Études de cas pratique

EGC

Calcul de Distances Curvilignes sur Terrain

Calcul de Distances Curvilignes sur Terrain en Topographie

Calcul de Distances Curvilignes sur Terrain

Comprendre le Calcul de Distances Curvilignes

En topographie, de nombreux éléments naturels (rivières, côtes) ou artificiels (routes, voies ferrées, canaux) présentent des tracés curvilignes. La mesure ou le calcul de leur longueur est essentiel pour diverses applications : estimation de quantités de matériaux, planification de travaux, calculs de profils en long, etc. Lorsque la courbe n'est pas définie par une fonction mathématique simple, sa longueur est souvent approchée en la décomposant en une série de segments de droite (cordes) dont les extrémités sont des points levés le long de la courbe. La somme des longueurs de ces segments donne une approximation de la longueur curviligne. Plus le nombre de points levés est élevé (et donc plus les segments sont courts), meilleure est l'approximation.

Données de l'étude

Un topographe a effectué le levé de plusieurs points le long de l'axe d'un projet de route sinueuse. Les coordonnées planimétriques (X, Y) de ces points sont les suivantes :

Point Coordonnée X (\(\text{m}\)) Coordonnée Y (\(\text{m}\))
P1 (Début) \(100.000\) \(200.000\)
P2 \(145.520\) \(230.850\)
P3 \(190.270\) \(215.400\)
P4 \(235.910\) \(240.150\)
P5 (Fin) \(280.600\) \(220.700\)
Schéma : Levé de Points sur un Tracé Curviligne
P1 P2 P3 P4 P5 L12 L23 L34 L45 Approximation d'une Courbe par Segments

Schéma illustrant l'approximation d'une distance curviligne par la somme des longueurs de segments droits.

Questions à traiter

  1. Expliquer pourquoi le calcul de la distance curviligne est important en topographie et comment elle est généralement approchée.
  2. Calculer la longueur du segment P1P2 (\(L_{\text{P1P2}}\)).
  3. Calculer la longueur du segment P2P3 (\(L_{\text{P2P3}}\)).
  4. Calculer la longueur du segment P3P4 (\(L_{\text{P3P4}}\)).
  5. Calculer la longueur du segment P4P5 (\(L_{\text{P4P5}}\)).
  6. Calculer la longueur curviligne totale approximative du tracé P1-P5.
  7. Si l'on souhaitait une meilleure approximation de la longueur curviligne, quelle stratégie de levé adopterait-on ?

Correction : Calcul de Distances Curvilignes sur Terrain

Question 1 : Importance et approximation de la distance curviligne

Importance :

La mesure ou le calcul précis des distances curvilignes est essentiel en topographie et en ingénierie pour de nombreuses raisons :

  • Projets routiers et ferroviaires : Calcul des longueurs d'axes, estimation des volumes de déblais/remblais, métrés.
  • Projets de canalisations et réseaux : Détermination des longueurs de tuyaux ou de câbles à poser le long de tracés non rectilignes.
  • Aménagements fluviaux et côtiers : Mesure de la longueur des berges, des digues, ou de l'évolution du trait de côte.
  • Calculs de profils en long : Essentiel pour représenter la pente et les variations d'altitude le long d'un tracé.
  • Estimations de coûts : De nombreux coûts de construction sont directement liés aux longueurs linéaires des ouvrages.
Approximation :

Lorsque la courbe n'est pas définie par une équation mathématique simple (par exemple, un arc de cercle parfait ou une clothoïde), sa longueur réelle est difficile à calculer directement. La méthode la plus courante pour l'approcher est de :

  1. Lever une série de points discrets le long de la courbe.
  2. Relier ces points consécutifs par des segments de droite (cordes).
  3. Calculer la longueur de chaque segment de droite en utilisant les coordonnées de ses extrémités (distance euclidienne).
  4. Sommer les longueurs de tous ces segments. La somme obtenue est une approximation de la longueur curviligne.

