Études de cas pratique

EGC

Calcul de la pente entre deux points

Calcul de la Pente Entre Deux Points en Topographie

Calcul de la Pente Entre Deux Points en Topographie

Comprendre le Calcul de la Pente Entre Deux Points

La pente entre deux points topographiques est une mesure fondamentale qui décrit l'inclinaison du terrain entre ces points. Elle est calculée en rapportant la différence d'altitude (dénivelée) à la distance horizontale. Cette information est cruciale pour de nombreux projets d'ingénierie civile, tels que la conception de routes, de voies ferrées, de canalisations, ainsi que pour des études d'aménagement du territoire, d'hydrologie (calcul des bassins versants) et d'agriculture. La pente peut être exprimée en pourcentage, en degrés, ou sous forme de rapport (par exemple, 1 pour X), chaque expression ayant son utilité selon le contexte d'application.

Données de l'étude

On souhaite déterminer la pente du terrain entre deux points M et N dont les coordonnées ont été relevées.

Coordonnées des points (en mètres) :

  • Point M :
    • \(X_{\text{M}} = 350.75\)
    • \(Y_{\text{M}} = 820.40\)
    • Altitude (\(Z_{\text{M}}\)) : \(215.60\)
  • Point N :
    • \(X_{\text{N}} = 580.25\)
    • \(Y_{\text{N}} = 710.90\)
    • Altitude (\(Z_{\text{N}}\)) : \(203.20\)

Hypothèses :

  • Les coordonnées sont dans un système plan orthonormé.
  • Les mesures sont considérées comme exactes pour cet exercice.

Schéma : Calcul de pente entre M et N
{/* */} {/* */} M (ZM) N (ZN) {/* */} {/* */} {/* */} {/* */} α {/* */} {/* */} ΔZ {/* */} Dh Pente entre Deux Points Topographiques

Schéma illustrant la dénivelée (\(\Delta Z\)) et la distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) entre deux points M et N pour le calcul de la pente.

Questions à traiter

  1. Calculer la distance horizontale (\(D_{\text{hMN}}\)) entre les points M et N.
  2. Calculer la dénivelée (\(\Delta Z_{\text{MN}}\)) entre les points M et N. Préciser si la pente est montante ou descendante de M vers N.
  3. Calculer la pente (\(P_{\text{MN}}\)) entre M et N en pourcentage (\(\%\)).
  4. Calculer l'angle de la pente (\(\alpha_{\text{MN}}\)) entre M et N en degrés décimaux, puis en degrés, minutes, secondes.
  5. Calculer la distance suivant la pente (\(D_{\text{pMN}}\)) entre M et N.

Correction : Calcul de la Pente Entre Deux Points

Question 1 : Distance Horizontale (\(D_{\text{hMN}}\)) entre M et N

Principe :

La distance horizontale entre deux points de coordonnées (\(X_{\text{M}}, Y_{\text{M}}\)) et (\(X_{\text{N}}, Y_{\text{N}}\)) est donnée par la formule issue du théorème de Pythagore.

Formule(s) utilisée(s) :
\[D_{\text{hMN}} = \sqrt{(X_{\text{N}} - X_{\text{M}})^2 + (Y_{\text{N}} - Y_{\text{M}})^2}\]
Données spécifiques :
  • Point M : \(X_{\text{M}} = 350.75 \, \text{m}\), \(Y_{\text{M}} = 820.40 \, \text{m}\)
  • Point N : \(X_{\text{N}} = 580.25 \, \text{m}\), \(Y_{\text{N}} = 710.90 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta X &= X_{\text{N}} - X_{\text{M}} = 580.25 - 350.75 = 229.50 \, \text{m} \\ \Delta Y &= Y_{\text{N}} - Y_{\text{M}} = 710.90 - 820.40 = -109.50 \, \text{m} \\ D_{\text{hMN}} &= \sqrt{(229.50)^2 + (-109.50)^2} \\ &= \sqrt{52670.25 + 11990.25} \\ &= \sqrt{64660.50} \\ &\approx 254.284 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La distance horizontale entre M et N est \(D_{\text{hMN}} \approx 254.28 \, \text{m}\).

Question 2 : Dénivelée (\(\Delta Z_{\text{MN}}\)) entre M et N

Principe :

La dénivelée est la différence d'altitude entre le point N et le point M.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z_{\text{MN}} = Z_{\text{N}} - Z_{\text{M}}\]
Données spécifiques :
  • Altitude de M (\(Z_{\text{M}}\)) : \(215.60 \, \text{m}\)
  • Altitude de N (\(Z_{\text{N}}\)) : \(203.20 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{\text{MN}} &= 203.20 \, \text{m} - 215.60 \, \text{m} \\ &= -12.40 \, \text{m} \end{aligned} \]

Le signe négatif indique que le point N est plus bas que le point M, donc la pente est descendante de M vers N.

Résultat Question 2 : La dénivelée entre M et N est \(\Delta Z_{\text{MN}} = -12.40 \, \text{m}\). La pente est descendante de M vers N.

Question 3 : Pente (\(P_{\text{MN}}\)) entre M et N en Pourcentage (%)

Principe :

La pente en pourcentage est le rapport de la dénivelée (\(\Delta Z_{\text{MN}}\)) à la distance horizontale (\(D_{\text{hMN}}\)), multiplié par 100.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{MN}} (\%) = \frac{\Delta Z_{\text{MN}}}{D_{\text{hMN}}} \times 100\]
Données spécifiques :
  • Dénivelée (\(\Delta Z_{\text{MN}}\)) : \(-12.40 \, \text{m}\)
  • Distance horizontale (\(D_{\text{hMN}}\)) : \(254.284 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{MN}} (\%) &= \frac{-12.40 \, \text{m}}{254.284 \, \text{m}} \times 100 \\ &\approx -0.048764 \times 100 \\ &\approx -4.8764 \% \end{aligned} \]

Arrondi à deux décimales : \(-4.88 \%\).

