Calcul de l’Angle au Sommet
Comprendre le Calcul de l’Angle au Sommet
Vous êtes un topographe travaillant sur un projet de développement d’une nouvelle zone résidentielle. Avant de commencer la construction, il est essentiel de déterminer les angles formés par les sommets des terrains pour optimiser l’agencement des rues et des lots. Vous êtes chargé de calculer l’angle au sommet d’un triangle formé par trois bornes repères sur le terrain.
Pour comprendre le Calcul des altitudes en topographie, cliquez sur le lien.
Données:
- Borne A se trouve aux coordonnées (100 m, 200 m).
- Borne B se trouve aux coordonnées (150 m, 450 m).
- Borne C se trouve aux coordonnées (300 m, 350 m).
Les coordonnées sont données dans un système de référence local où les valeurs sont exprimées en mètres.
Questions:
1. Calculez d’abord les distances entre chaque paire de bornes:
- Distance \(AB\)
- Distance \(BC\)
- Distance \(CA\)
2. Utilisez la formule de la loi des cosinus pour déterminer l’angle au sommet \(\angle BAC\) du triangle formé par les trois bornes.
Correction : Calcul de l’Angle au Sommet
1. Calcul des distances entre chaque paire de bornes
1.1. Calcul de la distance AB
La distance entre deux points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\) dans le plan est donnée par la formule :
\[ d_{AB} = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} \]
Données :
- \(A(100\,\text{m},\,200\,\text{m})\)
- \(B(150\,\text{m},\,450\,\text{m})\).
Calcul :
\[ d_{AB} = \sqrt{(150 – 100)^2 + (450 – 200)^2} \] \[ d_{AB} = \sqrt{50^2 + 250^2} \] \[ d_{AB} = \sqrt{2500 + 62500} \] \[ d_{AB} = \sqrt{65000} \] \[ d_{AB} \approx 254,95\,\text{m} \]
1.2. Calcul de la distance BC
Pour les points \(B(x_B, y_B)\) et \(C(x_C, y_C)\), la formule de la distance s’applique de la même façon.
Données :
- \(B(150\,\text{m},\,450\,\text{m})\)
- \(C(300\,\text{m},\,350\,\text{m})\).
Calcul :
\[ d_{BC} = \sqrt{(300 – 150)^2 + (350 – 450)^2} \] \[ d_{BC} = \sqrt{150^2 + (-100)^2} \] \[ d_{BC} = \sqrt{22500 + 10000} \] \[ d_{BC} = \sqrt{32500} \] \[ d_{BC} \approx 180,28\,\text{m} \]
1.3. Calcul de la distance CA
Pour les points \(C(x_C, y_C)\) et \(A(x_A, y_A)\), on applique la même formule.
Données :
- \(C(300\,\text{m},\,350\,\text{m})\)
- \(A(100\,\text{m},\,200\,\text{m})\).
Calcul :
\[ d_{CA} = \sqrt{(300 – 100)^2 + (350 – 200)^2} \] \[ d_{CA} = \sqrt{200^2 + 150^2} \] \[ d_{CA} = \sqrt{40000 + 22500} \] \[ d_{CA} = \sqrt{62500} \] \[ d_{CA} = 250\,\text{m} \]
2. Calcul de l’angle au sommet \(\angle BAC\) à l’aide de la loi des cosinus
2.1. Formule de la loi des cosinus
Pour un triangle \(ABC\), la loi des cosinus permet de calculer l’angle au sommet A (\(\angle BAC\)) à partir des longueurs des côtés :
\[ \cos(\angle A) = \frac{AB^2 + AC^2 – BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \]
Données :
- \(AB = \sqrt{65000} \approx 254,95\,\text{m}\)
- \(AC = d_{CA} = 250\,\text{m}\)
- \(BC = \sqrt{32500} \approx 180,28\,\text{m}\)
2.2. Substitution et calcul
1. Calcul des carrés des distances :
\[ AB^2 = 65000,\quad AC^2 = 62500,\quad BC^2 = 32500 \]
2. Substitution dans la formule :
\[ \cos(\angle A) = \frac{65000 + 62500 – 32500}{2 \cdot 254,95 \cdot 250} \] \[ \cos(\angle A) \approx \frac{95000}{127475} \approx 0,745 \]
3. Calcul de l’angle \(\angle A\) :
\[ \angle A = \arccos(0,745) \approx 41,81^\circ \]
L’angle au sommet ∠BAC du triangle formé par les bornes A, B et C est donc d’environ 41,81°.
Calcul de l’Angle au Sommet
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