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Résistance des Matériaux Ductiles et Fragiles

Résistance des Matériaux Ductiles et Fragiles

Résistance des Matériaux Ductiles et Fragiles

Contexte : Rupture brutale ou déformation visible ? Un choix crucial pour la sécurité.

En Génie Civil, la résistance d'un matériau n'est pas sa seule caractéristique importante. La manière dont il se rompt est tout aussi fondamentale. Un matériau ductileCapacité d'un matériau à se déformer plastiquement (de manière permanente) avant de se rompre. L'acier est un excellent exemple de matériau ductile., comme l'acier, se déforme considérablement avant de céder, prévenant d'une défaillance imminente. À l'inverse, un matériau fragileTendance d'un matériau à se rompre soudainement, sans déformation plastique significative. Le verre, le béton non armé et la fonte sont des matériaux fragiles., comme la fonte ou le béton non armé, se rompt brutalement sans avertissement. Cet exercice compare le comportement de deux tirants de mêmes dimensions, l'un en acier et l'autre en fonte, pour illustrer ces concepts vitaux pour la conception d'ouvrages sûrs.

Remarque Pédagogique : Cet exercice va au-delà du simple calcul de contrainte \(\sigma = F/A\). Il nous force à comparer cette contrainte à deux limites différentes : la limite d'élasticité (pour le matériau ductile) et la limite à la rupture (pour le matériau fragile). Nous verrons que pour une même charge, l'un des tirants peut être sûr tandis que l'autre peut avoir déjà cédé de manière catastrophique.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la contrainte normale dans un élément soumis à la traction.
  • Distinguer la limite d'élasticité de la limite à la rupture.
  • Appliquer le critère de résistance approprié pour un matériau ductile et un matériau fragile.
  • Calculer l'allongement d'un tirant en utilisant la loi de Hooke.
  • Interpréter la signification de la ductilité et de la fragilité en termes de sécurité structurale.

Données de l'étude

On étudie deux tirants cylindriques de mêmes dimensions, l'un en acier S235 (ductile) et l'autre en fonte EN-GJL-250 (fragile). Ils sont soumis à la même charge de traction F.

Schéma d'un tirant en traction
F F L = 2000 mm d = 20 mm
Paramètre Symbole Valeur Unité
Longueur initiale \(L\) 2000 \(\text{mm}\)
Diamètre de la section \(d\) 20 \(\text{mm}\)
Force de traction appliquée \(F\) 60 000 \(\text{N}\)
Propriété Matériau Acier S235 (Ductile) Fonte EN-GJL-250 (Fragile) Unité
Module de Young (\(E\)) 210 000 100 000 \(\text{MPa}\)
Limite d'élasticité (\(\sigma_{\text{e}}\)) 235 N/A \(\text{MPa}\)
Résistance à la rupture (\(\sigma_{\text{r}}\)) 360 250 \(\text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire \(A\) de la section transversale des tirants.
  2. Calculer la contrainte normale \(\sigma\) dans les deux tirants.
  3. Pour le tirant en acier, vérifier s'il a atteint sa limite d'élasticité. Conclure sur son état.
  4. Pour le tirant en fonte, vérifier s'il a atteint sa résistance à la rupture. Conclure sur son état.
  5. Calculer l'allongement \(\Delta L\) de chaque tirant sous la charge F (en supposant qu'ils ne sont pas rompus).

Les bases de la RdM pour la Traction

Avant la correction, rappelons les concepts fondamentaux de la traction simple.

1. Contrainte Normale (\(\sigma\)) :
En traction, la contrainte est la force interne par unité de surface. Elle est supposée uniforme sur la section droite de la pièce. La formule est simple : \[ \sigma = \frac{F}{A} \] Où \(F\) est la force de traction et \(A\) est l'aire de la section transversale. L'unité est le Pascal (Pa) ou, plus couramment, le Mégapascal (MPa), avec 1 MPa = 1 N/mm².

