Études de cas pratique

EGC

Étude des Forces dans les Barres d’une Structure

Étude des Forces dans les Barres d’une Structure (Treillis)

Étude des Forces dans les Barres d’une Structure (Treillis)

Comprendre l'Analyse des Treillis

Les treillis (ou structures réticulées) sont des assemblages de barres droites reliées à leurs extrémités par des articulations (nœuds). Ces structures sont conçues pour supporter des charges principalement par des efforts axiaux (traction ou compression) dans leurs barres. L'analyse des treillis consiste à déterminer la force interne dans chaque barre ainsi que les réactions aux appuis. Les méthodes courantes pour cela sont la méthode des nœuds et la méthode des sections (ou méthode de Ritter).

Données de l'étude

On considère un treillis simple ABC, isostatique, reposant sur un appui articulé en A et un appui simple (à rouleau) en B. Une charge verticale \(P = 20 \, \text{kN}\) est appliquée au nœud C.

Dimensions :

  • Portée AB : \(L = 4 \, \text{m}\)
  • Hauteur du treillis au nœud C (par rapport à la ligne AB) : \(H = 1.5 \, \text{m}\)
  • Le nœud C est situé à mi-distance horizontalement entre A et B.

Objectif : Déterminer les efforts dans toutes les barres du treillis (AB, AC, BC) et préciser s'il s'agit de traction ou de compression.

Schéma du Treillis ABC
A B C P=20kN RAy RAx RBy L = 4 m H=1.5m

Treillis simple ABC avec charge P au nœud C.

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appui en A (\(R_{Ax}\), \(R_{Ay}\)) et en B (\(R_{By}\)).
  2. En utilisant la méthode des nœuds, déterminer les efforts normaux dans les barres AC, BC et AB.
  3. Préciser pour chaque barre si elle est en traction (T) ou en compression (C).

Correction : Étude des Forces dans les Barres du Treillis

Question 1 : Réactions d'Appui

Principe :

On applique les équations de l'équilibre statique à l'ensemble du treillis pour déterminer les réactions aux appuis. On considère les composantes horizontales (\(R_{Ax}\)) et verticales (\(R_{Ay}\)) pour l'appui articulé A, et une composante verticale (\(R_{By}\)) pour l'appui à rouleau B.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sum F_x = 0\] \[\sum F_y = 0\] \[\sum M_A = 0 \quad \text{(somme des moments par rapport au point A)}\]
Données spécifiques :
  • Charge \(P = 20 \, \text{kN}\) appliquée verticalement vers le bas en C.
  • Distance AB = \(L = 4 \, \text{m}\).
  • La charge P est appliquée à \(L/2 = 2 \, \text{m}\) de A horizontalement.
Calcul :

Équilibre des forces horizontales :

\[ \begin{aligned} \sum F_x = 0 &\Rightarrow R_{Ax} = 0 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Équilibre des moments par rapport à A (sens anti-horaire positif) :

\[ \begin{aligned} \sum M_A = 0 &\Rightarrow -P \cdot (L/2) + R_{By} \cdot L = 0 \\ &\Rightarrow -20 \, \text{kN} \cdot 2 \, \text{m} + R_{By} \cdot 4 \, \text{m} = 0 \\ &\Rightarrow -40 \, \text{kNm} + 4 R_{By} = 0 \\ &\Rightarrow 4 R_{By} = 40 \\ &\Rightarrow R_{By} = \frac{40}{4} = 10 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Équilibre des forces verticales :

\[ \begin{aligned} \sum F_y = 0 &\Rightarrow R_{Ay} + R_{By} - P = 0 \\ &\Rightarrow R_{Ay} + 10 \, \text{kN} - 20 \, \text{kN} = 0 \\ &\Rightarrow R_{Ay} - 10 \, \text{kN} = 0 \\ &\Rightarrow R_{Ay} = 10 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les réactions d'appui sont :
  • \(R_{Ax} = 0 \, \text{kN}\)
  • \(R_{Ay} = 10 \, \text{kN}\) (vers le haut)
  • \(R_{By} = 10 \, \text{kN}\) (vers le haut)

Question 2 : Efforts dans les Barres (Méthode des Nœuds)

Principe :

La méthode des nœuds consiste à isoler chaque nœud du treillis et à appliquer les équations d'équilibre (\(\sum F_x = 0\) et \(\sum F_y = 0\)) à ce nœud. On suppose initialement que toutes les barres sont en traction (effort sortant du nœud). Un résultat négatif indiquera une compression.

Calcul de l'angle \(\alpha\) que font les barres AC et BC avec l'horizontale : La demi-portée est \(L/2 = 2 \, \text{m}\), la hauteur est \(H = 1.5 \, \text{m}\). \(\tan(\alpha) = H / (L/2) = 1.5 / 2 = 0.75\). \(\alpha = \arctan(0.75) \approx 36.87^\circ\). \(\cos(\alpha) \approx \cos(36.87^\circ) \approx 0.8\). \(\sin(\alpha) \approx \sin(36.87^\circ) \approx 0.6\).