La précision de cette approximation dépend directement de la densité des points levés : plus les points sont nombreux et rapprochés le long de la courbe, plus les segments de droite épousent fidèlement la forme de la courbe, et plus l'approximation de la longueur est précise.

Résultat Question 1 : Les distances curvilignes sont cruciales pour de nombreux projets. Elles sont souvent approchées en sommant les longueurs de segments droits reliant des points levés le long de la courbe.

Question 2 : Longueur du segment P1P2 (\(L_{\text{P1P2}}\))

Principe :

La longueur d'un segment entre deux points P1(\(X_1, Y_1\)) et P2(\(X_2, Y_2\)) est calculée par la formule de la distance euclidienne.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ L = \sqrt{(X_2 - X_1)^2 + (Y_2 - Y_1)^2} \]
Données spécifiques pour P1P2 :
  • P1: \(X_1 = 100.000 \, \text{m}\), \(Y_1 = 200.000 \, \text{m}\)
  • P2: \(X_2 = 145.520 \, \text{m}\), \(Y_2 = 230.850 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{P1P2}} &= 145.520 - 100.000 = 45.520 \, \text{m} \\ \Delta Y_{\text{P1P2}} &= 230.850 - 200.000 = 30.850 \, \text{m} \\ L_{\text{P1P2}} &= \sqrt{(45.520)^2 + (30.850)^2} \\ &= \sqrt{2072.0704 + 951.7225} \\ &= \sqrt{3023.7929} \\ &\approx 54.989 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La longueur du segment P1P2 est \(L_{\text{P1P2}} \approx 54.989 \, \text{m}\).

Question 3 : Longueur du segment P2P3 (\(L_{\text{P2P3}}\))

Principe et Formules :

Identiques à la Q2.

Données spécifiques pour P2P3 :
  • P2: \(X_2 = 145.520 \, \text{m}\), \(Y_2 = 230.850 \, \text{m}\)
  • P3: \(X_3 = 190.270 \, \text{m}\), \(Y_3 = 215.400 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{P2P3}} &= 190.270 - 145.520 = 44.750 \, \text{m} \\ \Delta Y_{\text{P2P3}} &= 215.400 - 230.850 = -15.450 \, \text{m} \\ L_{\text{P2P3}} &= \sqrt{(44.750)^2 + (-15.450)^2} \\ &= \sqrt{2002.5625 + 238.7025} \\ &= \sqrt{2241.265} \\ &\approx 47.342 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La longueur du segment P2P3 est \(L_{\text{P2P3}} \approx 47.342 \, \text{m}\).

Question 4 : Longueur du segment P3P4 (\(L_{\text{P3P4}}\))

Principe et Formules :

Identiques à la Q2.

Données spécifiques pour P3P4 :
  • P3: \(X_3 = 190.270 \, \text{m}\), \(Y_3 = 215.400 \, \text{m}\)
  • P4: \(X_4 = 235.910 \, \text{m}\), \(Y_4 = 240.150 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{P3P4}} &= 235.910 - 190.270 = 45.640 \, \text{m} \\ \Delta Y_{\text{P3P4}} &= 240.150 - 215.400 = 24.750 \, \text{m} \\ L_{\text{P3P4}} &= \sqrt{(45.640)^2 + (24.750)^2} \\ &= \sqrt{2083.0096 + 612.5625} \\ &= \sqrt{2695.5721} \\ &\approx 51.919 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La longueur du segment P3P4 est \(L_{\text{P3P4}} \approx 51.919 \, \text{m}\).

Question 5 : Longueur du segment P4P5 (\(L_{\text{P4P5}}\))

Principe et Formules :

Identiques à la Q2.