2. Loi de Hooke et Allongement (\(\Delta L\)) :
Dans le domaine élastique, l'allongement d'une pièce est proportionnel à la contrainte appliquée. C'est la loi de Hooke. L'allongement total \(\Delta L\) se calcule par : \[ \Delta L = \frac{F \cdot L}{A \cdot E} = \frac{\sigma \cdot L}{E} \] Où \(L\) est la longueur initiale et \(E\) est le Module de Young du matériau.

3. Diagrammes Contrainte-Déformation :
Le comportement d'un matériau est visualisé par son diagramme \(\sigma-\varepsilon\).

  • Ductile (Acier) : Montre une zone élastique linéaire, un plateau de plasticité (grandes déformations à contrainte quasi constante) puis une zone d'écrouissage jusqu'à la rupture. La défaillance est précédée par une déformation importante.
  • Fragile (Fonte) : A un comportement quasi-linéaire jusqu'à la rupture, qui est soudaine et sans déformation plastique notable.

Correction : Résistance des Matériaux Ductiles et Fragiles

Question 1 : Calculer l'aire de la section

Principe (le concept physique)

L'aire de la section transversale est la surface qui "résiste" à la force de traction. C'est sur cette surface que la force F se répartit pour créer la contrainte interne. Pour une section circulaire, cette aire dépend du carré du diamètre (ou du rayon).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'aire est une propriété géométrique de premier ordre. Contrairement au moment quadratique qui caractérise la résistance à la flexion, l'aire caractérise la résistance aux efforts normaux (traction, compression). Pour des sections complexes, on les décompose en formes simples (rectangles, cercles) pour calculer l'aire totale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez la section du tirant comme une multitude de petites fibres élémentaires. Chacune de ces fibres porte une petite fraction de la charge totale. L'aire est simplement la somme de toutes ces petites surfaces de fibres qui travaillent ensemble.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des aires de section est la base de toute norme de dimensionnement, comme l'Eurocode. Pour les profilés standards, ces valeurs sont directement tabulées dans les catalogues de produits pour simplifier le travail de l'ingénieur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une section circulaire de diamètre \(d\) :

\[ A = \frac{\pi \cdot d^2}{4} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section est parfaitement circulaire et constante sur toute la longueur du tirant.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Diamètre de la section, \(d = 20 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour une estimation rapide, on peut approcher \(\pi\) par 3.14. Le calcul devient \(3.14 \times 20^2 / 4 = 3.14 \times 100 = 314\) mm². C'est souvent suffisant pour une première vérification.

Schéma (Avant les calculs)
Section Circulaire
d = 20 mm
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec le diamètre en mm pour obtenir une aire en mm².

\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi \cdot (20 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 400}{4} \, \text{mm}^2 \\ &= 100\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 314.16 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Section avec Aire Calculée
A ≈ 314 mm²
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette aire de 314.16 mm² est la surface effective qui s'oppose à la force de traction. C'est une valeur modeste, typique pour des barres d'armature ou des petits tirants dans la construction métallique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de confondre le rayon et le diamètre. Si vous utilisez la formule avec le rayon (\(A = \pi \cdot r^2\)), assurez-vous de bien utiliser \(r=10\) mm. Une autre erreur est d'oublier de mettre le diamètre au carré.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'aire résiste aux efforts normaux (traction/compression).
  • Pour un cercle, \(A = \pi d^2 / 4\).
  • Cette aire est la base du calcul de la contrainte.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La forme circulaire est très efficace en traction car la contrainte se répartit parfaitement. Dans les profilés complexes, on parle d' "aire brute" (l'aire totale) et d' "aire nette" (l'aire brute moins les trous pour les boulons), car les trous réduisent la section résistante.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que l'aire change pendant la traction ?

