Déterminer les pertes de charge et pressions
📝 Situation du Projet
Vous êtes ingénieur fluides au sein du bureau d'études "HydroFlow Solutions". Notre client, une usine de pétrochimie située à Fos-sur-Mer, procède à la rénovation de son unité de refroidissement secondaire. Le projet consiste à dimensionner la ligne de refoulement reliant le bassin de stockage principal (niveau bas) à l'échangeur thermique situé en toiture du réacteur B (niveau haut).
L'enjeu est critique : le débit d'eau de refroidissement doit être parfaitement assuré pour éviter toute surchauffe du réacteur exothermique. Votre rôle est de calculer précisément les pertes de charge (l'énergie perdue par frottement dans les tuyaux et les accessoires) afin de déterminer la Hauteur Manométrique Totale (HMT) requise pour la pompe centrifuge. Une erreur de calcul pourrait entraîner soit un sous-dimensionnement (débit insuffisant, risque industriel), soit un sur-dimensionnement (gaspillage énergétique coûteux).
En tant qu'Expert Hydraulique, vous devez qualifier l'écoulement, calculer les pertes de charge linéaires et singulières, et en déduire la pression nécessaire en sortie de pompe. Vous validerez in fine le choix de la pompe proposée par le fournisseur.
"Attention, ne négligez pas la rugosité absolue des conduites, elles sont en acier galvanisé usagé. Pour la viscosité, prenez la valeur à 20°C car le circuit démarre à froid. Soyez rigoureux sur les unités !"
L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif et matériel du projet. Ces valeurs sont issues des relevés sur site et des fiches techniques constructeurs.
📚 Référentiel Normatif & Physique
ISO 14001 (Fluides)Théorème de Bernoulli| FLUIDE : EAU INDUSTRIELLE (20°C) | |
| Masse volumique (\(\rho\)) | 1000 kg/m³ |
| Viscosité dynamique (\(\mu\)) | 0.001 Pa.s |
| Débit volumique souhaité (\(Q_{\text{v}}\)) | 150 m³/h |
| TUYAUTERIE (ACIER GALVANISÉ) | |
| Longueur totale de conduite (\(L\)) | 85 m |
| Diamètre intérieur (\(D\)) | 150 mm |
| Rugosité absolue (\(\varepsilon\)) | 0.15 mm |
📐 Géométrie & Singularités
- Dénivelé (\(\Delta z\)): + 15 m
- Coudes 90° (Standard): 3 unités (Coeff \(K_{\text{coude}} = 0.5\))
- Vanne de réglage (Ouverte): 1 unité (Coeff \(K_{\text{vanne}} = 2.5\))
- Sortie de réservoir: 1 unité (Coeff \(K_{\text{sortie}} = 0.5\))
- Entrée dans l'échangeur: 1 unité (Coeff \(K_{\text{entree}} = 1.0\))
⚖️ Conditions Limites
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Rugosité relative | \(\varepsilon/D\) | Calculer | [-] |
| Gravité | \(g\) | 9.81 | [m/s²] |
| Somme des Coeffs K | \(\Sigma K\) | Calculer | [-] |
E. Protocole de Résolution
Afin de garantir un dimensionnement rigoureux, nous suivrons scrupuleusement les étapes suivantes. Cette approche permet de valider chaque paramètre physique avant de l'intégrer dans le bilan énergétique global.
Caractérisation de l'Écoulement
Calcul de la vitesse moyenne du fluide et détermination du Nombre de Reynolds (\(\text{Re}\)) pour identifier le régime (laminaire ou turbulent).
Pertes de Charge Linéaires
Détermination du coefficient de frottement de Darcy (\(\lambda\)) via la formule de Colebrook ou Haaland, puis calcul de l'énergie perdue par mètre de conduite.
Pertes de Charge Singulières & Totales
Inventaire des accidents de parcours (vannes, coudes), sommation des coefficients K et calcul des pertes de charge totales (\(J_{\text{tot}}\)).
Bilan Énergétique (Bernoulli)
Application du théorème de Bernoulli généralisé pour déduire la Hauteur Manométrique Totale (HMT) et la pression de refoulement requise.
Déterminer les pertes de charge et pressions
🎯 Objectif
L'objectif primordial de cette première étape est de qualifier la nature de l'écoulement du fluide à l'intérieur de la conduite. En hydraulique, le comportement des fluides change radicalement selon qu'ils s'écoulent de manière ordonnée (régime laminaire) ou chaotique (régime turbulent). Cette distinction est fondamentale car elle dicte le choix des formules mathématiques qui seront utilisées par la suite pour calculer les pertes de charge. Sans cette étape de qualification par le Nombre de Reynolds, tout calcul ultérieur serait basé sur des hypothèses potentiellement fausses.
