Moment non compensé dû à l’action de l’eau

1. Calcul de la pression hydrostatique à la base de la porte

La pression hydrostatique dans un fluide au repos se calcule par la formule \[ p = \rho \cdot g \cdot h \] où h est la profondeur à laquelle l’on mesure la pression.

Données et Substitution :

• Côté amont : À la base de la porte, la profondeur effective est \( h_1 = 4\text{ m} \).
  \[ p_{\text{amont}} = 1000 \times 9,81 \times 4 \] \[ p_{\text{amont}} = 39240\ \mathrm{Pa} \]
• Côté aval : À la base, \( h_2 = 1\text{ m} \).
  \[ p_{\text{aval}} = 1000 \times 9,81 \times 1 \] \[ p_{\text{aval}} = 9810\ \mathrm{Pa} \]

Ainsi, la pression hydrostatique maximale, à la base, est de 39 240 Pa pour le côté amont et 9810 Pa pour le côté aval.

2. Détermination de la force totale exercée par l’eau sur un côté de la porte

La pression variant linéairement avec la profondeur, la force résultante sur une surface verticale se calcule par intégration. Sur une tranche horizontale \(dy\) à une profondeur \(y\) (mesurée à partir du bas de la surface immergée), la pression est \[ p(y) = \rho \cdot g \cdot y. \] La force élémentaire sur une bande de largeur \(L\) et d’épaisseur \(dy\) est \[ dF = p(y) \cdot L \cdot dy = \rho\, g\, y\, L\, dy. \] En intégrant sur la hauteur de la zone immergée \([0, h]\), on obtient : \[ F = L \, \rho \, g \int_{0}^{h} y \, dy = L \, \rho \, g \, \frac{h^2}{2}. \]

Calcul pour chaque côté :

• Côté amont ( \( h_1 = 4\text{ m} \) ) :
  \[ F_{\text{amont}} = 3 \times 1000 \times 9,81 \times \frac{4^2}{2}. \]
  Calculs :
  • \(4^2 = 16\)
  • \(\frac{16}{2} = 8\)
  • \(1000 \times 9,81 = 9810\)
  \[ F_{\text{amont}} = 3 \times 9810 \times 8 \] \[ F_{\text{amont}} = 3 \times 78480 \] \[ F_{\text{amont}} = 235440\ \mathrm{N} \]
• Côté aval ( \( h_2 = 1\text{ m} \) ) :
  \[ F_{\text{aval}} = 3 \times 1000 \times 9,81 \times \frac{1^2}{2}. \]
  Calculs :
  • \(1^2 = 1\)
  • \(\frac{1}{2} = 0.5\)
  \[ F_{\text{aval}} = 3 \times 9810 \times 0.5 \] \[ F_{\text{aval}} = 3 \times 4905 \] \[ F_{\text{aval}} = 14715\ \mathrm{N} \]

  On peut ainsi retenir que la force totale exercée par l’eau est : 235 440 N pour le côté amont et 14 715 N pour le côté aval.
  Remarque : Dans le calcul du moment non compensé, la différence de ces forces produira une action nette.

  3. Calcul du point d’application de la force : Centre de pression

  Pour une surface verticale immergée dont la pression varie linéairement, le centre de pression se situe à une hauteur \(y_{cp}\) mesurée à partir de la base de la surface immergée donnée par :
  \[ y_{cp} = \frac{\int_{0}^{h} y \, p(y) \, dy}{\int_{0}^{h} p(y) \, dy}. \]
  Avec \( p(y)= \rho\,g\,y \), on trouve facilement :
  \[ y_{cp} = \frac{\int_{0}^{h} \rho\,g\,y^2 \, dy}{\int_{0}^{h} \rho\,g\,y \, dy} = \frac{h^3/3}{h^2/2} = \frac{2h}{3}. \]

  Calcul pour chaque côté :

  • Côté amont ( \( h_1 = 4\text{ m} \) ) :
    \[ y_{cp,\text{amont}} = \frac{2 \times 4}{3} = \frac{8}{3} \approx 2,67\text{ m}. \]
  • Côté aval ( \( h_2 = 1\text{ m} \) ) :
    \[ y_{cp,\text{aval}} = \frac{2 \times 1}{3} \approx 0,67\text{ m}. \]

  Ces valeurs représentent la hauteur (mesurée à partir du bas de la zone immergée) où la force hydrostatique est concentrée pour chacune des faces.

  4. Détermination du moment non compensé dû à l’action de l’eau sur la porte

  La porte est articulée en haut (pivot situé à \( y = H = 5\text{ m} \) depuis la base). Pour chaque côté, la force résultante agit en un point situé à la hauteur du centre de pression, ce qui produit un moment par rapport au pivot de la porte.
  Le bras de levier pour chaque côté est : \[ d = H - y_{cp}. \]
  On calcule ainsi les moments individuels pour chacun des côtés, puis le moment non compensé est la différence entre le moment appliqué par l’eau sur le côté amont (où la pression est plus grande) et celui sur le côté aval.

  Calcul pour le côté amont :

  • Centre de pression \( y_{cp,\text{amont}} \approx 2,67\text{ m} \)
    Distance au pivot : \[ d_{\text{amont}} = 5 - 2,67 \] \[ d_{\text{amont}} \approx 2,33\text{ m}. \]
  • Moment dû à la force hydrostatique sur le côté amont :
    \[ M_{\text{amont}} = F_{\text{amont}} \times d_{\text{amont}} \] \[ M_{\text{amont}} = 235440 \times 2,33 \] \[ M_{\text{amont}} \approx 549000\ \mathrm{N \cdot m}. \]

  Calcul pour le côté aval :

  • Centre de pression \( y_{cp,\text{aval}} \approx 0,67\text{ m} \)
    Distance au pivot : \[ d_{\text{aval}} = 5 - 0,67 \] \[ d_{\text{aval}} \approx 4,33\text{ m}. \]
  • Moment dû à la force hydrostatique sur le côté aval :
    \[ M_{\text{aval}} = F_{\text{aval}} \times d_{\text{aval}} \] \[ M_{\text{aval}} = 14715 \times 4,33 \] \[ M_{\text{aval}} \approx 63715\ \mathrm{N \cdot m}. \]

  Moment non compensé :

  Le moment net (non compensé) est dû à la différence des moments appliqués sur chaque face :
  \[ M_{\text{net}} = M_{\text{amont}} - M_{\text{aval}} \] \[ M_{\text{net}} \approx 549000 - 63715 \] \[ M_{\text{net}} \approx 485285\ \mathrm{N \cdot m}. \]
  Nous pouvons arrondir et dire que le moment non compensé est d’environ 485 300 N·m.