Résistance des Matériaux Ductiles et Fragiles
📝 Situation du Projet
Le projet "Viaduc des Cimes" est un ouvrage d'art exceptionnel situé à 2400m d'altitude, conçu pour désenclaver la vallée de la Haute-Maurienne. D'une longueur totale de 850 mètres avec une portée centrale de 320 mètres, ce pont à haubans mixte acier-béton est soumis à des conditions environnementales extrêmes : amplitudes thermiques de -30°C à +40°C, vents violents atteignant 180 km/h et séismes de zone 4.
Dans ce contexte hostile, la fiabilité des matériaux est non-négociable. Le Groupement de Construction a mandaté le LNEM (Laboratoire National d'Essais des Matériaux) pour effectuer une contre-expertise indépendante avant le lancement de la production industrielle. Le Maître d'Ouvrage s'inquiète particulièrement du risque de rupture fragile des aciers par temps froid et de la résistance effective des bétons BTHP formulés spécifiquement pour le projet.
Vous êtes l'ingénieur chargé de valider ces lots. Votre mission est critique : analyser les éprouvettes témoins prélevées sur les premiers lots livrés. Vous devez mener les essais normalisés de traction sur les aciers de haubanage (Nuance S355) et de compression sur le béton des pylônes (Classe C50/60). Votre rapport final conditionnera le déblocage de 12 millions d'euros de commande de matériaux et le démarrage du chantier.
En tant que Responsable des Essais Mécaniques, vous devez conduire et interpréter les essais destructifs. Vous devrez calculer les contraintes de service, valider les coefficients de sécurité intrinsèques et statuer formellement sur la conformité des lots par rapport aux Eurocodes 2 et 3. Vous porterez une attention particulière au mode de rupture (ductile vs fragile), paramètre clé pour la sécurité des usagers.
"Attention lors des essais de compression sur le béton haute performance. Contrairement à l'acier qui prévient par striction, le béton peut exploser brutalement à la rupture (libération instantanée d'énergie élastique). Les écrans de protection en polycarbonate sont OBLIGATOIRES."
L'étude se base sur les normes européennes en vigueur pour le dimensionnement et les essais de matériaux de construction. Les échantillons prélevés sur le chantier ont été usinés selon les standards ISO pour garantir la reproductibilité des résultats.
📚 Référentiel Normatif
NF EN 10002-1 (Essai Traction Métaux)Eurocode 2 (Béton)Eurocode 3 (Acier)| ÉPROUVETTE ACIER (Cylindrique) | |
| Diamètre initial \(d_{\text{acier}}\) | 13.8 mm |
| Longueur initiale de référence \(L_0\) | 70.0 mm |
| Force à la limite élastique \(F_e\) (Relevé Machine) | 53.8 kN |
| Force maximale \(F_m\) (Relevé Machine) | 76.2 kN |
| Allongement à la rupture \(\Delta L_u\) | 18.2 mm |
| ÉPROUVETTE BÉTON (Cylindrique 16x32) | |
| Diamètre \(d_{\text{béton}}\) | 160 mm |
| Hauteur \(h_c\) | 320 mm |
| Force de rupture en compression \(F_{\text{rupt}}\) | 1105 kN |
📐 Géométrie des Éprouvettes (Avant Essai)
Schémas techniques cotés des échantillons tels qu'ils sont installés sur le banc d'essai, avant application de la charge.
Les forces mesurées (53.8 kN et 1105 kN) sont les valeurs brutes issues des cellules de charge de la presse hydraulique. Elles ne permettent pas de comparer directement les matériaux car elles dépendent de la taille de l'échantillon. L'étape de calcul est nécessaire pour obtenir les contraintes.
E. Protocole de Résolution
Afin de qualifier les matériaux et de valider leur utilisation pour le viaduc, nous suivrons une démarche analytique rigoureuse, passant des données brutes de l'essai aux paramètres intrinsèques des matériaux.