📚 Référentiel
Mécanique des FluidesNombre de ReynoldsPour calculer le Nombre de Reynolds (\(\text{Re}\)), nous avons besoin de la vitesse moyenne de l'écoulement (\(V\)). Or, nous ne disposons que du débit volumique (\(Q_{\text{v}}\)) et du diamètre de la conduite (\(D\)). La première tâche logique est donc de convertir ce débit en vitesse. Attention, le débit est donné en m³/h, une unité usuelle dans l'industrie, mais incompatible avec les formules physiques standard qui exigent des m³/s. Une conversion rigoureuse est donc le préalable absolu à tout calcul.
Le nombre de Reynolds est un nombre adimensionnel (sans unité) qui représente le ratio entre les forces d'inertie (qui tendent à conserver le mouvement du fluide) et les forces de viscosité (qui tendent à freiner et stabiliser le fluide).
- Si \(\text{Re} < 2000\) : Le régime est laminaire (écoulement calme, en filets parallèles).
- Si \(\text{Re} > 4000\) : Le régime est turbulent (agitation, tourbillons, mélange constant), ce qui est le cas de 99% des applications industrielles de transport d'eau.
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Débit (\(Q_{\text{v}}\)) | 150 m³/h |
| Diamètre (\(D\)) | 0.150 m |
| Masse volumique (\(\rho\)) | 1000 kg/m³ |
| Viscosité (\(\mu\)) | 0.001 Pa.s |
Pour passer de m³/h à m³/s, divisez par 3600. C'est une erreur classique d'oublier cette conversion, ce qui fausse le résultat d'un facteur 3600 !
Calculs Détaillés
1.1 Détail de la conversion du débitLe système international (SI) impose le mètre cube par seconde (m³/s). Sachant qu'une heure contient 3600 secondes, nous divisons la valeur horaire.
La section \(S\) d'une conduite circulaire se calcule avec la formule de l'aire d'un disque : \(\pi \cdot R^2\) ou \(\pi \cdot D^2 / 4\).
La vitesse est le rapport du débit sur la section de passage.
Nous substituons les valeurs SI dans la formule du Reynolds : \(\text{kg/m}^3 \cdot \text{m/s} \cdot \text{m} / \text{Pa.s}\).
Le calcul du Reynolds nous donne une valeur très élevée (\(3.54 \times 10^5\)), ce qui place l'écoulement sans aucune ambiguïté dans le domaine turbulent. Cela signifie que les particules fluides se déplacent de manière chaotique, favorisant les échanges thermiques mais augmentant aussi les frottements. Pour la suite, nous devrons utiliser des formules de pertes de charge adaptées à ce régime (comme Darcy-Weisbach avec un coefficient \(\lambda\) turbulent).
Un Reynolds de l'ordre de \(10^5\) est tout à fait cohérent pour de l'eau circulant à cette vitesse dans un tuyau de ce diamètre. Si nous avions trouvé une valeur proche de 1000, cela aurait indiqué une erreur de calcul (vitesse trop faible ou viscosité trop forte).
Ne confondez pas viscosité dynamique (\(\mu\) en Pa.s) et viscosité cinématique (\(\nu\) en m²/s). Si vous aviez \(\nu\), la formule serait :
Une erreur ici fausse tout le reste du dossier.
🎯 Objectif
Dans cette étape cruciale, nous allons quantifier l'énergie dissipée par frottement le long des parois rectilignes de la tuyauterie. C'est souvent la part la plus importante des pertes dans les longs réseaux. Pour ce faire, nous devons déterminer un coefficient de frottement, noté \(\lambda\) (lambda), qui dépend à la fois du régime d'écoulement (Reynolds) et de l'état de surface du tuyau (rugosité).
📚 Référentiel
Formule de Darcy-WeisbachApproximation de HaalandHistoriquement, on déterminait \(\lambda\) graphiquement via le diagramme de Moody. C'est fastidieux et imprécis. La formule exacte implicite est celle de Colebrook-White, mais elle nécessite une résolution itérative complexe. Pour un calcul direct et explicite avec une précision excellente (écart < 2%), nous utiliserons l'approximation de Haaland, très prisée des ingénieurs terrain.