Oui, très légèrement. À cause de l'effet de Poisson, lorsque le tirant s'allonge, son diamètre diminue un peu, et donc son aire aussi. Cependant, pour les calculs standards en RdM, on utilise toujours l'aire de la section initiale (non déformée).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'aire de la section transversale des deux tirants est d'environ 314.16 mm².
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le diamètre était de 30 mm, quelle serait la nouvelle aire en mm² (arrondie à l'entier) ?

Question 2 : Calculer la contrainte normale

Principe (le concept physique)

La contrainte est la même pour les deux tirants car ils ont la même géométrie (même aire A) et sont soumis à la même force F. Ce calcul nous donne la valeur de la sollicitation interne, que nous allons ensuite comparer aux capacités de chaque matériau.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le concept de contrainte a été introduit par Cauchy pour passer d'une vision "globale" (force sur un objet) à une vision "locale" (intensité de l'effort en un point de la matière). On suppose ici que la contrainte est uniforme, ce qui est une bonne approximation loin des points d'application de la force (principe de Saint-Venant).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez la contrainte comme la "densité de force". Si vous avez 100 personnes (la Force) dans une petite pièce (l'Aire), la densité est élevée. Si vous les mettez dans un grand hall, la densité est faible. La contrainte, c'est pareil : plus l'aire est petite pour une même force, plus la matière est "stressée".

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de calcul (comme l'Eurocode 3 pour l'acier) définissent les méthodes de calcul des contraintes de calcul (\(\sigma_{\text{Ed}}\)) en prenant en compte des coefficients de sécurité sur les charges. On compare ensuite cette contrainte de calcul à une résistance de calcul.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La contrainte normale \(\sigma\) est donnée par :

\[ \sigma = \frac{F}{A} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la force est appliquée parfaitement dans l'axe du tirant (pas d'excentricité qui créerait de la flexion) et que la contrainte est uniformément répartie sur la section.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Force appliquée, \(F = 60 \, 000 \, \text{N}\)
  • Aire de la section, \(A \approx 314.16 \, \text{mm}^2\) (du calcul Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)

En utilisant la force en Newtons (N) et l'aire en mm², le résultat de la division est directement en Mégapascals (MPa). C'est l'unité la plus pratique pour comparer aux limites des matériaux de construction.

Schéma (Avant les calculs)
Force appliquée sur une Aire
A ≈ 314 mm²F = 60 kNσ = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{60000 \, \text{N}}{314.16 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 190.99 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 191 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Contrainte Résultante
σ ≈ 191 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une contrainte de 191 MPa est une valeur significative. Pour la plupart des aciers de construction, c'est une valeur de service élevée mais acceptable. La question cruciale est maintenant de savoir comment chaque matériau, l'acier et la fonte, se compare à cette sollicitation.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est la gestion des unités. Si la force est en kiloNewtons (kN), il faut la convertir en Newtons (N) en multipliant par 1000 avant de diviser par l'aire en mm² pour obtenir des MPa.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte est la force divisée par l'aire (\(\sigma = F/A\)).
  • Elle représente la sollicitation interne du matériau.
  • Le couple d'unités (N, mm) donne directement des MPa.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de contrainte a été formalisé par l'ingénieur et mathématicien français Augustin-Louis Cauchy au début du 19ème siècle. Son travail a permis de transformer la mécanique des structures d'un art empirique à une science prédictive.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce la seule contrainte dans le tirant ?

En traction pure, \(\sigma = F/A\) est la contrainte principale. Cependant, si on regarde une section inclinée, il apparaît à la fois une contrainte normale et une contrainte de cisaillement. La contrainte de cisaillement est maximale sur un plan à 45°, ce qui explique pourquoi les matériaux ductiles commencent souvent à "glisser" selon cet angle lors de la plastification.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte normale dans les deux tirants est d'environ 191 MPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec la même section (314.16 mm²), quelle serait la contrainte si la force était de 75 kN (75000 N) ?

