Études de cas pratique

EGC

Distance géodésique entre deux points

Calcul de la Distance Géodésique entre deux Points en Topographie

Calcul de la Distance Géodésique entre deux Points

Comprendre la Distance Géodésique

La distance géodésique est la distance la plus courte entre deux points à la surface d'un corps courbe, comme la Terre. Contrairement à la distance euclidienne calculée sur un plan plat, la distance géodésique tient compte de la courbure de la surface. Pour la Terre, modélisée comme une sphère ou un ellipsoïde, cette distance correspond à la longueur d'un arc de grand cercle (pour une sphère) ou d'une géodésique (pour un ellipsoïde). Le calcul précis de cette distance est fondamental en navigation, en cartographie à grande échelle, et dans de nombreuses applications géospatiales où les distances sont significatives.

Données de l'étude

On souhaite calculer la distance géodésique entre deux villes, Paris (France) et New York (États-Unis), en utilisant leurs coordonnées géographiques (latitude et longitude) et en modélisant la Terre comme une sphère parfaite.

Coordonnées géographiques (en degrés décimaux) :

  • Paris (Point 1) :
    • Latitude \(\phi_1 = 48.8566^\circ \, \text{N}\)
    • Longitude \(\lambda_1 = 2.3522^\circ \, \text{E}\)
  • New York (Point 2) :
    • Latitude \(\phi_2 = 40.7128^\circ \, \text{N}\)
    • Longitude \(\lambda_2 = 74.0060^\circ \, \text{W}\) (soit \(-74.0060^\circ\))

Rayon terrestre moyen :

  • \(R = 6371 \, \text{km}\)

On utilisera la formule de Haversine pour ce calcul.

Schéma : Distance Géodésique sur une Sphère
P1 P2 d Distance Géodésique

Illustration de la distance géodésique (arc de grand cercle) entre deux points P1 et P2 à la surface d'une sphère.

Questions à traiter

  1. Définir la distance géodésique et expliquer son importance par rapport à une distance plane.
  2. Convertir les latitudes (\(\phi_1, \phi_2\)) et les longitudes (\(\lambda_1, \lambda_2\)) des deux villes en radians.
  3. Calculer les différences de latitude (\(\Delta\phi\)) et de longitude (\(\Delta\lambda\)) en radians.
  4. Calculer le terme \(a\) de la formule de Haversine : \(a = \sin^2\left(\frac{\Delta\phi}{2}\right) + \cos\phi_1 \cdot \cos\phi_2 \cdot \sin^2\left(\frac{\Delta\lambda}{2}\right)\).
  5. Calculer la distance angulaire centrale \(c\) : \(c = 2 \cdot \text{atan2}(\sqrt{a}, \sqrt{1-a})\).
  6. Calculer la distance géodésique \(d\) entre Paris et New York en kilomètres.

Correction : Calcul de la Distance Géodésique

Question 1 : Définition et importance de la distance géodésique

Définition :

La distance géodésique est la longueur du chemin le plus court entre deux points situés à la surface d'un corps courbe, tel que la Terre. Sur une sphère, ce chemin est un arc de grand cercle. Sur un ellipsoïde (modèle plus précis de la Terre), c'est une ligne appelée géodésique.

Importance par rapport à une distance plane :

Une distance plane (ou euclidienne) est calculée comme si les points étaient sur une surface plate. Cette approximation est valable pour de courtes distances où la courbure de la Terre est négligeable. Cependant, pour des distances plus longues (par exemple, intercontinentales) :

  • La distance plane sous-estime considérablement la distance réelle parcourue à la surface de la Terre.
  • La distance géodésique tient compte de la courbure terrestre, fournissant une mesure beaucoup plus précise de la "vraie" distance.
  • Elle est essentielle pour la navigation (aérienne, maritime), la cartographie précise, les calculs de propagation d'ondes, et de nombreuses applications en géodésie et en sciences de la Terre.
Ignorer la courbure terrestre sur de longues distances mènerait à des erreurs significatives de positionnement, de navigation et d'estimation des distances.

