Conservation de la masse pour un fluide

Comprendre la Conservation de la masse pour un fluide

Considérons un système de tuyauterie utilisé dans une installation de traitement des eaux. L’eau s’écoule à travers une série de tuyaux de diamètres différents, reliant un réservoir d’entrée à un bassin de traitement. Le système est conçu pour assurer un débit constant et sans accumulation dans les tuyaux, garantissant ainsi un traitement efficace et continu de l’eau.

Pour comprendre l’Analyse de la Poussée Hydrostatique, cliquez sur le lien.

Données:

Diamètre du tuyau d’entrée, D1 = 0,5 m
Diamètre du tuyau de sortie, D2 = 0,3 m
Vitesse de l’eau dans le tuyau d’entrée, V1 = 2 m/s

Question:

Calculer la vitesse de l’eau V2 dans le tuyau de sortie, en utilisant le principe de conservation de la masse. On néglige les pertes de charge et les effets de viscosité.

Correction : Conservation de la masse pour un fluide

1. Calcul de la vitesse dans le tuyau de sortie

Le principe de conservation de la masse pour un fluide incompressible stipule que le débit volumique (\( Q \)) reste constant dans un système fermé. Le débit volumique est donné par le produit de la section du tuyau (\( A \)) et de la vitesse du fluide (\( V \)).
On a donc :

\[ Q = A_1 \times V_1 = A_2 \times V_2 \]

Cela implique que :

\[ V_2 = \frac{A_1}{A_2} \times V_1 \]

L’objectif est de calculer \( V_2 \) en déterminant d’abord les sections \( A_1 \) et \( A_2 \).

Formule

Pour un tuyau de diamètre \( D \), la section \( A \) est calculée par :

\[ A = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 \]

Données

Diamètre du tuyau d’entrée, \( D_1 = 0,5 \, \text{m} \)
Diamètre du tuyau de sortie, \( D_2 = 0,3 \, \text{m} \)
Vitesse dans le tuyau d’entrée, \( V_1 = 2 \, \text{m/s} \)

Calcul de cet exercice:

1. Calcul de la section \( A_1 \) du tuyau d’entrée :

\[ A_1 = \pi \left(\frac{D_1}{2}\right)^2 \] \[ A_1 = \pi \left(\frac{0,5}{2}\right)^2 \] \[ A_1 = \pi (0,25)^2 \] \[ A_1 = \pi \times 0,0625 \] \[ A_1 \approx 0,0625\pi \, \text{m}^2 \]

2. Calcul de la section \( A_2 \) du tuyau de sortie :

\[ A_2 = \pi \left(\frac{D_2}{2}\right)^2 \] \[ A_2 = \pi \left(\frac{0,3}{2}\right)^2 \] \[ A_2 = \pi (0,15)^2 \] \[ A_2 = \pi \times 0,0225 \] \[ A_2 \approx 0,0225\pi \, \text{m}^2 \]

3. Application de la conservation de la masse pour trouver \( V_2 \) :

\[ V_2 = \frac{A_1}{A_2} \times V_1 \]

Calculons le rapport \( \frac{A_1}{A_2} \) :

\[ \frac{A_1}{A_2} = \frac{0,0625\pi}{0,0225\pi} = \frac{0,0625}{0,0225} \approx 2,7778 \]

Puis, en substituant la valeur de \( V_1 \) :

\[ V_2 \approx 2,7778 \times 2 \, \text{m/s} \] \[ V_2 \approx 5,5556 \, \text{m/s} \]

Résultat final :
La vitesse de l’eau dans le tuyau de sortie est donc :

\[ V_2 \approx 5,56 \, \text{m/s} \]

Conclusion :

En appliquant le principe de conservation de la masse et en calculant les sections des tuyaux, nous avons trouvé que la vitesse de l’eau dans le tuyau de sortie est d’environ 5,56 m/s.

Conservation de la masse pour un fluide

D’autres exercices d’hydraulique: