Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Flèche en Mi-Travée d’une Poutre

Calcul de la Flèche en Mi-Travée d’une Poutre

Calcul de la Flèche en Mi-Travée d’une Poutre

Comprendre la Flèche des Poutres

Lorsqu'une poutre est soumise à des charges, elle se déforme. Cette déformation verticale, mesurée par rapport à la position initiale de la poutre, est appelée "flèche" (souvent notée \(y(x)\) ou \(v(x)\)). Le calcul de la flèche est essentiel en ingénierie structurale pour s'assurer que la poutre respecte les critères de service (limitation des déformations pour le confort, l'apparence, ou pour éviter d'endommager des éléments non structuraux). La méthode de la double intégration de l'équation du moment fléchissant est une approche courante pour déterminer l'équation de la déformée et donc la flèche en tout point.

Données de l'étude

On considère une poutre en acier simplement appuyée, de longueur \(L = 4 \, \text{m}\), soumise à une charge uniformément répartie \(w = 10 \, \text{kN/m}\) sur toute sa longueur. La poutre a une section rectangulaire de base \(b = 100 \, \text{mm}\) et de hauteur \(h = 200 \, \text{mm}\).

Caractéristiques de la poutre en acier :

  • Longueur (\(L\)) : \(4 \, \text{m}\)
  • Charge répartie (\(w\)) : \(10 \, \text{kN/m}\)
  • Module d'Young (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2\)
  • Base de la section (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la section (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)
Schéma : Poutre Simplement Appuyée avec Charge Répartie
A B R_A R_B w = 10 kN/m L = 4 m

Poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie.

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appui en A (\(R_A\)) et en B (\(R_B\)).
  2. Déterminer le moment d'inertie (\(I\)) de la section transversale de la poutre.
  3. Établir l'équation du moment fléchissant \(M(x)\) le long de la poutre.
  4. Établir l'équation différentielle de la déformée \(EI \frac{d^2y}{dx^2} = M(x)\).
  5. Intégrer deux fois pour obtenir l'équation de la rotation \(\theta(x) = \frac{dy}{dx}\) et l'équation de la déformée \(y(x)\).
  6. Déterminer les constantes d'intégration en utilisant les conditions aux limites appropriées.
  7. Calculer la flèche maximale (\(y_{max}\)) qui, pour ce cas de charge, se situe en mi-travée (à \(x = L/2\)).

Correction : Calcul de la Flèche en Mi-Travée

Question 1 : Calcul des Réactions d'Appui (\(R_A\) et \(R_B\))

Principe :

Pour une poutre symétrique avec un chargement symétrique, les réactions aux appuis sont égales et valent chacune la moitié de la charge totale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R_A = R_B = \frac{W_{total}}{2} \quad \text{où } W_{total} = w \cdot L \]
Données spécifiques :
  • Charge répartie (\(w\)) : \(10 \, \text{kN/m}\)
  • Longueur (\(L\)) : \(4 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{total} &= 10 \, \text{kN/m} \cdot 4 \, \text{m} \\ &= 40 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} R_A = R_B &= \frac{40 \, \text{kN}}{2} \\ &= 20 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les réactions d'appui sont \(R_A = 20 \, \text{kN}\) et \(R_B = 20 \, \text{kN}\).

Question 2 : Moment d'Inertie (\(I\))

Principe :

Le moment d'inertie (ou moment quadratique) d'une section rectangulaire par rapport à son axe neutre horizontal (passant par son centre de gravité) est donné par la formule \(I = \frac{b \cdot h^3}{12}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ I = \frac{b \cdot h^3}{12} \]
Données spécifiques (converties en mm pour la cohérence) :
  • Base (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I &= \frac{100 \, \text{mm} \cdot (200 \, \text{mm})^3}{12} \\ &= \frac{100 \cdot 8000000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= \frac{800000000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &\approx 66666666.67 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

On peut aussi écrire \(I = 6.667 \times 10^7 \, \text{mm}^4\). Pour les calculs ultérieurs, il est souvent pratique de convertir en m\(^4\) :

\[ I = 6.667 \times 10^7 \, \text{mm}^4 \cdot \left(\frac{1 \, \text{m}}{1000 \, \text{mm}}\right)^4 = 6.667 \times 10^7 \times 10^{-12} \, \text{m}^4 = 6.667 \times 10^{-5} \, \text{m}^4 \]
Résultat Question 2 : Le moment d'inertie est \(I \approx 6.667 \times 10^7 \, \text{mm}^4\) (ou \(6.667 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\)).

Question 3 : Équation du Moment Fléchissant \(M(x)\)

Principe :

Le moment fléchissant \(M(x)\) en une section \(x\) d'une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie \(w\) est donné par \(M(x) = R_A \cdot x - \frac{w \cdot x^2}{2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ M(x) = \frac{wL}{2}x - \frac{wx^2}{2} \]
Données spécifiques (unités kN, m) :
  • \(w = 10 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 4 \, \text{m}\)
  • \(R_A = 20 \, \text{kN}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M(x) &= 20x - \frac{10x^2}{2} \\ &= 20x - 5x^2 \quad (\text{en kN.m}) \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'équation du moment fléchissant est \(M(x) = 20x - 5x^2 \, \text{kN.m}\).

