Calcul de la Pression au Fond d’un Réservoir

1. Calcul de la pression hydrostatique due à la colonne d’eau

La pression exercée à un point dans un liquide en équilibre est due au poids de la colonne de liquide située au-dessus de ce point. La formule permettant de déterminer cette pression est :

Formule :

\[ P_{h} = \rho \times g \times h \]

où :

• Pₕ est la pression hydrostatique (en Pascal, Pa).
• \(\rho\) (rho) est la densité du liquide (en kg/m³).
• g est l’accélération due à la gravité (en m/s²).
• h est la hauteur de la colonne de liquide (en m).

Données fournies

• Densité de l’eau, \(\rho\) : 1000 kg/m³.
• Accélération due à la gravité, g : 9.81 m/s².
• Hauteur du liquide, h : 10 m.

Calcul

Substituons les valeurs dans la formule :

\[ P_{h} = 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 10 \, \text{m} \]

Effectuons le calcul :

• 9.81 m/s² × 10 m = 98.1 m²/s².
• 1000 kg/m³ × 98.1 m²/s² = 98 100 kg/(m·s²).

Or, 1 kg/(m·s²) correspond à 1 Pascal (Pa). Donc :

\[ P_{h} = 98\,100 \, \text{Pa} \]

Pour exprimer ce résultat en kilopascals (kPa), sachant que 1 kPa = 1000 Pa :

\[ P_{h} = \frac{98\,100 \, \text{Pa}}{1000} \] \[ P_{h} = 98.1 \, \text{kPa} \]

Résultat : La pression hydrostatique exercée par la colonne d’eau est de 98.1 kPa.

2. Calcul de la pression totale au fond du réservoir

Au fond du réservoir, la pression totale est la somme de la pression hydrostatique de l’eau et de la pression de l’air présente au-dessus du liquide. La relation est donc :

Formule :

\[ P_{\text{total}} = P_{\text{air}} + P_{h} \]

où :

• \(P_{\text{total}}\) est la pression totale au fond (en kPa).
• \(P_{\text{air}}\) est la pression de l’air au sommet du réservoir.
• \(P_{h}\) est la pression hydrostatique due à la colonne d’eau.

Données fournies

• Pression de l’air, \(P_{\text{air}}\) : 120 kPa.
• Pression hydrostatique calculée, \(P_{h}\) : 98.1 kPa.

Calcul

Substituons les valeurs :

\[ P_{\text{total}} = 120 \, \text{kPa} + 98.1 \, \text{kPa} \] \[ P_{\text{total}} = 218.1 \, \text{kPa} \]

Résultat : La pression totale au fond du réservoir est de 218.1 kPa.

3. Discussion de l’impact de l’augmentation de la hauteur du liquide ou de la pression de l’air sur la pression totale

a) Impact de l’augmentation de la hauteur du liquide

Effet sur la pression hydrostatique :
La pression hydrostatique est directement proportionnelle à la hauteur du liquide (\(P_{h} = \rho \times g \times h\)). Une augmentation de \(h\) entraîne une augmentation linéaire de \(P_{h}\).

Exemple :
Si la hauteur passe de 10 m à 15 m, la nouvelle pression hydrostatique serait :

\[ P_{h(\text{nouveau})} = 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 15 \, \text{m} \] \[ P_{h(\text{nouveau})} = 147\,150 \, \text{Pa} \] \[ P_{h(\text{nouveau})} = 147.15 \, \text{kPa} \]

Ainsi, la pression totale augmentera proportionnellement puisque \(P_{\text{total}} = P_{\text{air}} + P_{h}\).

b) Impact de l’augmentation de la pression de l’air

Effet sur la pression totale :
La pression de l’air s’ajoute directement à la pression hydrostatique. Une augmentation de \(P_{\text{air}}\) se traduit par une augmentation identique de la pression totale.

Exemple :
Si la pression de l’air passe de 120 kPa à 130 kPa tout en maintenant la même hauteur d’eau, la nouvelle pression totale serait :

\[ P_{\text{total}} = 130 \, \text{kPa} + 98.1 \, \text{kPa} \] \[ P_{\text{total}} = 228.1 \, \text{kPa} \]

c) Conclusion sur l’impact combiné

Combinaison des deux facteurs :
Toute modification de la hauteur du liquide ou de la pression de l’air impacte directement la pression totale au fond.

• Une augmentation de \(h\) augmente la contribution hydrostatique.
• Une augmentation de \(P_{\text{air}}\) augmente la base de pression sur le liquide.

Ainsi, pour une conception sécurisée des réservoirs, il est crucial de tenir compte de ces deux paramètres, car une variation de l’un ou de l’autre peut modifier significativement la contrainte exercée sur les parois et le fond du réservoir.