Calcul de la Tolérance de Fermeture Angulaire
Comprendre le Calcul de la Tolérance de Fermeture Angulaire
Vous êtes un géomètre en charge d’un projet de levé topographique pour un nouveau parc urbain. Le parc est approximativement rectangulaire, et vous avez décidé de le subdiviser en une série de triangles pour en faciliter la mesure. Afin d’assurer la précision de votre travail, vous devez calculer la tolérance de fermeture angulaire pour vérifier la qualité du levé.
Pour comprendre la Correction de la Fermeture Planimétrique, cliquez sur le lien.
Données de l’Exercice:
Vous avez mesuré les angles internes des cinq triangles formés à l’intérieur du parc. Les mesures prises sont les suivantes:
- Triangle 1: \(A_1 = 60^\circ\), \(B_1 = 85^\circ\), \(C_1 = 35^\circ\)
- Triangle 2: \(A_2 = 50^\circ\), \(B_2 = 60^\circ\), \(C_2 = 70^\circ\)
- Triangle 3: \(A_3 = 55^\circ\), \(B_3 = 85^\circ\), \(C_3 = 40^\circ\)
- Triangle 4: \(A_4 = 65^\circ\), \(B_4 = 75^\circ\), \(C_4 = 40^\circ\)
- Triangle 5: \(A_5 = 70^\circ\), \(B_5 = 80^\circ\), \(C_5 = 30^\circ\)
Questions:
1. Vérification des Mesures Angulaires:
Vérifiez si les mesures angulaires de chaque triangle sont correctes. Rappelez-vous que la somme des angles dans un triangle est toujours égale à \(180^\circ\).
2. Calcul de la Tolérance de Fermeture Angulaire:
- Calculez l’erreur de fermeture angulaire pour chaque triangle. L’erreur est définie comme la différence entre la somme des angles mesurés et \(180^\circ\).
- Déterminez si l’erreur est acceptable en utilisant la formule de tolérance suivante : \(T = n \times 0.07^\circ\), où \(n\) est le nombre de points angulaires mesurés (trois pour chaque triangle).
3. Analyse et Conclusion:
- Si un triangle ne respecte pas la tolérance, identifiez des mesures correctives potentielles.
- Discutez de l’impact potentiel d’une erreur de fermeture sur la précision du projet de levé topographique global.
Correction : Calcul de la Tolérance de Fermeture Angulaire
1. Vérification des Mesures Angulaires
Pour chaque triangle, la somme des angles intérieurs doit être égale à \(180^\circ\). Nous allons vérifier cette propriété pour chacun des cinq triangles.
Formule
\[ \text{Somme des angles} = A + B + C \]
et doit être égale à \(180^\circ\)
Données et Calculs
Triangle 1 :
Données :
- \( A_1 = 60^\circ \),
- \( B_1 = 85^\circ \),
- \( C_1 = 35^\circ \)
Calcul :
\[ 60^\circ + 85^\circ + 35^\circ = 180^\circ \]
Conclusion : La somme est exactement \(180^\circ\).
Triangle 2 :
Données :
- \( A_2 = 50^\circ \),
- \( B_2 = 60^\circ \),
- \( C_2 = 70^\circ \)
Calcul :
\[ 50^\circ + 60^\circ + 70^\circ = 180^\circ \]
Conclusion : La somme est exactement \(180^\circ\).
Triangle 3 :
Données :
- \( A_3 = 55^\circ \),
- \( B_3 = 85^\circ \),
- \( C_3 = 40^\circ \)
Calcul :
\[ 55^\circ + 85^\circ + 40^\circ = 180^\circ \]
Conclusion : La somme est exactement \(180^\circ\).
Triangle 4 :
Données :
- \( A_4 = 65^\circ \),
- \( B_4 = 75^\circ \),
- \( C_4 = 40^\circ \)
Calcul :
\[ 65^\circ + 75^\circ + 40^\circ = 180^\circ \]
Conclusion : La somme est exactement \(180^\circ\).
Triangle 5 :
Données :
- \( A_5 = 70^\circ \),
- \( B_5 = 80^\circ \),
- \( C_5 = 30^\circ \)
Calcul :
\[ 70^\circ + 80^\circ + 30^\circ = 180^\circ \]
Conclusion : La somme est exactement \(180^\circ\).