Analyse Géométrique & Contraintes
Calcul des sections initiales \(S_0\) et conversion des forces mesurées \(F\) (kN) en contraintes mécaniques \(\sigma\) (MPa).
Caractérisation de l'Acier (Comportement Ductile)
Identification de la limite d'élasticité \(R_e\), de la résistance à la rupture \(R_m\) et quantification de la ductilité via l'allongement \(A\%\).
Caractérisation du Béton (Comportement Fragile)
Calcul de la résistance caractéristique en compression \(f_{ck}\) et analyse du mode de rupture.
Synthèse & Validation Sécuritaire
Comparaison des résultats avec les exigences du projet et validation "Bon pour Exécution".
Résistance des Matériaux Ductiles et Fragiles
🎯 Objectif Détaillé
Dans tout processus d'expertise structurelle, la première étape consiste à transformer les données brutes issues des capteurs de force (exprimées en Newtons ou kiloNewtons) en données intrinsèques au matériau, indépendantes de la géométrie de l'échantillon. Cette grandeur intensive est la Contrainte Normale (\(\sigma\)).
L'objectif de cette étape est de calculer avec précision les sections droites \(S_0\) des éprouvettes (acier et béton) afin de pouvoir ultérieurement diviser les forces mesurées par ces surfaces. C'est une étape de normalisation critique : une erreur ici se propagera linéairement sur tous les résultats de résistance.
📚 Référentiel Scientifique
Cette démarche repose sur les fondements de la mécanique des milieux continus :
- Hypothèse de Navier-Bernoulli : Les sections planes restent planes après déformation.
- Définition de la Contrainte Moyenne : \[ \sigma = \frac{N}{S} \]
Avant de calculer, analysons la géométrie. Nous avons des éprouvettes cylindriques. La section résistante est donc un disque. La formule de l'aire fait intervenir le carré du diamètre (\(d^2\)). Cela signifie que la précision de la mesure du diamètre est deux fois plus importante que celle de la force ! Une erreur de 1% sur le diamètre entraîne une erreur de 2% sur la contrainte. C'est pourquoi nous utilisons des mesures au pied à coulisse au 1/100ème de mm. De plus, pour obtenir des résultats lisibles en MégaPascals (MPa), qui est l'unité standard du BTP, il est astucieux de travailler exclusivement en Newtons (N) pour les forces et en millimètres (mm) pour les longueurs. L'astuce vitale à retenir est la suivante :
Nous calculons ici la section initiale \(S_0\). C'est la convention utilisée par les Eurocodes pour définir la "contrainte nominale". En réalité, lors de l'essai de traction, le diamètre de l'acier diminue (phénomène de striction), donc la section réelle diminue et la contrainte vraie augmente. Cependant, pour le dimensionnement courant, on néglige cet effet et on se base sur la géométrie d'origine.
Étape 1 : Données d'Entrée Recueillies
| Paramètre | Symbole | Valeur brute | Unité |
|---|---|---|---|
| Diamètre éprouvette Acier | \(d_{\text{acier}}\) | 13.8 | mm |
| Diamètre éprouvette Béton | \(d_{\text{béton}}\) | 160 | mm |
Ne convertissez pas vos diamètres en mètres (\(0.0138 \text{ m}\)) ! Vous obtiendriez des surfaces minuscules (\(0.00015 \text{ m}^2\)) difficiles à manipuler. Restez en millimètres.
📝 Calculs Détaillés
1.1. Carré du diamètre (Acier)
Nous commençons par élever le diamètre au carré, car la surface varie exponentiellement avec le diamètre.
1.2. Application de la constante Pi
Nous multiplions cette valeur par la constante géométrique \(\pi\) et divisons par 4 pour obtenir l'aire.
1.3. Résultat Final (Section Acier)
La section résistante est d'environ \(150 \text{ mm}^2\).
2.1. Carré du diamètre (Béton)
Même procédure pour le cylindre de béton.
