Études de cas pratique

EGC

Application de la Loi de Pascal

Application de la Loi de Pascal en Hydraulique

Application de la Loi de Pascal en Hydraulique

Comprendre la Loi de Pascal

La loi de Pascal (ou principe de Pascal) est un principe fondamental de la mécanique des fluides qui stipule que toute variation de pression en un point d'un fluide incompressible et au repos est transmise intégralement à tous les points du fluide ainsi qu'aux parois du récipient qui le contient. Autrement dit, si une pression externe est appliquée à un fluide confiné, cette pression s'ajoute uniformément à la pression hydrostatique existante en tout point du fluide. Ce principe est à la base du fonctionnement de nombreux systèmes hydrauliques, tels que les presses hydrauliques, les freins hydrauliques, les vérins et les crics, qui permettent de multiplier les forces.

Données de l'étude

On considère une presse hydraulique simple constituée de deux pistons cylindriques de sections différentes, reliés par une conduite remplie d'une huile incompressible. Une force est appliquée sur le petit piston pour soulever une charge placée sur le grand piston.

Caractéristiques de la presse hydraulique :

  • Diamètre du petit piston (\(D_1\)) : \(5 \, \text{cm}\)
  • Diamètre du grand piston (\(D_2\)) : \(25 \, \text{cm}\)
  • Force appliquée sur le petit piston (\(F_1\)) : \(100 \, \text{N}\)
  • On néglige les frottements et le poids des pistons.
Schéma : Presse Hydraulique
Presse Hydraulique (Loi de Pascal) {/* */} {/* */} F1 Piston 1 (D1) {/* */} F2 = ? {/* Charge */} Piston 2 (D2) Pression P (transmise)

Schéma de principe d'une presse hydraulique illustrant l'application de la loi de Pascal.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire du petit piston (\(A_1\)) et l'aire du grand piston (\(A_2\)).
  2. Calculer la pression (\(P\)) exercée par le petit piston sur le fluide.
  3. En appliquant la loi de Pascal, déterminer la force (\(F_2\)) exercée par le fluide sur le grand piston (force de levage).
  4. Quel est le facteur de multiplication de force de cette presse hydraulique ?

Correction : Application de la Loi de Pascal

Question 1 : Calcul des Aires des Pistons (\(A_1\) et \(A_2\))

Principe :

L'aire d'un piston cylindrique est l'aire d'un cercle, donnée par la formule \(A = \pi \cdot D^2 / 4\) ou \(A = \pi \cdot r^2\), où \(D\) est le diamètre et \(r\) est le rayon du piston. Il est important de convertir les diamètres en mètres avant de calculer les aires pour obtenir des résultats en mètres carrés (\(\text{m}^2\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]
Données spécifiques et conversions :
  • Diamètre du petit piston (\(D_1\)) : \(5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}\)
  • Diamètre du grand piston (\(D_2\)) : \(25 \, \text{cm} = 0.25 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_1 &= \frac{\pi (0.05 \, \text{m})^2}{4} = \frac{\pi \times 0.0025 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx \frac{0.00785398 \, \text{m}^2}{4} \approx 0.0019635 \, \text{m}^2 \\ A_2 &= \frac{\pi (0.25 \, \text{m})^2}{4} = \frac{\pi \times 0.0625 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx \frac{0.19634954 \, \text{m}^2}{4} \approx 0.0490874 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • Aire du petit piston (\(A_1\)) : \(\approx 0.00196 \, \text{m}^2\)
  • Aire du grand piston (\(A_2\)) : \(\approx 0.04909 \, \text{m}^2\)

Question 2 : Calcul de la Pression (\(P\)) Exercée sur le Fluide

Principe :

La pression (\(P\)) exercée par une force (\(F\)) sur une surface (\(A\)) est définie par le rapport \(P = F/A\). Dans le cas de la presse hydraulique, la force \(F_1\) appliquée sur le petit piston d'aire \(A_1\) engendre une pression \(P_1\) dans le fluide.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_1 = \frac{F_1}{A_1} \]
Données spécifiques :
  • Force sur le petit piston (\(F_1\)) : \(100 \, \text{N}\)
  • Aire du petit piston (\(A_1\)) : \(\approx 0.0019635 \, \text{m}^2\) (valeur non arrondie de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_1 &= \frac{100 \, \text{N}}{0.0019635 \, \text{m}^2} \\ &\approx 50929.58 \, \text{N/m}^2 \\ &\approx 50930 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

