calcul de la pente.

Questions à traiter

  1. Calculer la projection horizontale d'un versant de la toiture (\(L_{horiz}\)).
  2. Calculer la pente de la toiture en pourcentage (\(P_{\%}\)).
  3. Calculer l'angle de la pente (\(\alpha\)) en degrés.
  4. Calculer la longueur réelle d'un rampant (\(L_{rampant}\)).

Correction : Calcul de la Pente d’une Charpente en Bois

Question 1 : Projection Horizontale d'un Versant (\(L_{horiz}\))

Principe :

La toiture a deux versants symétriques. La projection horizontale de chaque versant correspond donc à la moitié de la largeur totale du bâtiment.

Formule(s) utilisée(s) :
\[L_{horiz} = \frac{L_{batiment}}{2}\]
Données spécifiques :
  • Largeur du bâtiment (\(L_{batiment}\)) : \(8.00 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L_{horiz} &= \frac{8.00 \, \text{m}}{2} \\ &= 4.00 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La projection horizontale d'un versant est \(L_{horiz} = 4.00 \, \text{m}\).

Question 2 : Pente de la Toiture en Pourcentage (\(P_{\%}\))

Principe :

La pente en pourcentage est le rapport entre la hauteur verticale (montée, \(H_{faitage}\)) et la projection horizontale (\(L_{horiz}\)), multiplié par 100.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\%} = \left( \frac{H_{faitage}}{L_{horiz}} \right) \times 100\%\]
Données spécifiques :
  • Hauteur du faîtage (\(H_{faitage}\)) : \(2.40 \, \text{m}\)
  • Projection horizontale (\(L_{horiz}\)) : \(4.00 \, \text{m}\) (calculée)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\%} &= \left( \frac{2.40 \, \text{m}}{4.00 \, \text{m}} \right) \times 100\% \\ &= 0.60 \times 100\% \\ &= 60\% \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La pente de la toiture est de \(60\%\).

Question 3 : Angle de la Pente (\(\alpha\)) en Degrés

Principe :

L'angle de la pente (\(\alpha\)) peut être trouvé en utilisant la fonction arc tangente (ou tangente inverse) du rapport hauteur/projection horizontale.

La pente (rapport) est \(\tan(\alpha) = H_{faitage} / L_{horiz}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tan(\alpha) = \frac{H_{faitage}}{L_{horiz}}\] \[\alpha = \arctan\left(\frac{H_{faitage}}{L_{horiz}}\right)\]
Données spécifiques :
  • Hauteur du faîtage (\(H_{faitage}\)) : \(2.40 \, \text{m}\)
  • Projection horizontale (\(L_{horiz}\)) : \(4.00 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \tan(\alpha) = \frac{2.40}{4.00} = 0.60 \]
\[ \begin{aligned} \alpha &= \arctan(0.60) \\ &\approx 30.96^\circ \end{aligned} \]

(Assurez-vous que votre calculatrice est en mode degrés pour obtenir le résultat en degrés).

Résultat Question 3 : L'angle de la pente est \(\alpha \approx 30.96^\circ\).

Question 4 : Longueur Réelle d'un Rampant (\(L_{rampant}\))

Principe :

La longueur du rampant est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par la hauteur du faîtage et la projection horizontale du versant. On peut utiliser le théorème de Pythagore.

Formule(s) utilisée(s) :
\[L_{rampant}^2 = H_{faitage}^2 + L_{horiz}^2\] \[L_{rampant} = \sqrt{H_{faitage}^2 + L_{horiz}^2}\]

Alternativement, \(L_{rampant} = \frac{L_{horiz}}{\cos(\alpha)}\) ou \(L_{rampant} = \frac{H_{faitage}}{\sin(\alpha)}\).

Données spécifiques :
  • Hauteur du faîtage (\(H_{faitage}\)) : \(2.40 \, \text{m}\)
  • Projection horizontale (\(L_{horiz}\)) : \(4.00 \, \text{m}\)
  • Angle \(\alpha \approx 30.96^\circ\)
Calcul (avec Pythagore) :
\[ \begin{aligned} L_{rampant} &= \sqrt{(2.40)^2 + (4.00)^2} \\ &= \sqrt{5.76 + 16.00} \\ &= \sqrt{21.76} \\ &\approx 4.665 \, \text{m} \end{aligned} \]

Calcul avec l'angle :

\[ \begin{aligned} L_{rampant} &= \frac{4.00}{\cos(30.96^\circ)} \\ &\approx \frac{4.00}{0.8575} \\ &\approx 4.665 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La longueur réelle d'un rampant est \(L_{rampant} \approx 4.67 \, \text{m}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Comment définit-on la pente d'une toiture en pourcentage ?

2. Si la pente d'une toiture est de 100%, quel est l'angle de la pente en degrés ?

3. La longueur du rampant d'une toiture est toujours :

Glossaire

Pente de Toiture
Inclinaison d'un versant de toiture, exprimée généralement en pourcentage (%) ou en degrés (°). Elle est cruciale pour l'écoulement des eaux et le choix des matériaux de couverture.
Faîtage
Ligne de rencontre haute des deux versants d'une toiture.
Montée (Hauteur du Faîtage)
Différence de niveau verticale entre le point le plus bas (égout) et le point le plus haut (faîtage) d'un versant de toiture.
Projection Horizontale (Parcours)
Distance horizontale couverte par un versant de toiture. Pour une toiture à deux versants symétriques, c'est la moitié de la largeur du bâtiment.
Rampant
Surface inclinée d'un versant de toiture. La longueur du rampant est la distance mesurée le long de cette surface inclinée.
Arc Tangente (\(\arctan\) ou \(\text{tan}^{-1}\))
Fonction trigonométrique inverse de la tangente. Si \(\tan(\alpha) = x\), alors \(\alpha = \arctan(x)\).
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (\(c^2 = a^2 + b^2\)).
Calcul de la Pente d’une Charpente en Bois - Exercice d'Application

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