Résultat Question 3 : La pente entre M et N est d'environ \(-4.88 \%\).

Quiz Intermédiaire 1 : Une pente de \(-2\%\) signifie une descente de :

Question 4 : Angle de la Pente (\(\alpha_{\text{MN}}\)) en Degrés

Principe :

L'angle de la pente (\(\alpha\)) est l'angle dont la tangente est égale au rapport de la valeur absolue de la dénivelée à la distance horizontale. \(\tan(\alpha) = \frac{|\Delta Z|}{D_{\text{h}}}\). Le signe de la dénivelée indique si l'angle est ascendant ou descendant.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\alpha_{\text{MN}} = \arctan\left(\frac{\Delta Z_{\text{MN}}}{D_{\text{hMN}}}\right)\]
Données spécifiques :
  • Rapport \(\frac{\Delta Z_{\text{MN}}}{D_{\text{hMN}}} \approx -0.048764\)
Calcul en degrés décimaux :
\[ \begin{aligned} \alpha_{\text{MN}} &= \arctan(-0.048764) \\ &\approx -2.7916^\circ \end{aligned} \]
Conversion en Degrés, Minutes, Secondes (DMS) :

Partie entière : \(-2^\circ\).

Partie décimale pour les minutes : \(0.7916 \times 60 = 47.496'\). Soit \(47'\).

Partie décimale pour les secondes : \(0.496 \times 60 \approx 29.76'' \approx 30''\).

Donc, \(\alpha_{\text{MN}} \approx -2^\circ 47' 30''\).

Résultat Question 4 : L'angle de la pente est \(\alpha_{\text{MN}} \approx -2.79^\circ\), soit environ \(-2^\circ 47' 30''\).

Question 5 : Distance Suivant la Pente (\(D_{\text{pMN}}\)) entre M et N

Principe :

La distance suivant la pente (\(D_{\text{pMN}}\)) est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont la distance horizontale (\(D_{\text{hMN}}\)) et la valeur absolue de la dénivelée (\(|\Delta Z_{\text{MN}}|\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[D_{\text{pMN}} = \sqrt{D_{\text{hMN}}^2 + (\Delta Z_{\text{MN}})^2}\]

Ou, à partir de l'angle \(\alpha_{\text{MN}}\) (en valeur absolue pour le calcul de longueur) :

\[D_{\text{pMN}} = \frac{D_{\text{hMN}}}{\cos(|\alpha_{\text{MN}}|)}\]
Données spécifiques :
  • \(D_{\text{hMN}} \approx 254.284 \, \text{m}\)
  • \(\Delta Z_{\text{MN}} = -12.40 \, \text{m}\)
  • \(|\alpha_{\text{MN}}| \approx 2.7916^\circ\)
Calcul (Méthode 1 - Pythagore) :
\[ \begin{aligned} D_{\text{pMN}} &= \sqrt{(254.284)^2 + (-12.40)^2} \\ &= \sqrt{64660.50 + 153.76} \\ &= \sqrt{64814.26} \\ &\approx 254.586 \, \text{m} \end{aligned} \]
Calcul (Méthode 2 - Trigonométrie, vérification) :
\[ \begin{aligned} D_{\text{pMN}} &= \frac{254.284}{\cos(2.7916^\circ)} \\ &\approx \frac{254.284}{0.99881} \\ &\approx 254.586 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La distance suivant la pente entre M et N est \(D_{\text{pMN}} \approx 254.59 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la dénivelée entre deux points est nulle, la distance suivant la pente est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La pente d'un terrain est le rapport entre :

2. Si \(Z_1 = 50\,\text{m}\) et \(Z_2 = 45\,\text{m}\), la dénivelée \(\Delta Z_{12}\) de 1 vers 2 est :

3. Une pente de \(10\%\) correspond à un angle d'environ :

Glossaire

Dénivelée (\(\Delta Z\))
Différence d'altitude (ou de hauteur) entre deux points. Elle est positive si le second point est plus haut que le premier, et négative si le second point est plus bas.
Distance Horizontale (\(D_{\text{h}}\))
Projection de la distance entre deux points sur un plan horizontal. C'est la distance utilisée pour les calculs de pente et sur les cartes topographiques.
Pente
Mesure de l'inclinaison d'une surface ou d'une ligne par rapport à l'horizontale. Elle est calculée comme le rapport de la dénivelée à la distance horizontale.
Pente en Pourcentage (%)
Pente exprimée comme une dénivelée pour 100 unités de distance horizontale. Calculée par \((\Delta Z / D_{\text{h}}) \times 100\).
Angle de Pente (\(\alpha\))
Angle, généralement en degrés, que fait la ligne de pente avec le plan horizontal. Calculé par \(\alpha = \arctan(\Delta Z / D_{\text{h}})\).
Distance Suivant la Pente (\(D_{\text{p}}\))
Distance réelle mesurée le long de la surface du terrain (ou de la ligne inclinée) entre deux points. C'est l'hypoténuse du triangle formé par la distance horizontale et la dénivelée.
Coordonnées (X, Y, Z)
Ensemble de valeurs numériques qui définissent la position d'un point dans un espace tridimensionnel. X et Y sont les coordonnées planimétriques, Z est l'altitude.
Calcul de la Pente Entre Deux Points - Exercice d'Application

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