En kilopascals : \(P_1 \approx 50.93 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 2 : La pression exercée par le petit piston sur le fluide est \(P_1 \approx 50930 \, \text{Pa}\) (ou \(50.93 \, \text{kPa}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la force \(F_1\) appliquée sur le petit piston était doublée, la pression \(P_1\) dans le fluide :

Question 3 : Calcul de la Force (\(F_2\)) Exercée sur le Grand Piston

Principe :

Selon la loi de Pascal, la pression \(P_1\) exercée sur le petit piston est transmise intégralement à travers le fluide incompressible jusqu'au grand piston. Ainsi, la pression agissant sur le grand piston est \(P_2 = P_1\). La force (\(F_2\)) exercée par le fluide sur le grand piston d'aire \(A_2\) est alors \(F_2 = P_2 \cdot A_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_2 = P_1 \] \[ F_2 = P_2 \cdot A_2 = P_1 \cdot A_2 \]
Données spécifiques :
  • Pression dans le fluide (\(P_1\)) : \(\approx 50929.58 \, \text{Pa}\) (valeur non arrondie de Q2)
  • Aire du grand piston (\(A_2\)) : \(\approx 0.0490874 \, \text{m}^2\) (valeur non arrondie de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_2 &= 50929.58 \, \text{Pa} \times 0.0490874 \, \text{m}^2 \\ &\approx 2500.00 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La force exercée par le fluide sur le grand piston est \(F_2 = 2500 \, \text{N}\).

Question 4 : Facteur de Multiplication de Force

Principe :

Le facteur de multiplication de force d'une presse hydraulique est le rapport entre la force de sortie (\(F_2\), exercée par le grand piston) et la force d'entrée (\(F_1\), appliquée sur le petit piston). Il est également égal au rapport des aires des pistons (\(A_2/A_1\)) ou au carré du rapport de leurs diamètres (\((D_2/D_1)^2\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Facteur de multiplication} = \frac{F_2}{F_1} = \frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2 \]
Données spécifiques :
  • \(F_1 = 100 \, \text{N}\)
  • \(F_2 = 2500 \, \text{N}\) (résultat Q3)
  • Ou \(A_1 \approx 0.0019635 \, \text{m}^2\), \(A_2 \approx 0.0490874 \, \text{m}^2\)
  • Ou \(D_1 = 0.05 \, \text{m}\), \(D_2 = 0.25 \, \text{m}\)
Calcul (utilisant les forces) :
\[ \text{Facteur} = \frac{2500 \, \text{N}}{100 \, \text{N}} = 25 \]
Calcul (utilisant les diamètres) :
\[ \text{Facteur} = \left(\frac{0.25 \, \text{m}}{0.05 \, \text{m}}\right)^2 = (5)^2 = 25 \]
Résultat Question 4 : Le facteur de multiplication de force de cette presse hydraulique est de 25.

Quiz Intermédiaire 2 : Si le diamètre du grand piston (\(D_2\)) était doublé, et celui du petit piston (\(D_1\)) restait inchangé, le facteur de multiplication de force serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi de Pascal stipule qu'une variation de pression appliquée à un fluide confiné :

2. Dans une presse hydraulique, si l'aire du grand piston est 10 fois celle du petit piston, la force exercée par le grand piston sera (en négligeant les pertes) :

3. La pression dans un système hydraulique fermé (fluide incompressible au repos) :

Glossaire

Loi de Pascal (Principe de Pascal)
Principe de la mécanique des fluides stipulant qu'une augmentation de pression en un point d'un fluide incompressible confiné est transmise intégralement à tous les points du fluide et aux parois du récipient.
Pression (\(P\))
Force exercée par unité de surface. Unité SI : Pascal (Pa), où \(1 \, \text{Pa} = 1 \, \text{N/m}^2\).
Fluide Incompressible
Fluide dont la masse volumique (densité) est considérée comme constante, quelle que soit la pression appliquée. Les liquides sont souvent considérés comme incompressibles en hydraulique.
Presse Hydraulique
Dispositif mécanique utilisant un fluide incompressible pour transmettre et amplifier une force. Elle est basée sur la loi de Pascal.
Aire du Piston (\(A\))
Surface du piston sur laquelle la pression du fluide s'exerce. Pour un piston cylindrique, \(A = \pi D^2 / 4\).
Force (\(F\))
Interaction qui, lorsqu'elle n'est pas équilibrée, modifie le mouvement d'un objet. En hydraulique, c'est le produit de la pression par l'aire sur laquelle elle s'applique (\(F = P \cdot A\)). Unité : Newton (N).
Application de la Loi de Pascal - Exercice d'Application

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