Calcul de l’écart de fermeture angulaire

1. Calcul de l’écart de fermeture angulaire

Dans un polygone fermé, la somme des angles internes théoriques est donnée par la formule :
\[ S_{\text{théorique}} = (n - 2) \times 180° \]
où \( n \) est le nombre de côtés (ou de sommets). Pour le pentagone de cet exercice, \( n = 5 \).
L’écart de fermeture angulaire se calcule en comparant la somme des angles mesurés sur le terrain et la somme théorique attendue.
La formule de calcul de l’écart de fermeture angulaire est donc :
\[ \Delta_{\text{angle}} = S_{\text{mesuré}} - S_{\text{théorique}} \]

Données

Les mesures des angles internes au niveau de chaque point sont :

• Point A : 120°
• Point B : 115°
• Point C : 108°
• Point D : 102°
• Point E : 95°

Calcul

Étape 1 : Calcul de la somme théorique des angles
Pour un pentagone (\( n = 5 \)) :
\[ S_{\text{théorique}} = (5 - 2) \times 180° \] \[ S_{\text{théorique}} = 3 \times 180° \] \[ S_{\text{théorique}} = 540° \]

Étape 2 : Calcul de la somme des angles mesurés
\[ S_{\text{mesuré}} = 120° + 115° + 108° + 102° + 95° \]
Addition détaillée :
- \( 120° + 115° = 235° \)
- \( 235° + 108° = 343° \)
- \( 343° + 102° = 445° \)
- \( 445° + 95° = 540° \)
Donc,
\[ S_{\text{mesuré}} = 540° \]

Étape 3 : Calcul de l’écart de fermeture angulaire
\[ \Delta_{\text{angle}} = S_{\text{mesuré}} - S_{\text{théorique}} \] \[ \Delta_{\text{angle}} = 540° - 540° \] \[ \Delta_{\text{angle}} = 0° \]

2. Analyse de l’écart

Normes de précision topographique

Les normes typiques pour un levé de précision moyenne permettent un écart de 0,3° par angle mesuré.

Application de la norme

Pour le pentagone, compte tenu de 5 angles, l'écart théorique toléré pourrait être envisagé comme :
\[ \text{Tolérance totale} = 5 \times 0,3° \] \[ \text{Tolérance totale} = 1,5° \]

Conclusion

Dans cet exercice, l’écart de fermeture angulaire calculé est de 0°.
Puisque 0° est bien en dessous de la tolérance totale admissible de 1,5° (et même de la tolérance par angle), cet écart est acceptable.

3. Discussion

a. Causes potentielles d’un écart inacceptable

Si l’écart de fermeture angulaire avait été non nul (par exemple, supérieur à la tolérance admissible), cela pourrait être dû aux facteurs suivants :

• Erreurs de mesure : Mauvaise lecture de l'angle lors de la prise des mesures.
• Calibrage de l'instrumentation : Instrument de mesure mal calibré ou défectueux (théodolite, station totale, etc.).
• Conditions environnementales : Facteurs tels que le vent ou la température qui peuvent affecter la stabilité et la précision des instruments de mesure.
• Erreurs humaines : Mauvaise manipulation de l’appareil ou erreurs de transcription des mesures.
• Méthodologie de levé : Erreurs dans la procédure de mesure ou dans le délimitation des sommets du polygone.

b. Moyens de correction lors de futurs levés

Pour minimiser les risques d’un écart inacceptable et améliorer la précision des levés, il est recommandé de :

• Réaliser des étalonnages réguliers : Assurer que les instruments de mesure soient calibrés et vérifiés avant chaque levé.
• Reprendre certaines mesures : Effectuer des levés redondants ou croisés pour vérifier la cohérence des données.
• Améliorer les conditions de mesure : Planifier les levés par temps favorable et utiliser des méthodes pour stabiliser les instruments (par exemple, des pieds solides pour les théodolites).
• Former les opérateurs : S'assurer que le personnel est bien formé et connaît les procédures standard de levé.
• Utiliser des technologies de pointe : Adopter des équipements modernes, qui peuvent réduire les erreurs de mesures, notamment en utilisant des systèmes GPS de haute précision lorsque cela est possible.

Conclusion globale

Le calcul de l’écart de fermeture angulaire réalisé montre que la somme des angles mesurés (540°) correspond parfaitement à la somme théorique (540°), ce qui donne un écart de 0°.
Par conséquent, selon les normes de précision (tolérance de 0,3° par angle ou 1,5° au total), l’écart est acceptable.
En cas d’écart inacceptable, plusieurs facteurs tels que des erreurs instrumentales, humaines ou environnementales pourraient être identifiés et corrigés à l’aide des recommandations présentées ci-dessus.