Calcul au Nœud A :

Forces agissant sur le nœud A : \(R_{Ax}\), \(R_{Ay}\), \(N_{AB}\) (horizontal), \(N_{AC}\) (incliné).

\[ \begin{aligned} \sum F_x = 0 &\Rightarrow R_{Ax} + N_{AB} + N_{AC} \cos(\alpha) = 0 \\ &\Rightarrow 0 + N_{AB} + N_{AC} \cdot 0.8 = 0 \quad (*)\end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \sum F_y = 0 &\Rightarrow R_{Ay} + N_{AC} \sin(\alpha) = 0 \\ &\Rightarrow 10 + N_{AC} \cdot 0.6 = 0 \\ &\Rightarrow 0.6 N_{AC} = -10 \\ &\Rightarrow N_{AC} = -\frac{10}{0.6} \approx -16.67 \, \text{kN} \end{aligned} \]

En substituant \(N_{AC}\) dans l'équation (*) :

\[ \begin{aligned} N_{AB} + (-16.67) \cdot 0.8 &= 0 \\ N_{AB} - 13.336 &= 0 \\ N_{AB} &\approx 13.34 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Calcul au Nœud B (pour vérification et \(N_{BC}\)) :

Forces agissant sur le nœud B : \(R_{By}\), \(-N_{AB}\) (car \(N_{AB}\) est l'effort de A vers B, donc de B vers A c'est \(-N_{AB}\)), \(N_{BC}\) (incliné).

\[ \begin{aligned} \sum F_y = 0 &\Rightarrow R_{By} + N_{BC} \sin(\alpha) = 0 \\ &\Rightarrow 10 + N_{BC} \cdot 0.6 = 0 \\ &\Rightarrow 0.6 N_{BC} = -10 \\ &\Rightarrow N_{BC} = -\frac{10}{0.6} \approx -16.67 \, \text{kN} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \sum F_x = 0 &\Rightarrow -N_{AB} - N_{BC} \cos(\alpha) = 0 \\ &\Rightarrow -13.34 - (-16.67) \cdot 0.8 = 0 \\ &\Rightarrow -13.34 + 13.336 \approx 0 \quad (\text{OK, cohérent avec les arrondis}) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Les efforts normaux dans les barres sont :
  • \(N_{AC} \approx -16.67 \, \text{kN}\)
  • \(N_{BC} \approx -16.67 \, \text{kN}\)
  • \(N_{AB} \approx 13.34 \, \text{kN}\)

Question 3 : Nature des Efforts (Traction ou Compression)

Principe :

Un effort normal positif (\(N > 0\)) indique que la barre est en traction (elle est "tirée"). Un effort normal négatif (\(N < 0\)) indique que la barre est en compression (elle est "poussée").

Analyse des résultats :
  • Barre AC : \(N_{AC} \approx -16.67 \, \text{kN}\). L'effort est négatif, donc la barre AC est en compression.
  • Barre BC : \(N_{BC} \approx -16.67 \, \text{kN}\). L'effort est négatif, donc la barre BC est en compression.
  • Barre AB : \(N_{AB} \approx 13.34 \, \text{kN}\). L'effort est positif, donc la barre AB est en traction.
Résultat Question 3 :
  • Barre AC : Compression (C) de \(16.67 \, \text{kN}\)
  • Barre BC : Compression (C) de \(16.67 \, \text{kN}\)
  • Barre AB : Traction (T) de \(13.34 \, \text{kN}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Dans la méthode des nœuds, si l'on suppose une barre en traction et que le calcul donne une valeur positive pour l'effort, cela signifie que :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

4. La méthode des nœuds est basée sur :

5. Si une barre de treillis est en compression, les forces qu'elle exerce sur les nœuds à ses extrémités sont :

6. Un treillis isostatique est un treillis où :

Glossaire

Treillis (ou Structure Réticulée)
Assemblage de barres droites connectées à leurs extrémités par des nœuds (articulations supposées parfaites), formant une structure rigide.
Nœud
Point de connexion entre deux ou plusieurs barres d'un treillis. Les charges externes sont généralement appliquées aux nœuds.
Barre
Élément structural d'un treillis, supposé ne travailler qu'en traction ou en compression axiale.
Méthode des Nœuds
Technique d'analyse des treillis où l'équilibre de chaque nœud est considéré individuellement pour déterminer les efforts dans les barres.
Méthode des Sections (ou de Ritter)
Technique d'analyse des treillis où une coupe est faite à travers le treillis pour isoler une partie, et l'équilibre de cette section est utilisé pour trouver les efforts dans les barres coupées.
Traction
État d'une barre soumise à des forces qui tendent à l'allonger. L'effort normal est positif.
Compression
État d'une barre soumise à des forces qui tendent à la raccourcir. L'effort normal est négatif.
Treillis Isostatique
Treillis pour lequel le nombre d'inconnues (efforts dans les barres et réactions d'appui) est égal au nombre d'équations d'équilibre statique disponibles. Les efforts sont déterminables par la statique seule.
Étude des Forces dans les Barres d’une Structure - Exercice d'Application

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