Question 3 : Vérification du tirant en acier (Ductile)

Principe (le concept physique)

Pour un matériau ductile, le premier critère de dimensionnement est d'éviter la déformation permanente (plastification). On compare donc la contrainte de service \(\sigma\) à la limite d'élasticité \(\sigma_{\text{e}}\). Tant que \(\sigma < \sigma_{\text{e}}\), le matériau se déforme élastiquement et revient à sa forme initiale si on retire la charge. S'il y a plastification, il y a une déformation résiduelle.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La limite d'élasticité marque la fin du comportement réversible. Au-delà, des mouvements de dislocations s'initient dans la structure cristalline du métal, conduisant à une déformation permanente. Pour l'acier, cette transition est souvent marquée par un "plateau de fluage" où la déformation augmente sans augmentation de la contrainte.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un trombone. Vous pouvez le tordre légèrement et il reprend sa forme (domaine élastique). Si vous le tordez trop fort, il reste plié (domaine plastique). La limite d'élasticité est précisément la "frontière" entre ces deux comportements.

Normes (la référence réglementaire)

Les Eurocodes utilisent une approche aux états limites. Pour l'État Limite Ultime (ELU), on vérifie que la contrainte de calcul reste inférieure à la résistance de calcul, qui est la limite d'élasticité divisée par un coefficient de sécurité (ex: \(\gamma_{\text{M0}} = 1.0\)).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le critère de résistance pour un matériau ductile est :

\[ \sigma \le \sigma_{\text{e}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les propriétés du matériau correspondent bien à la nuance d'acier S235 et qu'il n'y a pas d'effets de température ou de fatigue qui pourraient modifier sa limite d'élasticité.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contrainte calculée, \(\sigma \approx 191 \, \text{MPa}\)
  • Limite d'élasticité de l'acier S235, \(\sigma_{\text{e}} = 235 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La désignation des aciers de construction en Europe est très pratique. Un acier "S235" est un acier de Structure dont la limite d'élasticité minimale garantie (\(\sigma_{\text{e}}\)) est de 235 MPa. De même, un S355 a une limite de 355 MPa.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme Contrainte-Déformation de l'Acier
σe=235σ=?Déformation εContrainte σ
Calcul(s) (l'application numérique)

On effectue une simple comparaison :

\[ 191 \, \text{MPa} < 235 \, \text{MPa} \]
Schéma (Après les calculs)
Position sur le diagramme de l'Acier
σe=235σ=191Déformation εContrainte σ
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte dans le tirant en acier est inférieure à sa limite d'élasticité. Le tirant est donc en sécurité. Il s'allonge de manière élastique sous l'effet de la charge, mais il n'y a pas de déformation permanente. Il est loin de la rupture (\(\sigma_{\text{r}} = 360\) MPa).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Il ne faut pas confondre la limite d'élasticité (\(\sigma_{\text{e}}\)) avec la résistance à la rupture (\(\sigma_{\text{r}}\)). On dimensionne un matériau ductile par rapport à \(\sigma_{\text{e}}\) pour éviter les déformations inacceptables, même si la rupture se produit bien plus tard.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Pour un matériau ductile, le critère de base est \(\sigma \le \sigma_{\text{e}}\).
  • Cela garantit un comportement élastique et réversible.
  • La ductilité offre une grande marge de sécurité entre la fin de l'élasticité et la rupture effective.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Lorsqu'un acier doux plastifie, des bandes mates visibles, appelées bandes de Lüders, peuvent apparaître à la surface du métal, souvent orientées à 45°. Elles matérialisent les plans de glissement cristallin où la déformation plastique se produit.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pas dimensionner les structures pour qu'elles travaillent en plasticité ?

Bien que le calcul plastique existe, il est plus complexe. Pour les structures courantes, on reste dans le domaine élastique pour plusieurs raisons : garantir que la structure retrouve sa forme après chargement, limiter les déformations et simplifier les calculs. Le domaine plastique est une "réserve de sécurité" en cas de surcharge exceptionnelle.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le tirant en acier est en sécurité. La contrainte de 191 MPa est inférieure à la limite d'élasticité de 235 MPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la force maximale (en N) que le tirant en acier peut supporter avant de commencer à se déformer plastiquement ?

