Calcul des angles en topographie

Comprendre le Calcul des angles en topographie

Vous êtes un ingénieur en génie civil travaillant sur un projet de développement d’un nouveau quartier résidentiel. Avant de commencer la construction, une étude topographique doit être réalisée pour planifier correctement les infrastructures. Une partie cruciale de cette étude consiste à déterminer les angles entre les différents points de repère pour assurer que les routes et les canalisations soient correctement alignées.

Pour comprendre le Calcul des coordonnées d’un point en Topographie, cliquez sur le lien.

Données:

Vous disposez des coordonnées de trois points sur un plan, qui représentent les emplacements des futurs points clés du quartier (par exemple, intersections, entrées de services, etc.) :

Point A : \((100, 150)\)
Point B : \((200, 350)\)
Point C : \((300, 200)\)

Questions:

1. Calcul de la pente : Calculez la pente des droites AB et BC.

2. Calcul des angles :

Déterminez l’angle entre les droites AB et BC en utilisant les pentes calculées précédemment.

3. Application pratique : Expliquez comment l’angle calculé peut influencer la planification des routes dans le quartier résidentiel.

Correction : Calcul des angles en topographie

1. Calcul de la pente

La pente d’une droite dans un plan est déterminée par le rapport entre la variation verticale (différence des ordonnées) et la variation horizontale (différence des abscisses).

Formule utilisée :

\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]

Calcul pour la droite AB :

Données :

Point A : \( (100, 150) \)
Point B : \( (200, 350) \)

Application de la formule :

\[ m_{AB} = \frac{350 – 150}{200 – 100} \] \[ m_{AB} = \frac{200}{100} = 2 \]

Résultat :
La pente de la droite AB est 2.

Calcul pour la droite BC :

Données :

Point B : \( (200, 350) \)
Point C : \( (300, 200) \)

Application de la formule :

\[ m_{BC} = \frac{200 – 350}{300 – 200} \] \[ m_{BC} = \frac{-150}{100} = -1,5 \]

Résultat :
La pente de la droite BC est -1,5.

2. Calcul des angles entre les droites

Pour déterminer l’angle \(\theta\) entre deux droites dont les pentes sont \(m_1\) et \(m_2\), on utilise la formule :

\[ \tan(\theta) = \left|\frac{m_2 – m_1}{1 + m_1 \cdot m_2}\right| \]

Ensuite, \(\theta\) est trouvé en calculant l’arc tangente (fonction \(\arctan\)) de cette valeur.

Données et application :

Données :

\(m_{AB} = 2\)
\(m_{BC} = -1,5\)

Calcul du numérateur :

\[ m_{BC} – m_{AB} = -1,5 – 2 = -3,5 \]

Calcul du dénominateur :

\[ 1 + m_{AB} \cdot m_{BC} = 1 + (2 \times -1,5) = 1 – 3 = -2 \]

Calcul de la tangente de l’angle (valeur absolue) :

\[ \left|\frac{-3,5}{-2}\right| = \frac{3,5}{2} = 1,75 \]

Détermination de l’angle :

\[ \theta = \arctan(1,75) \]

En utilisant une calculatrice ou une table trigonométrique, on obtient :

\[ \theta \approx 60,3^\circ \]

Résultat :
L’angle entre les droites AB et BC est d’environ 60,3°.

3. Application pratique dans la planification des routes

L’angle calculé entre les droites représente l’orientation relative de deux segments de route ou de canalisation dans le plan. Voici quelques impacts de cet angle dans la planification :

Conception des intersections :
Un angle d’environ 60° entre deux routes peut nécessiter la mise en place d’une intersection conçue pour faciliter les manœuvres des véhicules et assurer une bonne visibilité pour la sécurité routière.
Rayon de courbure :
Lorsque les routes changent d’orientation, le rayon de courbure doit être adapté pour garantir le confort et la sécurité des usagers. Un angle important peut impliquer des courbes plus douces et un ajustement des distances de transition.
Drainage et voirie :
L’alignement des infrastructures (routes, canalisations, trottoirs) est essentiel pour la gestion des eaux pluviales. Un mauvais alignement peut conduire à des problèmes de drainage ou de circulation.
Esthétique et intégration dans le paysage :
L’angle entre les routes peut influencer la perception visuelle du quartier. Une bonne orientation permet une intégration harmonieuse avec le relief et les constructions existantes ou projetées.

Conclusion :

Le résultat obtenu (\(\theta \approx 60,3^\circ\)) permet aux ingénieurs et aux urbanistes de prendre des décisions éclairées sur la configuration des routes et des infrastructures. Une compréhension précise des angles facilite la conception d’intersections sécurisées, optimise la circulation et garantit une intégration cohérente des différents éléments du projet résidentiel.

Calcul des angles en topographie

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