Elle exprime la perte de charge (\(\Delta H\)) en hauteur de colonne de fluide (mètres). Elle postule que la perte est proportionnelle à la longueur du tuyau, au carré de la vitesse, et inversement proportionnelle au diamètre.
1. Formule de Haaland (pour trouver \(\lambda\)) :
2. Perte de charge linéaire (\(J_{\text{lin}}\)) :
Étape 1 : Hypothèses & Données
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Rugosité (\(\varepsilon\)) | 0.15 mm = 0.00015 m |
| Diamètre (\(D\)) | 0.150 m |
| Longueur (\(L\)) | 85 m |
| Reynolds (\(\text{Re}\)) | 354 000 |
Assurez-vous que la rugosité \(\varepsilon\) et le diamètre \(D\) sont dans la même unité (mètres) avant de faire le rapport \(\varepsilon/D\).
Calculs Détaillés
2.1 Calcul de la Rugosité RelativeRapport adimensionnel caractérisant l'état de surface interne du tuyau.
Calculons d'abord le terme à l'intérieur du logarithme pour simplifier l'expression.
Nous appliquons le logarithme base 10 et inversons la racine carrée.
On retient \(\lambda \approx 0.024\). C'est une valeur standard pour de l'acier usagé en régime turbulent.
2.4 Application dans Darcy-WeisbachNous calculons d'abord la charge dynamique (\(V^2/2g\)) qui sera utilisée partout ensuite.
Puis nous appliquons la formule complète.
Le frottement du fluide sur 85 mètres de conduite dissipe une énergie équivalente à devoir soulever l'eau de 3.86 mètres supplémentaires. C'est une perte significative qu'il faudra compenser par la pompe.
Une perte de charge de ~4m pour 85m de conduite à cette vitesse est logique (environ 4.5% de perte par mètre). Si le résultat avait été de 40m, il aurait fallu suspecter une erreur de puissance décimale.
Le terme \(\frac{V^2}{2g}\) est appelé "Hauteur cinétique" ou "Charge dynamique". Il revient souvent, calculez-le une fois pour toutes !
🎯 Objectif
Après avoir traité les lignes droites, nous devons comptabiliser les pertes d'énergie provoquées par les "singularités" du réseau : les coudes, les vannes, les élargissements, etc. Chaque accessoire perturbe l'écoulement, crée des tourbillons locaux et dissipe de l'énergie. Nous allons ensuite sommer toutes les pertes (linéaires + singulières) pour obtenir la perte de charge totale du circuit.
📚 Référentiel
Méthode des Coefficients KPour les pertes singulières, la méthode la plus courante est celle des coefficients \(K\). On considère que chaque accessoire équivaut à une perte proportionnelle à la charge dynamique (\(V^2/2g\)). Le coefficient \(K\) est empirique et donné par les fabricants. La stratégie est simple : sommer tous les \(K\) pour obtenir un \(K_{\text{total}}\), puis multiplier par la charge dynamique unique (car le diamètre est constant sur toute la ligne).
Le coefficient \(K\) (ou \(\zeta\)) est sans dimension. Il représente le degré de résistance hydraulique d'un composant. Une vanne totalement ouverte a un K faible, une vanne presque fermée a un K très élevé (tendant vers l'infini). La perte de charge singulière est l'énergie cinétique "tuée" par la singularité.
Perte de charge singulière (\(J_{\text{sing}}\)) :
Perte de charge Totale (\(J_{\text{tot}}\)) :
Étape 1 : Inventaire des Singularités
| Type d'accessoire | Quantité | K unitaire | K Total |
|---|---|---|---|
| Sortie Réservoir A | 1 | 0.5 | 0.5 |
| Coudes 90° | 3 | 0.5 | 1.5 |
| Vanne de réglage | 1 | 2.5 | 2.5 |
| Entrée Échangeur | 1 | 1.0 | 1.0 |
| TOTAL | - | - | 5.5 |
Ne jamais oublier les pertes d'entrée et de sortie ! Même un simple tuyau plongeant dans un bassin génère une perte (\(K=1\) pour une sortie brusque, \(K=0.5\) pour une entrée brusque).
Calculs Détaillés
3.1 Principe de superposition des KComme le diamètre est constant, nous pouvons simplement additionner les coefficients unitaires.
On utilise la somme des K trouvée ci-dessus (5.5) et la charge dynamique calculée précédemment (0.284 m).
Sommation simple des pertes par frottement (calculées en Q2) et des pertes par accident.