Question 4 : Vérification du tirant en fonte (Fragile)

Principe (le concept physique)

Pour un matériau fragile, il n'y a pas de phase de plastification notable. Le matériau reste élastique jusqu'à une rupture soudaine. Le critère de dimensionnement est donc de s'assurer que la contrainte de service \(\sigma\) reste bien en dessous de la résistance à la rupture \(\sigma_{\text{r}}\), avec un coefficient de sécurité adéquat.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La rupture fragile est initiée par des micro-défauts (inclusions, fissures) présents dans le matériau. Sous l'effet de la contrainte, ces défauts se transforment en fissures qui se propagent très rapidement à travers la pièce, menant à une rupture quasi instantanée. Il n'y a pas de mécanisme de déformation plastique pour "amortir" la propagation de la fissure.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez une vitre. Elle peut supporter un certain poids, mais si vous la rayez (créant un défaut), elle cassera beaucoup plus facilement. Les matériaux fragiles sont très sensibles à ces défauts, et leur résistance est donc plus statistique et moins prévisible que celle des matériaux ductiles.

Normes (la référence réglementaire)

À cause de leur mode de rupture brutal et imprévisible, les normes de construction imposent des coefficients de sécurité beaucoup plus élevés pour les matériaux fragiles que pour les matériaux ductiles, afin de garantir une marge de sécurité suffisante.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le critère de résistance pour un matériau fragile est :

\[ \sigma \le \sigma_{\text{r}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la valeur de \(\sigma_{\text{r}} = 250\) MPa est une valeur minimale garantie et que le tirant est exempt de défauts majeurs qui pourraient abaisser localement sa résistance.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contrainte calculée, \(\sigma \approx 191 \, \text{MPa}\)
  • Résistance à la rupture de la fonte, \(\sigma_{\text{r}} = 250 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour évaluer rapidement la sécurité, on peut calculer le "taux de travail" : \(\sigma / \sigma_{\text{r}}\). Ici, \(191 / 250 \approx 0.76\). Le matériau travaille donc à 76% de sa capacité ultime, ce qui est généralement considéré comme trop élevé pour un matériau fragile.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme Contrainte-Déformation de la Fonte
σr=250σ=?Déformation εContrainte σ
Calcul(s) (l'application numérique)

On compare la contrainte à la résistance à la rupture :

\[ 191 \, \text{MPa} < 250 \, \text{MPa} \]
Schéma (Après les calculs)
Position sur le diagramme de la Fonte
σr=250σ=191Déformation εContrainte σ
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte dans le tirant en fonte (191 MPa) est inférieure à sa résistance à la rupture (250 MPa). Techniquement, il n'a pas encore rompu. Cependant, le coefficient de sécurité est de 250 / 191 ≈ 1.3, ce qui est très faible pour un matériau fragile. Une légère augmentation de la charge ou un défaut dans le matériau pourrait entraîner une rupture brutale. En pratique, ce dimensionnement serait jugé dangereux.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur critique serait d'oublier qu'un matériau fragile n'a pas de limite d'élasticité exploitable pour le dimensionnement. La seule limite pertinente est celle de la rupture. Une rupture fragile est catastrophique car elle est instantanée et sans signes avant-coureurs.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Pour un matériau fragile, le critère est \(\sigma \le \sigma_{\text{r}}\).
  • La rupture est brutale et sans avertissement.
  • Des coefficients de sécurité élevés sont nécessaires.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pendant la Seconde Guerre mondiale, de nombreux navires de type "Liberty ships" construits rapidement se sont brisés en deux en mer froide. L'acier utilisé devenait fragile à basse température, et des fissures initiées par des défauts de soudure se propageaient de manière catastrophique. Cet événement a grandement fait avancer la science de la mécanique de la rupture.

FAQ (pour lever les doutes)
Si la fonte est si dangereuse, pourquoi l'utilise-t-on encore ?