Question 4 : Équation Différentielle de la Déformée

Principe :

La relation fondamentale entre le moment fléchissant et la courbure de la poutre est donnée par l'équation différentielle de la déformée (ou ligne élastique).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ EI \frac{d^2y}{dx^2} = M(x) \]

où \(E\) est le module d'Young, \(I\) le moment d'inertie, et \(y(x)\) la flèche à la position \(x\).

Établissement :
\[ EI \frac{d^2y}{dx^2} = 20x - 5x^2 \]

Il est important d'utiliser des unités cohérentes. Si \(M(x)\) est en kN.m, \(E\) en GPa (kN/mm\(^2\) ou kN/m\(^2\)), et \(I\) en m\(^4\) ou mm\(^4\). Convertissons \(M(x)\) en N.m pour être cohérent avec \(E\) en Pa (N/m\(^2\)) et \(I\) en m\(^4\). \(M(x) = (20x - 5x^2) \times 10^3 \, \text{N.m}\). \(E = 210 \times 10^9 \, \text{N/m}^2\). \(I = 6.667 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\).

\[ EI \frac{d^2y}{dx^2} = (20000x - 5000x^2) \, \text{N.m} \]
Résultat Question 4 : L'équation différentielle de la déformée est \(EI y'' = 20000x - 5000x^2\) (avec \(EI\) en N.m\(^2\)).

Question 5 : Intégration pour Rotation et Déformée

Principe :

On intègre une première fois l'équation \(EI y'' = M(x)\) pour obtenir l'équation de la rotation (pente) \(EI y' = EI \theta(x)\), et une seconde fois pour obtenir l'équation de la déformée (flèche) \(EI y(x)\).

Calcul :

Première intégration (rotation) :

\[ \begin{aligned} EI \frac{dy}{dx} &= \int (20000x - 5000x^2) dx \\ &= 20000 \frac{x^2}{2} - 5000 \frac{x^3}{3} + C_1 \\ &= 10000x^2 - \frac{5000}{3}x^3 + C_1 \end{aligned} \]

Seconde intégration (déformée) :

\[ \begin{aligned} EI y(x) &= \int \left(10000x^2 - \frac{5000}{3}x^3 + C_1\right) dx \\ &= 10000 \frac{x^3}{3} - \frac{5000}{3} \frac{x^4}{4} + C_1 x + C_2 \\ &= \frac{10000}{3}x^3 - \frac{5000}{12}x^4 + C_1 x + C_2 \\ &= \frac{10000}{3}x^3 - \frac{1250}{3}x^4 + C_1 x + C_2 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Les équations sont :
  • Rotation : \(EI \theta(x) = 10000x^2 - \frac{5000}{3}x^3 + C_1\)
  • Déformée : \(EI y(x) = \frac{10000}{3}x^3 - \frac{1250}{3}x^4 + C_1 x + C_2\)

Question 6 : Constantes d'Intégration (\(C_1, C_2\))

Principe :

Les constantes d'intégration \(C_1\) et \(C_2\) sont déterminées à l'aide des conditions aux limites de la poutre. Pour une poutre simplement appuyée :

  • En \(x=0\) (appui A), la flèche est nulle : \(y(0) = 0\).
  • En \(x=L\) (appui B), la flèche est nulle : \(y(L) = 0\).
  • Par symétrie, la rotation est nulle en mi-travée : \(\theta(L/2) = 0\). On peut utiliser cette condition pour \(C_1\) ou l'une des conditions sur la flèche.
Calcul :

Condition 1 : \(y(0) = 0\)

\[ \begin{aligned} EI y(0) &= \frac{10000}{3}(0)^3 - \frac{1250}{3}(0)^4 + C_1 (0) + C_2 = 0 \\ &\Rightarrow C_2 = 0 \end{aligned} \]

L'équation de la déformée devient : \(EI y(x) = \frac{10000}{3}x^3 - \frac{1250}{3}x^4 + C_1 x\).

Condition 2 : \(\theta(L/2) = 0\). Ici \(L=4 \, \text{m}\), donc \(L/2 = 2 \, \text{m}\).

\[ \begin{aligned} EI \theta(2) &= 10000(2)^2 - \frac{5000}{3}(2)^3 + C_1 = 0 \\ &= 10000(4) - \frac{5000}{3}(8) + C_1 = 0 \\ &= 40000 - \frac{40000}{3} + C_1 = 0 \\ &= \frac{120000 - 40000}{3} + C_1 = 0 \\ &= \frac{80000}{3} + C_1 = 0 \\ &\Rightarrow C_1 = -\frac{80000}{3} \end{aligned} \]