2.2. Application de la formule
2.3. Résultat Final (Section Béton)
La section du béton est massive (plus de \(200 \text{ cm}^2\)).
Nous avons établi les constantes géométriques de nos essais. Ces valeurs \(S_0\) sont les dénominateurs qui permettront de transformer toutes les forces mesurées en contraintes comparables. La différence d'échelle (facteur ~134) entre les deux surfaces illustre bien la différence de résistance intrinsèque entre l'acier et le béton.
Vérification mentale :
🎯 Objectif Détaillé
L'objectif de cette étape est de déterminer les caractéristiques mécaniques de l'acier S355 à partir des relevés de l'essai de traction. Nous cherchons à identifier trois paramètres clés :
- La Limite Élastique (\(R_e\)) : La contrainte à partir de laquelle le matériau commence à se déformer de manière irréversible.
- La Résistance à la Rupture (\(R_m\)) : La contrainte maximale supportée avant la cassure.
- L'Allongement à la rupture (\(A\%\)) : L'indicateur chiffré de la ductilité.
📚 Référentiel Scientifique
Nous nous basons sur la norme NF EN 10025 (Aciers de construction) qui définit les seuils minimaux pour la nuance S355.
- Loi de Hooke : \[ \sigma = E \cdot \epsilon \]
Pourquoi ces deux contraintes ? Pour un ingénieur, \(R_e\) est la frontière de sécurité. Si la structure dépasse \(R_e\), elle est "ruinée" car déformée définitivement. \(R_m\) est la frontière ultime avant l'effondrement. La distance entre \(R_e\) et \(R_m\) représente la marge de sécurité "plastique" qui permet à l'ouvrage de survivre à un événement exceptionnel (séisme) sans tomber, même s'il est endommagé. L'allongement \(A\%\) quantifie cette capacité de survie.
La ductilité est la capacité d'un matériau à subir de grandes déformations plastiques sans rompre. Un matériau ductile "prévient" avant de casser (apparition d'un col de striction, allongement visible). Un matériau fragile casse sans déformation préalable.
La contrainte normale est le rapport de l'effort interne sur la surface.
Dérivation de la Formule :
On part de la définition de la pression. En Résistance des Matériaux, cette "pression" interne s'appelle la contrainte et se note \(\sigma\). Nous isolons cette variable pour obtenir notre formule de calcul.
Applicable pour \(R_e\) (avec \(F_e\)) et \(R_m\) (avec \(F_m\)).
Construction de la Formule :
L'allongement est une comparaison. On mesure d'abord l'écart absolu \(\Delta L\) (combien de mm gagnés ?), puis on divise par la longueur de départ \(L_0\) pour avoir une proportion. Enfin, on multiplie par 100 pour l'exprimer en pourcentage.
Rapport entre l'allongement total et la longueur initiale.
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur | Conversion SI (Manipulation) |
|---|---|---|
| Force Limite Élastique \(F_e\) | 53.8 kN | 53 800 N (x 1000) |
| Force Maximale \(F_m\) | 76.2 kN | 76 200 N (x 1000) |
| Allongement \(\Delta L_u\) | 18.2 mm | 18.2 mm (Inchangé) |
| Longueur Initiale \(L_0\) | 70.0 mm | 70.0 mm (Inchangé) |
| Section \(S_{0,\text{acier}}\) | 149.57 mm² | 149.57 mm² (Calcul Q1) |
📝 Calculs Détaillés
1.1. Conversion de la Force \(F_e\)
On convertit les kiloNewtons en Newtons pour être homogène avec les millimètres.
1.2. Division par la Section
1.3. Résultat (Limite Élastique)
2.1. Conversion de la Force Maximale \(F_m\)
Même conversion pour la force ultime.
2.2. Division par la Section
2.3. Résultat (Résistance Rupture)
3.1. Ratio d'allongement
On divise l'allongement absolu par la longueur de référence.