La fonte a d'excellentes propriétés : elle est facile à mouler dans des formes complexes, elle a une bonne résistance à l'usure et elle amortit très bien les vibrations. On l'utilise donc beaucoup pour des bâtis de machines, des blocs moteurs ou des tuyaux, où sa fragilité est moins critique que ses autres qualités.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le tirant en fonte n'est pas rompu, mais il est proche de sa limite de rupture (\(191 \text{ MPa} \approx 76\% \text{ de } 250 \text{ MPa}\)). La sécurité est faible.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel est le coefficient de sécurité exact pour le tirant en fonte (\(\sigma_{\text{r}} / \sigma\)) ?

Question 5 : Calculer l'allongement des tirants

Principe (le concept physique)

Puisque les deux tirants sont encore dans leur domaine élastique, on peut utiliser la loi de Hooke pour calculer leur allongement. Cet allongement dépend de la contrainte, de la longueur initiale et du module de Young. Comme les modules sont différents, les allongements le seront aussi.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'allongement est une mesure de la déformation globale de la pièce. Il est lié à la déformation unitaire (ou relative) \(\varepsilon\) par la relation \(\Delta L = \varepsilon \cdot L\). La loi de Hooke s'écrit \(\sigma = E \cdot \varepsilon\), donc \(\varepsilon = \sigma / E\). En combinant les deux, on retrouve la formule de l'allongement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que le Module de Young (E) est la "raideur" d'un ressort. Un E élevé (acier) correspond à un ressort très raide, qui s'allonge peu. Un E plus faible (fonte) correspond à un ressort plus souple, qui s'allonge davantage pour la même force.

Normes (la référence réglementaire)

Dans les Eurocodes, la maîtrise des déformations relève des États Limites de Service (ELS). Par exemple, on peut limiter la flèche d'une poutre ou l'allongement d'un câble pour garantir le confort des usagers ou le bon fonctionnement des éléments non structuraux (cloisons, fenêtres).

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \Delta L = \frac{\sigma \cdot L}{E} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la formule reste valide car les deux matériaux n'ont pas dépassé leur limite de comportement linéaire (limite d'élasticité pour l'acier, limite de rupture pour la fonte qui est quasi-linéaire).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contrainte calculée, \(\sigma \approx 191 \, \text{MPa}\)
  • Longueur initiale, \(L = 2000 \, \text{mm}\)
  • Module de Young (Acier), \(E_{\text{acier}} = 210000 \, \text{MPa}\)
  • Module de Young (Fonte), \(E_{\text{fonte}} = 100000 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Assurez-vous que les unités de \(\sigma\) et \(E\) sont les mêmes (ici, MPa). L'allongement \(\Delta L\) aura alors la même unité que la longueur initiale \(L\) (ici, mm).

Schéma (Avant les calculs)
Allongement d'un Tirant
LΔL = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Allongement du tirant en acier :

\[ \begin{aligned} \Delta L_{\text{acier}} &= \frac{\sigma \cdot L}{E_{\text{acier}}} \\ &= \frac{191 \, \text{MPa} \cdot 2000 \, \text{mm}}{210000 \, \text{MPa}} \\ &= \frac{382000}{210000} \, \text{mm} \\ &\approx 1.82 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Allongement du tirant en fonte :

