Calcul de la Flèche en Mi-Travée d’une Poutre
Comprendre le Calcul de la Flèche en Mi-Travée d’une Poutre
Une poutre en acier, simplement appuyée aux deux extrémités, est soumise à une charge uniformément répartie.
L’objectif est de calculer la flèche maximale à mi-travée de cette poutre pour comprendre les déformations qui interviennent sous l’effet de la charge.
Pour comprendre le Calcul de flèche d’une poutre et le Déplacement de l’Extrémité Libre, cliquez sur les liens.
Données de l’Exercice:
- Longueur de la poutre \( L \): 6 m
- Charge uniformément répartie \( q \): 500 N/m
- Module d’élasticité de l’acier \( E \): 210 GPa
- Moment d’inertie de la section transversale \( I \): 8000 cm\(^4\) (convertir en m\(^4\) pour les calculs).
Questions:
1. Convertir le moment d’inertie de cm\(^4\) à m\(^4\) en utilisant le facteur de conversion approprié.
2. Calculer la flèche maximale à mi-travée.
3. Analyser l’impact de la modification des paramètres de la poutre sur la valeur de la flèche.
Questions de Réflexion:
1. Comment la valeur de la flèche à mi-travée changerait-elle si le module d’élasticité était doublé?
2. Quelle serait la différence dans la flèche à mi-travée si la charge était concentrée au centre plutôt que répartie uniformément?
Correction : Calcul de la Flèche en Mi-Travée d’une Poutre
1. Conversion des Unités
- Moment d’inertie donné: \(I = 8000 \, \text{cm}^4\)
Convertir le moment d’inertie en mètres carrés, sachant que \(1 \, \text{cm} = 10^{-2} \, \text{m}\) donc:
\[ I_m = 8000 \, \text{cm}^4 \times (10^{-2} \, \text{m/cm})^4 \] \[ I_m = 8000 \times 10^{-8} \, \text{m}^4 \] \[ I_m = 0.00008 \, \text{m}^4 \]
2. Calcul de la Flèche
Formule de la flèche maximale à mi-travée:
\[ y_{max} = \frac{5qL^4}{384EI} \]
Substituons toutes les valeurs dans cette formule:
- \(q = 500 \, \text{N/m}\)
- \(L = 6 \, \text{m}\)
- \(E = 210 \times 10^9 \, \text{Pa} \quad (\text{Conversion de GPa en Pa})\)
- \(I = 0.00008 \, \text{m}^4\)
\[ y_{max} = \frac{5 \times 500 \times (6)^4}{384 \times 210 \times 10^9 \times 0.00008} \]
– Calculons \((6)^4\):
\[ (6)^4 = 1296 \]
Substituons cela dans la formule:
\[ y_{max} = \frac{5 \times 500 \times 1296}{384 \times 210 \times 10^9 \times 0.00008} \] \[ y_{max} = \frac{3240000}{6.38784 \times 10^9} \] \[ y_{max} = 0.502 \, \text{mm} \]
3. Analyse des Résultats
La flèche à mi-travée calculée est de \(0.502 \, \text{mm}\). Ce résultat montre que sous une charge uniformément répartie de \(500 \, \text{N/m}\), une poutre en acier de \(6 \, \text{m}\) de longueur et avec les propriétés spécifiées fléchit légèrement sous la charge.
L’importance de la rigidité du matériau (exprimée par le module d’élasticité) et le moment d’inertie de la section sont cruciaux pour minimiser la déformation.
Réponses aux Questions de Réflexion
1. Si le module d’élasticité était doublé:
- \(E’ = 2 \times 210 \times 10^9 \, \text{Pa}\)
La nouvelle flèche \(y’_{max}\) serait:
\[ y’_{max} = \frac{3240000}{2 \times 6.38784 \times 10^9} \] \[ y’_{max} = 0.251 \, \text{mm} \]
La flèche serait réduite de moitié, montrant que le matériau plus rigide déforme moins sous la même charge.
2. Avec une charge ponctuelle au centre:
La formule pour une charge ponctuelle \(P\) au centre est
\[ y_{max} = \frac{PL^3}{48EI} \]
avec \(P = qL = 3000 \, \text{N}\)
- Calcul de la nouvelle flèche:
\[ y_{max} = \frac{3000 \times 6^3}{48 \times 210 \times 10^9 \times 0.00008} \] \[ y_{max} = 0.804 \, \text{mm} \]
La flèche est plus importante avec une charge ponctuelle comparée à une charge distribuée, ce qui illustre l’impact de la concentration des forces sur la déformation.
Calcul de la Flèche en Mi-Travée d’une Poutre
D’autres exercices de Rdm:
0 commentaires