3.2. Conversion en pourcentage
L'acier testé possède une limite élastique de 360 MPa, ce qui est supérieur au minimum requis de 355 MPa pour la nuance S355. De plus, son allongement de 26% (bien supérieur au seuil de 20%) garantit qu'en cas de surcharge, les haubans s'étireront visiblement avant de rompre, assurant la sécurité passive de l'ouvrage.
Les valeurs obtenues (360 MPa et 510 MPa) sont typiques d'un acier de construction standard. Si nous avions trouvé 800 MPa, il se serait agi d'un acier à haute limite élastique (non prévu ici). Si nous avions trouvé 200 MPa, l'acier aurait été non conforme.
🎯 Objectif Détaillé
Nous analysons maintenant le béton des pylônes. L'objectif est de vérifier sa classe de résistance. Contrairement à l'acier, le béton ne possède pas de domaine plastique étendu. Il a un comportement fragile. Nous devons calculer sa résistance à la compression moyenne \(f_{\text{cm}}\) à partir de la charge de rupture.
📚 Référentiel Scientifique
Référence : Eurocode 2. Le béton est classé selon sa résistance caractéristique à 28 jours (ex: C50/60 signifie 50 MPa sur cylindre, 60 MPa sur cube).
Le béton est une pierre artificielle. Il résiste très bien en compression mais casse brutalement par éclatement ou cisaillement. Il n'y a pas de "striction" comme pour l'acier. La courbe contrainte-déformation monte jusqu'au pic et s'arrête net. C'est pourquoi les coefficients de sécurité sont plus élevés pour le béton (1.5) que pour l'acier (1.15).
Adaptation de la Formule :
Le principe reste le même que pour la traction. Ici, la force est une force de compression (vecteur rentrant), mais pour calculer une "résistance" (valeur positive scalaire), on utilise simplement la valeur absolue de la force de rupture.
Charge de rupture divisée par la section du cylindre.
Étape 1 : Données
| Paramètre | Valeur | Unité SI |
|---|---|---|
| Force de Rupture \(F_{\text{rupt}}\) | 1105 kN | 1 105 000 N (x 1000) |
| Section \(S_{0,\text{béton}}\) | 20106.19 mm² | 20106.19 mm² |
📝 Calculs Détaillés
1.1. Conversion de la Force de Rupture
1.2. Division par la Section
1.3. Résultat Final
La résistance moyenne mesurée est de 55 MPa. Cela est compatible avec une classe C50/60 (où la valeur caractéristique requise est de 50 MPa). La marge de 5 MPa couvre les écarts types de fabrication. Le béton est donc conforme.
Attention à la fragilité : ce matériau ne prévient pas avant de casser. Toute fissure visible sur un pylône en service doit être traitée avec la plus grande gravité.
🎯 Objectif Détaillé
Cette dernière étape vise à comparer visuellement et énergétiquement les deux matériaux pour justifier leur rôle respectif dans la structure du viaduc.
L'acier est utilisé pour les haubans car il est capable de se déformer et d'absorber l'énergie du vent et du trafic (grande aire sous la courbe). Le béton est utilisé pour les pylônes car il est rigide, économique et résistant à la compression pure, bien que fragile (faible aire sous la courbe).
📄 Livrable Final (Rapport d'Essai)
| Ind. | Date | Objet | Visa |
|---|---|---|---|
| 0 | 24/10/2024 | Émission originale après essais | ING. STRUCT. |
| Limite Élastique Mesurée (\(R_e\)) | 360 MPa |
| Résistance Ultime (\(R_m\)) | 510 MPa |
| Allongement rupture (\(A\%\)) | 26.0 % |
| CONCLUSION | COMPORTEMENT DUCTILE VALIDÉ |
| Résistance Compression Moyenne (\(f_{\text{cm}}\)) | 55 MPa |
| Classe de Résistance estimée | C50/60 |
| Mode de Rupture | FRAGILE (Explosif) |
Jean Dupont
Dr. A. Martin
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