Poussée d’archimède dans l’eau

Comprendre la Poussée d’archimède dans l’eau

Un ingénieur en génie civil doit concevoir un pont flottant pour une rivière. Pour cela, il envisage d’utiliser des cylindres en béton comme flotteurs. Cependant, il doit d’abord s’assurer que ces cylindres pourront supporter le poids du pont tout en restant stables sur l’eau.

Pour comprendre le Calcul de la Pression au Fond d’un Réservoir, cliquez sur le lien.

Données

Densité de l’eau de la rivière : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
Densité du béton : \(2400 \, \text{kg/m}^3\)
Rayon d’un cylindre en béton : \(1 \, \text{m}\)
Hauteur d’un cylindre en béton : \(2 \, \text{m}\)
Poids total supporté par chaque cylindre (incluant une partie du poids du pont) : \(15000 \, \text{N}\)

Questions:

1. Calculer le volume du cylindre en béton.

2. Déterminer le poids du cylindre en béton.

3. Calculer la force de poussée d’Archimède agissant sur le cylindre lorsqu’il est entièrement immergé.

4. Déterminer si le cylindre flottera ou coulera lorsque le poids total à supporter est appliqué.

5. Si le cylindre flotte, calculer la portion du cylindre qui reste hors de l’eau.

Correction : Poussée d’archimède dans l’eau

1. Calcul du volume du cylindre en béton

Formule :

\[ V = \pi r^2 h \]

Données :

Rayon \( r = 1 \, \text{m} \)
Hauteur \( h = 2 \, \text{m} \)

Calcul :

\[ V = \pi \times (1\,\text{m})^2 \times 2\,\text{m} \] \[ V = 2\pi\, \text{m}^3 \]

Résultat numérique :

\[ 2\pi \approx 6,2832\, \text{m}^3 \]

2. Détermination du poids du cylindre en béton

Formule :

\[ P_{\text{cylindre}} = \rho_{\text{béton}} \times V \times g \]

Données :

Densité du béton \( \rho_{\text{béton}} = 2400\, \text{kg/m}^3 \)
Volume \( V = 2\pi\, \text{m}^3 \)
Accélération due à la pesanteur \( g = 9,81\, \text{m/s}^2 \)

Calcul :

1. Calcul de la masse du cylindre :

\[ m = 2400 \times 2\pi \] \[ m \approx 2400 \times 6,2832 \] \[ m \approx 15079,68\, \text{kg} \]

2. Calcul du poids :

\[ P_{\text{cylindre}} = 15079,68\, \text{kg} \times 9,81\, \text{m/s}^2 \] \[ P_{\text{cylindre}} \approx 147802\, \text{N} \]

Résultat :
Le poids du cylindre est d’environ 147802 N.

3. Calcul de la force de poussée d’Archimède

Principe :
La poussée d’Archimède correspond au poids du fluide déplacé par le corps immergé.

Formule :

\[ F_A = \rho_{\text{eau}} \times V \times g \]

Données :

Densité de l’eau \( \rho_{\text{eau}} = 1000\, \text{kg/m}^3 \)
Volume du cylindre \( V = 2\pi\, \text{m}^3 \)
Accélération due à la pesanteur \( g = 9,81\, \text{m/s}^2 \)

Calcul :

\[ F_A = 1000 \times 2\pi \times 9,81 \] \[ F_A \approx 1000 \times 6,2832 \times 9,81 \] \[ F_A \approx 61663\, \text{N} \]

Résultat :
La force de poussée d’Archimède est d’environ 61663 N.

4. Détermination de la flottabilité du cylindre

Principe :
Pour qu’un corps flotte, la force de poussée d’Archimède doit être au moins égale à la somme du poids du corps et de toute charge supplémentaire appliquée.

Données supplémentaires :

Poids total à supporter par le cylindre (incluant une partie du poids du pont) : 15000 N

Calcul :

1. Poids total effectif appliqué sur le cylindre :

\[ P_{\text{total}} = P_{\text{cylindre}} + \text{Charge} \] \[ P_{\text{total}} = 147802\, \text{N} + 15000\, \text{N} \] \[ P_{\text{total}} = 162802\, \text{N} \]

2. Comparaison avec la poussée d’Archimède :

\[ F_A \approx 61663\, \text{N} \quad \text{et} \quad P_{\text{total}} \approx 162802\, \text{N} \]

Conclusion :

Comme \( F_A < P_{\text{total}} \) (61663 N < 162802 N), la poussée d’Archimède ne suffit pas à compenser le poids du cylindre et la charge.
Le cylindre coulera.

5. Calcul de la portion du cylindre hors de l’eau (si le cylindre flottait)

Observation :
Cette étape est à réaliser uniquement si le cylindre flotte.
Conclusion :
Étant donné que le cylindre coule, cette question n’est pas applicable.

Poussée d’archimède dans l’eau

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