Données spécifiques pour P4P5 :
  • P4: \(X_4 = 235.910 \, \text{m}\), \(Y_4 = 240.150 \, \text{m}\)
  • P5: \(X_5 = 280.600 \, \text{m}\), \(Y_5 = 220.700 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{P4P5}} &= 280.600 - 235.910 = 44.690 \, \text{m} \\ \Delta Y_{\text{P4P5}} &= 220.700 - 240.150 = -19.450 \, \text{m} \\ L_{\text{P4P5}} &= \sqrt{(44.690)^2 + (-19.450)^2} \\ &= \sqrt{1997.1961 + 378.3025} \\ &= \sqrt{2375.4986} \\ &\approx 48.739 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La longueur du segment P4P5 est \(L_{\text{P4P5}} \approx 48.739 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si les coordonnées de deux points sont identiques, la distance entre eux est :

Question 6 : Longueur curviligne totale approximative P1-P5

Principe :

La longueur curviligne totale approximative est la somme des longueurs de tous les segments calculés.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ L_{\text{totale}} = L_{\text{P1P2}} + L_{\text{P2P3}} + L_{\text{P3P4}} + L_{\text{P4P5}} \]
Données spécifiques :
  • \(L_{\text{P1P2}} \approx 54.989 \, \text{m}\)
  • \(L_{\text{P2P3}} \approx 47.342 \, \text{m}\)
  • \(L_{\text{P3P4}} \approx 51.919 \, \text{m}\)
  • \(L_{\text{P4P5}} \approx 48.739 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L_{\text{totale}} &\approx 54.989 + 47.342 + 51.919 + 48.739 \\ &\approx 202.989 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La longueur curviligne totale approximative du tracé P1-P5 est d'environ \(202.989 \, \text{m}\).

Question 7 : Amélioration de l'approximation de la longueur curviligne

Principe :

L'approximation de la longueur d'une courbe par une série de segments droits (cordes) est d'autant meilleure que les segments sont courts et nombreux, épousant ainsi plus fidèlement la forme réelle de la courbe.

Stratégie de levé :

Pour améliorer l'approximation de la longueur curviligne, la stratégie de levé consisterait à :

  • Augmenter le nombre de points levés le long de la courbe : Plus il y a de points, plus les segments de droite reliant ces points seront courts.
  • Réduire la distance entre les points consécutifs : En particulier dans les sections où la courbure est la plus prononcée. Sur les portions quasi rectilignes, les points peuvent être plus espacés.
  • Choisir judicieusement l'emplacement des points levés : S'assurer que les points sont représentatifs des changements de direction et de courbure de l'élément à mesurer. Il ne s'agit pas seulement d'augmenter le nombre de points, mais de les placer stratégiquement.

En résumé, une densification des points de levé, surtout dans les zones de forte courbure, permet de réduire l'écart entre la longueur de la corde et la longueur de l'arc correspondant, menant à une estimation plus précise de la longueur curviligne totale.

Résultat Question 7 : Pour améliorer la précision, il faudrait augmenter la densité des points levés le long de la courbe, en particulier dans les zones où la courbure est la plus forte, afin que les segments de droite approchent mieux la forme réelle de la courbe.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. L'approximation de la longueur d'une courbe par la somme des longueurs de segments droits est plus précise si :

9. La formule \(\sqrt{(\Delta X)^2 + (\Delta Y)^2}\) calcule :

10. Pour mesurer la longueur d'une rivière sinueuse avec précision par cette méthode, il faudrait :

Glossaire

Distance Curviligne
Longueur d'un tracé qui n'est pas une ligne droite, mesurée le long de sa courbure.
Levé Topographique
Ensemble des opérations de mesure sur le terrain visant à collecter des données pour représenter la configuration d'un site.
Coordonnées Planimétriques (X, Y)
Couple de valeurs numériques qui définissent la position d'un point sur un plan horizontal par rapport à un système de référence.
Segment de Droite (Corde)
Ligne droite reliant deux points consécutifs sur une courbe. Utilisée pour approximer une portion de la courbe.
Distance Euclidienne
Distance en ligne droite entre deux points dans un espace euclidien, calculée par la formule \( \sqrt{(\Delta X)^2 + (\Delta Y)^2} \) en 2D.
Profil en Long
Représentation graphique des altitudes le long d'un tracé (souvent l'axe d'un projet linéaire comme une route ou un canal).
Calcul de Distances Curvilignes sur Terrain - Exercice d'Application

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