Résultat Question 1 : La distance géodésique est le plus court chemin entre deux points sur une surface courbe. Elle est cruciale pour les longues distances car elle prend en compte la courbure de la Terre, contrairement à la distance plane.

Question 2 : Conversion des coordonnées en radians

Principe :

Les fonctions trigonométriques dans la plupart des langages de calcul et des formules géodésiques attendent des angles en radians. Pour convertir des degrés en radians, on multiplie par \(\frac{\pi}{180}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Angle}_{\text{rad}} = \text{Angle}_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180} \]
Données spécifiques :
  • Paris: \(\phi_1 = 48.8566^\circ\), \(\lambda_1 = 2.3522^\circ\)
  • New York: \(\phi_2 = 40.7128^\circ\), \(\lambda_2 = -74.0060^\circ\) (Ouest est négatif)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \phi_{1,\text{rad}} &= 48.8566^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0.852666 \, \text{rad} \\ \lambda_{1,\text{rad}} &= 2.3522^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0.041055 \, \text{rad} \\ \phi_{2,\text{rad}} &= 40.7128^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0.710658 \, \text{rad} \\ \lambda_{2,\text{rad}} &= -74.0060^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx -1.291636 \, \text{rad} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Les coordonnées en radians sont :
  • Paris: \(\phi_1 \approx 0.852666 \, \text{rad}\), \(\lambda_1 \approx 0.041055 \, \text{rad}\)
  • New York: \(\phi_2 \approx 0.710658 \, \text{rad}\), \(\lambda_2 \approx -1.291636 \, \text{rad}\)

Question 3 : Calcul des différences \(\Delta\phi\) et \(\Delta\lambda\)

Principe :

On calcule la différence entre les latitudes et les longitudes des deux points, en radians.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta\phi = \phi_{2,\text{rad}} - \phi_{1,\text{rad}} \]
\[ \Delta\lambda = \lambda_{2,\text{rad}} - \lambda_{1,\text{rad}} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta\phi &\approx 0.710658 - 0.852666 = -0.142008 \, \text{rad} \\ \Delta\lambda &\approx -1.291636 - 0.041055 = -1.332691 \, \text{rad} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Les différences sont \(\Delta\phi \approx -0.142008 \, \text{rad}\) et \(\Delta\lambda \approx -1.332691 \, \text{rad}\).

Question 4 : Calcul du terme \(a\) de la formule de Haversine

Principe :

Le terme \(a\) est une étape intermédiaire dans la formule de Haversine.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ a = \sin^2\left(\frac{\Delta\phi}{2}\right) + \cos\phi_{1,\text{rad}} \cdot \cos\phi_{2,\text{rad}} \cdot \sin^2\left(\frac{\Delta\lambda}{2}\right) \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{\Delta\phi}{2} &\approx \frac{-0.142008}{2} = -0.071004 \, \text{rad} \\ \sin\left(\frac{\Delta\phi}{2}\right) &\approx \sin(-0.071004) \approx -0.070903 \\ \sin^2\left(\frac{\Delta\phi}{2}\right) &\approx (-0.070903)^2 \approx 0.0050272 \\ \frac{\Delta\lambda}{2} &\approx \frac{-1.332691}{2} = -0.6663455 \, \text{rad} \\ \sin\left(\frac{\Delta\lambda}{2}\right) &\approx \sin(-0.6663455) \approx -0.617918 \\ \sin^2\left(\frac{\Delta\lambda}{2}\right) &\approx (-0.617918)^2 \approx 0.381823 \\ \cos\phi_{1,\text{rad}} &\approx \cos(0.852666) \approx 0.657669 \\ \cos\phi_{2,\text{rad}} &\approx \cos(0.710658) \approx 0.757974 \\ a &\approx 0.0050272 + (0.657669 \cdot 0.757974 \cdot 0.381823) \\ a &\approx 0.0050272 + (0.498498 \cdot 0.381823) \\ a &\approx 0.0050272 + 0.190348 \\ a &\approx 0.235375 \end{aligned} \]

Note: J'ai gardé plus de décimales pour les calculs intermédiaires pour réduire les erreurs d'arrondi. Le \(a \approx 0.190348\) vient de \(0.498498 \times 0.381823 \approx 0.190348\). Correction: \(a \approx 0.0050272 + 0.190348 \approx 0.1953752\)

Résultat Question 4 : Le terme \(a\) de la formule de Haversine est \(a \approx 0.195375\).