\[ \begin{aligned} \Delta L_{\text{fonte}} &= \frac{\sigma \cdot L}{E_{\text{fonte}}} \\ &= \frac{191 \, \text{MPa} \cdot 2000 \, \text{mm}}{100000 \, \text{MPa}} \\ &= \frac{382000}{100000} \, \text{mm} \\ &= 3.82 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Allongements
Acier1.82 mmFonte3.82 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Sous la même charge, le tirant en fonte s'allonge plus que deux fois plus que le tirant en acier. Cela est dû à son module de Young plus faible : la fonte est un matériau moins rigide que l'acier. C'est un point important : même s'il résiste (pour l'instant), il se déforme plus.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas utiliser cette formule si le matériau a plastifié (\(\sigma > \sigma_{\text{e}}\)). Dans le domaine plastique, la relation entre contrainte et déformation n'est plus linéaire et l'allongement devient beaucoup plus important et complexe à calculer.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'allongement élastique est donné par la loi de Hooke : \(\Delta L = \sigma L / E\).
  • Un matériau plus rigide (E élevé) se déforme moins.
  • La maîtrise des déformations est un critère de dimensionnement (ELS).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les ponts à haubans modernes utilisent des câbles en acier à très haute résistance. Leur allongement sous le poids du tablier et du trafic n'est pas négligeable et doit être calculé avec une extrême précision et compensé lors de la construction pour garantir la géométrie finale du pont.

FAQ (pour lever les doutes)
L'allongement est-il toujours un problème ?

Pas forcément. Dans certains cas, une certaine flexibilité est souhaitable. Par exemple, une structure dans une zone sismique doit être capable de se déformer pour dissiper l'énergie du tremblement de terre. Un bâtiment trop rigide se comporterait comme un bloc fragile et pourrait se rompre.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'allongement du tirant en acier est de 1.82 mm. Celui du tirant en fonte est de 3.82 mm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait l'allongement (en mm) d'un tirant similaire en aluminium (E = 70 000 MPa) ?

Outil Interactif : Essai de Traction Virtuel

Choisissez un matériau et appliquez une force pour voir comment il se comporte sur son diagramme contrainte-déformation.

Paramètres d'Entrée
60 kN
Résultats Clés
Contrainte (\(\sigma\)) -
Allongement (\(\Delta L\)) -
État du matériau -

Le Saviez-Vous ?

La catastrophe ferroviaire du pont sur le Tay en Écosse en 1879 est un exemple tragique des dangers de la rupture fragile. Le pont, construit en grande partie avec des colonnes en fonte, s'est effondré en pleine tempête, emportant un train et ses 75 passagers. L'enquête a révélé des défauts dans la fonte qui ont initié des fissures, conduisant à une rupture brutale. Cet événement a accéléré le remplacement de la fonte par l'acier, plus ductile et plus fiable, dans la construction des grands ouvrages.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi utiliser des matériaux fragiles comme le béton alors ?

Le béton est excellent en compression mais très mauvais en traction (où il est fragile). C'est pourquoi on l'associe à des armatures en acier (ductile) dans le "béton armé". L'acier est placé dans les zones tendues pour reprendre les efforts de traction, tandis que le béton travaille en compression. C'est une combinaison parfaite des propriétés des deux matériaux.

La ductilité est-elle toujours une bonne chose ?

Dans 99% des cas en structure, oui. Elle apporte une sécurité en prévenant d'une rupture. Cependant, dans certaines applications de haute précision, une trop grande déformation peut être un problème. Pour des pièces de machine-outil par exemple, on peut préférer un matériau très rigide et stable dimensionnellement, même s'il est plus fragile.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Le principal avantage d'un matériau ductile par rapport à un matériau fragile en structure est...

2. Une barre de 1000 mm de long avec un Module de Young de 100 GPa subit une contrainte de 100 MPa. Son allongement est de...

Ductilité
Capacité d'un matériau à subir une déformation plastique importante avant sa rupture. Elle est souvent quantifiée par l'allongement à la rupture.
Fragilité
Tendance d'un matériau à se rompre brutalement, avec peu ou pas de déformation plastique. La rupture se produit lorsque la limite de résistance est atteinte.
Limite d'élasticité (\(\sigma_{\text{e}}\))
Contrainte au-delà de laquelle un matériau commence à se déformer de manière permanente (déformation plastique).
Résistance à la rupture (\(\sigma_{\text{r}}\))
Contrainte maximale qu'un matériau peut supporter avant de se rompre.
Résistance des Matériaux Ductiles et Fragiles

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