On constate que les pertes linéaires (3.86 m) représentent environ 70% des pertes totales. Les singularités (1.56 m) ne sont pas négligeables (30%), principalement à cause de la vanne de réglage qui est très résistive.
Le ratio 70/30 est classique pour une installation industrielle de longueur moyenne. Pour des conduites très longues (km), les pertes singulières deviendraient négligeables (<5%).
Si plusieurs diamètres différents coexistent dans le circuit, vous ne pouvez PAS sommer tous les K ! Il faut grouper les K par diamètre et multiplier par la charge dynamique locale selon la formule :
🎯 Objectif
C'est l'étape finale et décisive. Nous devons déterminer l'énergie totale que la pompe doit fournir au fluide. Cette énergie doit servir à trois choses :
1. Élever l'eau géométriquement (vaincre la gravité).
2. Mettre l'eau sous pression (pour entrer dans l'échangeur à 2.5 bars).
3. Compenser toutes les pertes de charges calculées précédemment (vaincre les frottements).
📚 Référentiel
Théorème de Bernoulli GénéraliséNous allons appliquer le théorème de Bernoulli entre le point A (surface libre du bassin, pression atmosphérique, vitesse nulle) et le point B (entrée de l'échangeur, pression 2.5 bars). La pompe se situe entre les deux et apporte l'énergie \(H_{\text{mt}}\) (Hauteur Manométrique Totale).
Le théorème de Bernoulli est l'expression de la conservation de l'énergie mécanique pour un fluide. Il stipule que la somme de l'énergie de pression, de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est constante le long d'une ligne de courant, aux pertes près et au travail des machines près.
En isolant le terme pompe dans Bernoulli :
Note : On néglige souvent le terme de variation d'énergie cinétique (\(\Delta V^2/2g\)) car \(V_{\text{A}} \approx 0\) et \(V_{\text{B}}\) est souvent faible devant les pressions, ou inclus dans la pression dynamique.
Étape 1 : Données de Pression
| Type | Valeur | Conversion Pascal (Pa) |
|---|---|---|
| Pression Départ (\(P_{\text{A}}\)) | 1 bar abs | 100 000 Pa |
| Pression Arrivée (\(P_{\text{B}}\)) | 2.5 bar abs | 250 000 Pa |
| Différence (\(\Delta P\)) | 1.5 bar | 150 000 Pa |
Travaillez toujours en pressions ABSOLUES ou toujours en RELATIVES pour éviter les erreurs. Ici, la différence est la même (1.5 bar), mais attention si P_A était sous vide.
Calcul de la HMT
4.1 Dérivation depuis l'équation de Bernoulli complètePosons l'équation entre l'état A (aspiration) et B (refoulement) :
Nous regroupons les termes par nature physique.
Nous posons les hypothèses : \(V_{\text{A}} \approx 0\) (surface grand bassin) et on néglige souvent l'énergie cinétique résiduelle en sortie ou on considère qu'elle est "perdue". Ici, nous simplifions en négligeant le terme cinétique.
Conversion des Pascals en mètres de colonne d'eau (divisé par \(\rho g\)).
On additionne : Hauteur géométrique + Hauteur de pression + Pertes de charge.
La pompe devra fournir une énergie capable de pousser l'eau à 35.7 mètres de hauteur virtuelle. Si l'on choisit une pompe avec une HMT de seulement 30m, le débit chutera drastiquement ou s'annulera.
- 42% sert à élever l'eau (15m).
- 43% sert à pressuriser le circuit (15.3m).
- 15% est "perdu" en frottements (5.4m).
C'est un circuit efficace : les pertes de charge restent raisonnables par rapport à l'énergie utile.
Nous avons calculé le point de fonctionnement requis. Il faut maintenant choisir une pompe dont la courbe caractéristique passe par le point (Q=150 m³/h ; H=35.7 m) avec un bon rendement.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 20/05/2024 | Création du document | J. Martin |
| B | 24/05/2024 | Mise à jour rugosité tuyauterie | J. Martin |
- Fluide : Eau industrielle à 20°C (Rho=1000 kg/m³)
- Débit de dimensionnement : 150 m³/h
- Tuyauterie : Acier galvanisé DN150 (Dint = 150mm)
| Aspiration (Bassin) | Atmosphérique |
| Refoulement (Échangeur) | 2.5 bar relatifs requis |
Synthèse issue de la note de calcul détaillée page 4 à 8.
Jean Martin
Dr. A. Hydraulis
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