Études de cas pratique

EGC

Calcul des Altitudes et Gradients en Topographie

Calcul des Altitudes et Gradients en Topographie

Introduction aux Altitudes et Gradients

En topographie, l'altitude (ou cote Z) d'un point représente son élévation par rapport à un niveau de référence (souvent le niveau moyen de la mer). La différence d'altitude entre deux points est appelée dénivelée. Le gradient, ou pente, exprime le rapport entre la dénivelée et la distance horizontale entre ces deux points. Il est couramment exprimé en pourcentage (%) ou en pour mille (‰). Ces calculs sont fondamentaux pour comprendre le relief du terrain, concevoir des projets d'aménagement (routes, canalisations, bâtiments) et évaluer les écoulements d'eau.

Données de l'étude

Un levé topographique a permis d'obtenir les coordonnées (X, Y, Z en mètres) de trois points A, B et C :

Point X (m) Y (m) Z (Altitude en m)
A100.00200.0055.20
B250.00280.0058.70
C150.00350.0052.50
Schéma Illustratif de Points et Pente
Points Topographiques et Pente A (Z=55.20m) B (Z=58.70m) Dénivelée (ΔZ) Dist. Horiz. (Dh) Pente = ΔZ / Dh

Schéma simplifié montrant deux points A et B, leur dénivelée et la distance horizontale.

Questions à traiter

  1. Calculer la distance horizontale (\(D_h\)) entre les points A et B.
  2. Calculer la dénivelée (\(\Delta Z\)) entre les points A et B.
  3. Calculer le gradient (la pente en %) de la ligne AB.
  4. Calculer la distance horizontale (\(D_h\)) entre les points B et C.
  5. Calculer la dénivelée (\(\Delta Z\)) entre les points B et C.
  6. Calculer le gradient (la pente en %) de la ligne BC. Indiquer s'il s'agit d'une montée ou d'une descente de B vers C.

Correction : Calcul des Altitudes et Gradients

Question 1 : Distance horizontale (\(D_h\)) entre A et B

Principe :

La distance horizontale entre deux points A(\(X_A, Y_A\)) et B(\(X_B, Y_B\)) dans un système de coordonnées cartésiennes se calcule avec la formule issue du théorème de Pythagore.

Formule(s) utilisée(s) :
\[D_h = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2}\]
Données et Calcul :
  • A: \(X_A = 100.00 \, \text{m}\), \(Y_A = 200.00 \, \text{m}\)
  • B: \(X_B = 250.00 \, \text{m}\), \(Y_B = 280.00 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} D_{h,AB} &= \sqrt{(250.00 - 100.00)^2 + (280.00 - 200.00)^2} \\ &= \sqrt{(150.00)^2 + (80.00)^2} \\ &= \sqrt{22500 + 6400} \\ &= \sqrt{28900} \\ &= 170.00 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La distance horizontale entre A et B est \(D_{h,AB} = 170.00 \, \text{m}\).

Question 2 : Dénivelée (\(\Delta Z\)) entre A et B

Principe :

La dénivelée entre deux points A(\(Z_A\)) et B(\(Z_B\)) est la différence de leurs altitudes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z_{AB} = Z_B - Z_A\]
Données et Calcul :
  • \(Z_A = 55.20 \, \text{m}\)
  • \(Z_B = 58.70 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{AB} &= 58.70 - 55.20 \\ &= 3.50 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La dénivelée entre A et B est \(\Delta Z_{AB} = 3.50 \, \text{m}\). (Montée de A vers B)

Question 3 : Gradient (pente en %) de la ligne AB

Principe :

Le gradient (ou pente) est le rapport de la dénivelée sur la distance horizontale, exprimé en pourcentage.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{Pente}_{AB} (\%) = \left( \frac{\Delta Z_{AB}}{D_{h,AB}} \right) \times 100\]
Données et Calcul :
  • \(\Delta Z_{AB} = 3.50 \, \text{m}\)
  • \(D_{h,AB} = 170.00 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} \text{Pente}_{AB} (\%) &= \left( \frac{3.50}{170.00} \right) \times 100 \\ &\approx 0.020588 \times 100 \\ &\approx 2.059 \% \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le gradient de la ligne AB est d'environ \(+2.06\%\).

