Calcul de la Pression d’Eau
Comprendre le Calcul de la Pression d’Eau
Vous êtes un ingénieur en génie civil chargé de concevoir un système d’alimentation en eau pour une maison. Un réservoir d’eau est placé à 15 mètres au-dessus du niveau du sol, et vous devez assurer une alimentation en eau adéquate pour une maison située 10 mètres plus bas que le réservoir. L’objectif est de déterminer si la pression de l’eau à l’entrée de la maison est suffisante pour répondre aux besoins quotidiens, sans l’ajout d’une pompe supplémentaire.
Données
- Hauteur du réservoir au-dessus du sol : 15 m
- Hauteur de la maison sous le réservoir : 5 m
- Densité de l’eau : 1000 kg/m³
- Accélération due à la gravité : 9.81 m/s²
Questions:
1. Quelle est la hauteur effective d’eau au-dessus de l’entrée de la maison ?
- Calculez la différence de hauteur entre le réservoir et l’entrée de la maison.
2. Quelle formule permet de calculer la pression à une certaine profondeur dans un fluide ?
- Rappel de la théorie sur l’équation de la statique des fluides.
3. Quelle est la pression de l’eau à l’entrée de la maison en utilisant les données fournies ?
- Appliquez l’équation de la statique des fluides en substituant les valeurs données pour trouver la pression à l’entrée de la maison.
Correction : Calcul de la Pression d’Eau
1. Calcul de la hauteur effective d’eau au-dessus de l’entrée de la maison
La pression à l’entrée de la maison dépend de la hauteur de la colonne d’eau qui se trouve au-dessus. Cette hauteur effective est la différence entre l’altitude du réservoir et l’altitude de l’entrée de la maison.
Données
- Hauteur du réservoir au-dessus du sol : 15 m
- Hauteur de l’entrée de la maison :
La maison se situe 10 m plus bas que le réservoir.
Par conséquent, si le réservoir est à 15 m, l’entrée de la maison se trouve à :
\[ 15\ \text{m} – 10\ \text{m} = 5\ \text{m} \]
Calcul:
La hauteur effective de la colonne d’eau est :
\(h_{\text{effectif}}\) = Hauteur du réservoir – Hauteur de l’entrée de la maison
En substituant les valeurs :
\[ h_{\text{effectif}} = 15\ \text{m} – 5\ \text{m} = 10\ \text{m} \]
Conclusion
La hauteur effective d’eau au-dessus de l’entrée de la maison est 10 m.
2. Formule permettant de calculer la pression dans un fluide
En statique des fluides, la pression exercée par une colonne de liquide est due au poids du liquide situé au-dessus du point considéré. Cette pression s’exprime par l’équation hydrostatique.
Formule:
L’équation de la pression hydrostatique est :
\[ P = \rho \cdot g \cdot h \]
où :
- \( P \) est la pression (en Pascal, Pa),
- \( \rho \) est la densité du fluide (en kg/m³),
- \( g \) est l’accélération due à la gravité (en m/s²),
- \( h \) est la hauteur de la colonne de fluide (en m).
Données:
- Densité de l’eau (\( \rho \)) : 1000 kg/m³
- Accélération due à la gravité (\( g \)) : 9.81 m/s²
- Hauteur effective (\( h \)) : 10 m (calculée précédemment)
3. Calcul de la pression à l’entrée de la maison
Substitution des valeurs:
En appliquant la formule :
\[ P = \rho \cdot g \cdot h = 1000\ \text{kg/m}^3 \times 9.81\ \text{m/s}^2 \times 10\ \text{m} \]
Calcul:
\[ P = 1000 \times 9.81 \times 10 \] \[ P = 98100\ \text{Pa} \]
Conclusion
La pression de l’eau à l’entrée de la maison est de 98 100 Pa, soit 98,1 kPa.
4. Rappel de la théorie sur l’équation de la statique des fluides
Dans un fluide au repos, la variation de pression avec la profondeur est due au poids de la colonne de fluide située au-dessus. En considérant une tranche infinitésimale de fluide de hauteur \( dh \) et de surface \( A \), on a la relation :
\[ dP = \rho \cdot g \cdot dh \]
En intégrant cette expression de la surface libre (où la pression est, par exemple, égale à la pression atmosphérique) jusqu’à une profondeur \( h \), on obtient :
\[ P = P_{\text{surface}} + \rho \cdot g \cdot h \]
Si l’on considère la pression relative (ou pression manométrique) par rapport à la pression atmosphérique, on prend \( P_{\text{surface}} = 0 \) et on retrouve :
\[ P = \rho \cdot g \cdot h \]
Conclusion théorique
Cette équation montre que la pression augmente linéairement avec la profondeur dans le fluide, ce qui permet de calculer facilement la pression à un point donné à l’aide de la densité du fluide, de l’accélération due à la gravité et de la hauteur de la colonne d’eau au-dessus de ce point.
Conclusion Générale
- Hauteur effective d’eau : 10 m
- Pression calculée : 98 100 Pa (ou 98,1 kPa)
Cette pression de 98,1 kPa à l’entrée de la maison, résultant uniquement de la colonne d’eau de 10 m de hauteur, sera évaluée par l’ingénieur pour déterminer si elle est suffisante pour alimenter la maison sans recourir à une pompe supplémentaire.
Calcul de la Pression d’Eau
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