Alternative avec \(y(L)=0\):

\[ \begin{aligned} EI y(4) &= \frac{10000}{3}(4)^3 - \frac{1250}{3}(4)^4 + C_1 (4) = 0 \\ &= \frac{10000}{3}(64) - \frac{1250}{3}(256) + 4C_1 = 0 \\ &= \frac{640000}{3} - \frac{320000}{3} + 4C_1 = 0 \\ &= \frac{320000}{3} + 4C_1 = 0 \\ 4C_1 &= -\frac{320000}{3} \\ C_1 &= -\frac{320000}{12} = -\frac{80000}{3} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Les constantes d'intégration sont \(C_1 = -\frac{80000}{3}\) et \(C_2 = 0\).
L'équation finale de la déformée est : \(EI y(x) = \frac{10000}{3}x^3 - \frac{1250}{3}x^4 - \frac{80000}{3}x\)

Question 7 : Flèche Maximale (\(y_{max}\) à \(x=L/2\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie, la flèche maximale se produit au milieu de la travée, c'est-à-dire à \(x = L/2\). On substitue cette valeur dans l'équation de la déformée.

Données spécifiques :
  • \(L = 4 \, \text{m}\), donc \(x = L/2 = 2 \, \text{m}\)
  • \(E = 210 \times 10^9 \, \text{N/m}^2\)
  • \(I = 6.667 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\)
  • \(EI = (210 \times 10^9) \cdot (6.667 \times 10^{-5}) \approx 14.00 \times 10^6 \, \text{N.m}^2\)
  • Équation de la déformée : \(y(x) = \frac{1}{EI} \left( \frac{10000}{3}x^3 - \frac{1250}{3}x^4 - \frac{80000}{3}x \right)\)
Calcul :

Calcul de \(EI y(L/2) = EI y(2)\) :

\[ \begin{aligned} EI y(2) &= \frac{10000}{3}(2)^3 - \frac{1250}{3}(2)^4 - \frac{80000}{3}(2) \\ &= \frac{10000}{3}(8) - \frac{1250}{3}(16) - \frac{160000}{3} \\ &= \frac{80000}{3} - \frac{20000}{3} - \frac{160000}{3} \\ &= \frac{80000 - 20000 - 160000}{3} \\ &= \frac{60000 - 160000}{3} \\ &= -\frac{100000}{3} \approx -33333.33 \, \text{N.m}^3 \end{aligned} \]

Maintenant, calcul de \(y(2)\) :

\[ \begin{aligned} y(2) &= \frac{-33333.33 \, \text{N.m}^3}{14.00 \times 10^6 \, \text{N.m}^2} \\ &\approx -0.00238 \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion en millimètres : \(y(2) \approx -0.00238 \, \text{m} \times 1000 \, \text{mm/m} \approx -2.38 \, \text{mm}\).

Le signe négatif indique que la flèche est vers le bas, ce qui est attendu.

Formule classique pour la flèche max d'une poutre sur appuis simples avec charge répartie : \(y_{max} = -\frac{5wL^4}{384EI}\)

\[ \begin{aligned} y_{max} &= -\frac{5 \cdot (10 \times 10^3 \, \text{N/m}) \cdot (4 \, \text{m})^4}{384 \cdot (14.00 \times 10^6 \, \text{N.m}^2)} \\ &= -\frac{5 \cdot 10000 \cdot 256}{384 \cdot 14000000} \\ &= -\frac{12800000}{5376000000} \\ &\approx -0.00238095 \, \text{m} \approx -2.38 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Les résultats concordent.

Résultat Question 7 : La flèche maximale en mi-travée est \(y_{max} \approx -2.38 \, \text{mm}\) (vers le bas).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la longueur L d'une poutre simplement appuyée sous charge répartie double, la flèche maximale (en gardant w, E, I constants) :

Schéma de la Déformée

Allure de la Déformée de la Poutre
A B ymax x = L/2

La poutre fléchit vers le bas, avec la déformation maximale au centre.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La flèche d'une poutre est :

2. L'équation \(EI y'' = M(x)\) relie :

3. Pour une poutre simplement appuyée et chargée symétriquement, la pente (rotation) est nulle :

Glossaire

Flèche (\(y(x)\) ou \(v(x)\))
Déplacement vertical de l'axe neutre d'une poutre par rapport à sa position non déformée, sous l'effet des charges.
Ligne Élastique (ou Déformée)
Courbe décrivant la forme de l'axe neutre d'une poutre après déformation.
Module d'Young (\(E\))
Mesure de la rigidité d'un matériau élastique. C'est le rapport entre la contrainte et la déformation en traction ou compression uniaxiale.
Moment d'Inertie (\(I\))
Propriété géométrique d'une section transversale qui caractérise sa résistance à la flexion. Plus \(I\) est grand, plus la poutre est rigide en flexion.
Rigidité en Flexion (\(EI\))
Produit du module d'Young et du moment d'inertie. C'est une mesure de la résistance globale d'une poutre à la déformation par flexion.
Conditions aux Limites
Contraintes cinématiques (déplacements, rotations) connues en certains points de la poutre (généralement aux appuis) qui permettent de déterminer les constantes d'intégration lors du calcul de la déformée.
Calcul de la Flèche en Mi-Travée - Exercice d'Application

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