Question 4 : Distance horizontale (\(D_h\)) entre B et C

Formule(s) utilisée(s) :
\[D_h = \sqrt{(X_C - X_B)^2 + (Y_C - Y_B)^2}\]
Données et Calcul :
  • B: \(X_B = 250.00 \, \text{m}\), \(Y_B = 280.00 \, \text{m}\)
  • C: \(X_C = 150.00 \, \text{m}\), \(Y_C = 350.00 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} D_{h,BC} &= \sqrt{(150.00 - 250.00)^2 + (350.00 - 280.00)^2} \\ &= \sqrt{(-100.00)^2 + (70.00)^2} \\ &= \sqrt{10000 + 4900} \\ &= \sqrt{14900} \\ &\approx 122.0655 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La distance horizontale entre B et C est \(D_{h,BC} \approx 122.07 \, \text{m}\).

Question 5 : Dénivelée (\(\Delta Z\)) entre B et C

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z_{BC} = Z_C - Z_B\]
Données et Calcul :
  • \(Z_B = 58.70 \, \text{m}\)
  • \(Z_C = 52.50 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{BC} &= 52.50 - 58.70 \\ &= -6.20 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La dénivelée entre B et C est \(\Delta Z_{BC} = -6.20 \, \text{m}\). (Descente de B vers C)

Question 6 : Gradient (pente en %) de la ligne BC

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{Pente}_{BC} (\%) = \left( \frac{\Delta Z_{BC}}{D_{h,BC}} \right) \times 100\]
Données et Calcul :
  • \(\Delta Z_{BC} = -6.20 \, \text{m}\)
  • \(D_{h,BC} \approx 122.07 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} \text{Pente}_{BC} (\%) &= \left( \frac{-6.20}{122.07} \right) \times 100 \\ &\approx -0.05079 \times 100 \\ &\approx -5.079 \% \end{aligned} \]

Le signe négatif indique une descente de B vers C.

Résultat Question 6 : Le gradient de la ligne BC est d'environ \(-5.08\%\). Il s'agit d'une descente de B vers C.

Quiz Intermédiaire : Si la dénivelée entre deux points est négative, cela signifie :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. La distance horizontale entre deux points est calculée en utilisant :

2. Un gradient de +5% sur 200m de distance horizontale correspond à une dénivelée de :

3. Si le point M a une altitude de 150.75m et le point N une altitude de 148.25m, la dénivelée de M vers N est :

Glossaire

Altitude (Z)
Hauteur d'un point par rapport à un niveau de référence donné, généralement le niveau moyen de la mer (NGF - Nivellement Général de la France).
Coordonnées Cartésiennes (X, Y)
Système de positionnement d'un point dans un plan à l'aide de deux axes perpendiculaires (abscisse X et ordonnée Y).
Distance Horizontale (\(D_h\))
Distance entre deux points projetée sur un plan horizontal.
Dénivelée (\(\Delta Z\))
Différence d'altitude entre deux points. Elle peut être positive (montée) ou négative (descente).
Gradient / Pente
Rapport entre la dénivelée et la distance horizontale entre deux points. Généralement exprimé en pourcentage (%) : \((\Delta Z / D_h) \times 100\).
Levé Topographique
Ensemble des opérations consistant à recueillir sur le terrain les données permettant de définir la position et l'altitude des points caractéristiques du site étudié.
Point Géodésique
Point matérialisé sur le terrain dont les coordonnées (X, Y, Z) sont connues avec précision et qui sert de référence pour les levés topographiques.
Calcul des Altitudes et Gradients - Exercice d'Application en Topographie

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