2. Calcul de la Tolérance de Fermeture Angulaire
La fermeture angulaire se mesure par l’erreur entre la somme des angles mesurés et \(180^\circ\). Pour vérifier si l’erreur est acceptable, on compare cette erreur à la tolérance donnée par la formule :
\[ T = n \times 0.07^\circ \]
où \(n\) est le nombre de points angulaires mesurés pour chaque triangle (ici, \(n = 3\)).
Formule
- Erreur de fermeture angulaire pour un triangle :
\[ \text{Erreur} = \text{(Somme mesurée)} – 180^\circ \]
- Tolérance :
\[ T = 3 \times 0.07^\circ = 0.21^\circ \]
Données et Calculs
Pour chacun des triangles, nous avons trouvé :
Triangle 1 :
- Somme mesurée = \(180^\circ\)
\[ \text{Erreur} = 180^\circ – 180^\circ = 0^\circ \]
Triangle 2 :
- Somme mesurée = \(180^\circ\)
\[ \text{Erreur} = 180^\circ – 180^\circ = 0^\circ \]
Triangle 3 :
- Somme mesurée = \(180^\circ\)
\[ \text{Erreur} = 180^\circ – 180^\circ = 0^\circ \]
Triangle 4 :
- Somme mesurée = \(180^\circ\)
\[ \text{Erreur} = 180^\circ – 180^\circ = 0^\circ \]
Triangle 5 :
- Somme mesurée = \(180^\circ\)
\[ \text{Erreur} = 180^\circ – 180^\circ = 0^\circ \]
Comparaison avec la Tolérance
Pour chaque triangle, l’erreur calculée est \(0^\circ\) et la tolérance autorisée est \(0.21^\circ\).
- Conclusion :
\[ 0^\circ \leq 0.21^\circ \quad \text{pour tous les triangles} \]
Ainsi, toutes les mesures angulaires sont conformes à la tolérance.
3. Analyse et Conclusion
Analyse
-
Conformité des Mesures :
Toutes les mesures angulaires des cinq triangles respectent la condition fondamentale d’un triangle, à savoir une somme de \(180^\circ\). L’erreur de fermeture pour chaque triangle est de \(0^\circ\), ce qui est bien en dessous de la tolérance maximale de \(0.21^\circ\). -
Mesures Correctes et Fiables : Étant donné qu’il n’y a aucune erreur de fermeture, cela indique que le levé topographique est très précis pour ces triangles. Aucune correction immédiate n’est nécessaire pour ces mesures spécifiques.
Mesures Correctives Potentielles (en cas de dépassement de la tolérance)
- Si, dans un cas hypothétique, un triangle avait présenté une erreur supérieure à \(0.21^\circ\), il serait nécessaire de :
- Re-vérifier les mesures : Contrôler la précision des instruments utilisés.
- Procéder à des re-mesures : Mesurer à nouveau les angles du triangle concerné.
- Corriger les erreurs de calcul : Assurer que la méthode de mesure et le calcul de la somme des angles sont correctement appliqués.
Impact Potentiel sur le Projet de Levé Topographique
- Précision Globale :
Une erreur de fermeture angulaire significative dans un ou plusieurs triangles pourrait entraîner des inexactitudes dans la détermination des distances et des positions des points topographiques.- Propagation des erreurs : Une petite erreur peut se propager et affecter le calcul des coordonnées de nombreux points, compromettant la fiabilité du plan global.
- Fiabilité du projet : Un levé topographique précis est crucial pour la planification, la construction et l’aménagement d’un parc urbain. Des erreurs pourraient entraîner des corrections coûteuses et des retards dans le projet.
Conclusion Finale
Les mesures angulaires de tous les triangles sont correctes puisque la somme des angles de chaque triangle est exactement \(180^\circ\) et l’erreur de fermeture est \(0^\circ\), bien en dessous de la tolérance de \(0.21^\circ\). Le levé topographique est donc considéré comme fiable et précis pour cette partie du projet.
Calcul de la Tolérance de Fermeture Angulaire
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