Question 5 : Calcul de la distance angulaire centrale \(c\)

Principe :

La distance angulaire centrale \(c\) est obtenue à partir de \(a\) en utilisant la fonction \(\text{atan2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[c = 2 \cdot \text{atan2}(\sqrt{a}, \sqrt{1-a})\]
Données spécifiques :
  • \(a \approx 0.1953752\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sqrt{a} &\approx \sqrt{0.1953752} \approx 0.4420127 \\ \sqrt{1-a} &\approx \sqrt{1 - 0.1953752} = \sqrt{0.8046248} \approx 0.8970088 \\ c &= 2 \cdot \text{atan2}(0.4420127, 0.8970088) \\ &\approx 2 \cdot \text{atan2}(0.492763) \\ &\approx 2 \cdot 0.4576715 \, \text{rad} \\ &\approx 0.915343 \, \text{rad} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La distance angulaire centrale est \(c \approx 0.915343 \, \text{radians}\).

Quiz Intermédiaire 1 : La fonction \(\text{atan2}(y, x)\) est préférée à \(\text{atan}(y/x)\) car :

Question 6 : Calcul de la distance géodésique \(d\)

Principe :

La distance géodésique \(d\) est le produit de la distance angulaire centrale \(c\) (en radians) par le rayon moyen de la Terre \(R\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ d = R \cdot c \]
Données spécifiques :
  • \(R = 6371 \, \text{km}\)
  • \(c \approx 0.915343 \, \text{rad}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} d &= 6371 \, \text{km} \times 0.915343 \\ &\approx 5832.10 \, \text{km} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La distance géodésique entre Paris et New York est d'environ \(5832 \, \text{km}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. La distance géodésique est la plus courte distance entre deux points :

8. Pour utiliser la formule de Haversine, les coordonnées de latitude et longitude doivent être exprimées en :

9. La formule de Haversine est particulièrement utile pour :

Glossaire

Distance Géodésique
La plus courte distance entre deux points à la surface d'un corps courbe (comme la Terre), suivant la courbure de cette surface.
Latitude (\(\phi\))
Angle mesuré à partir du plan équatorial vers le Nord (positif) ou le Sud (négatif), le long d'un méridien. Varie de \(-90^\circ\) (Pôle Sud) à \(+90^\circ\) (Pôle Nord).
Longitude (\(\lambda\))
Angle mesuré à partir d'un méridien de référence (généralement le méridien de Greenwich) vers l'Est (positif) ou l'Ouest (négatif). Varie de \(-180^\circ\) à \(+180^\circ\).
Radian (rad)
Unité de mesure d'angle du Système International. Un cercle complet correspond à \(2\pi\) radians. \(1 \, \text{rad} \approx 57.2958^\circ\).
Grand Cercle
Cercle tracé à la surface d'une sphère dont le centre coïncide avec le centre de la sphère. L'arc de grand cercle entre deux points est le chemin le plus court entre eux à la surface de la sphère.
Formule de Haversine
Équation utilisée pour calculer la distance de grand cercle entre deux points sur une sphère à partir de leurs longitudes et latitudes. Elle est numériquement plus stable pour de petites distances que les formules basées sur la loi des cosinus pour les sphères.
atan2(y, x)
Fonction trigonométrique à deux arguments qui calcule l'arc tangente de \(y/x\) et utilise les signes de \(x\) et \(y\) pour déterminer le quadrant correct de l'angle résultant (généralement dans l'intervalle \((-\pi, \pi]\)).
Calcul de la Distance Géodésique - Exercice d'Application

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1 Commentaire
  1. Guilhem
    Guilhem sur 3 décembre 2024 à 8h43

    Vraiment je vous remercie de partager ces cours, c’est pas facile de trouver des explications ou des mises en application aussi claires, surtout quand on est plus dans le cursus scolaire depuis longtemps!
    Encore un grand merci!

    Réponse
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