Études de cas pratique

EGC

Calcul de l’Angle au Sommet

Calcul de l’Angle au Sommet en Topographie

Introduction au Calcul d'Angles

En topographie, la détermination des angles entre différentes directions issues d'un même point (appelé sommet) est une opération fondamentale. Ces angles, combinés à des mesures de distances, permettent de calculer les coordonnées de nouveaux points, de vérifier la géométrie d'ouvrages existants, ou de réaliser des implantations. L'angle au sommet est généralement calculé comme la différence entre les gisements (azimuts) des deux directions formant l'angle. Il est crucial de prêter attention au sens de rotation (généralement horaire) et à la convention pour les gisements (par rapport au Nord).

Données de l'étude

Un topographe souhaite déterminer l'angle \(\widehat{P S Q}\) au sommet S, formé par les points P, S et Q. Les coordonnées rectangulaires planes des points sont :

Point X (Est) (m) Y (Nord) (m)
P1500.252500.70
S (Sommet)1200.502300.40
Q1350.802100.15
Schéma Illustratif de l'Angle au Sommet \(\widehat{PSQ}\)
Angle au Sommet PSQ S P Q N \(\alpha\) G_SP G_SQ

Schéma illustrant les points P, S, Q et l'angle \(\alpha = \widehat{PSQ}\) au sommet S.

Questions à traiter

  1. Calculer le gisement (azimut en gon) de la direction SP (\(G_{\text{SP}}\)).
  2. Calculer le gisement (azimut en gon) de la direction SQ (\(G_{\text{SQ}}\)).
  3. Calculer l'angle au sommet \(\alpha = \widehat{PSQ}\) (mesuré dans le sens horaire, de la direction SP vers la direction SQ).

Correction : Calcul de l’Angle au Sommet

Question 1 : Gisement de la direction SP (\(G_{\text{SP}}\))

Principe :

Le gisement \(G_{\text{SP}}\) est l'angle orienté dans le sens horaire depuis l'axe des Y (Nord) vers la direction SP. Il se calcule à l'aide de la fonction arc tangente des variations de coordonnées \(\Delta X_{\text{SP}}\) et \(\Delta Y_{\text{SP}}\), avec une correction de quadrant.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta X_{\text{SP}} = X_{\text{P}} - X_{\text{S}}\]
\[\Delta Y_{\text{SP}} = Y_{\text{P}} - Y_{\text{S}}\]
\[G'_{\text{SP}} = \arctan\left(\frac{|\Delta X_{\text{SP}}|}{|\Delta Y_{\text{SP}}|}\right)\]

Ajustement du quadrant (en gon) :

  • Si \(\Delta X > 0, \Delta Y > 0\) (Q1) : \(G = G'\)
  • Si \(\Delta X > 0, \Delta Y < 0\) (Q2) : \(G = 200 \, \text{gon} - G'\)
  • Si \(\Delta X < 0, \Delta Y < 0\) (Q3) : \(G = 200 \, \text{gon} + G'\)
  • Si \(\Delta X < 0, \Delta Y > 0\) (Q4) : \(G = 400 \, \text{gon} - G'\)
Données et Calcul :
  • S: \(X_{\text{S}} = 1200.50 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 2300.40 \, \text{m}\)
  • P: \(X_{\text{P}} = 1500.25 \, \text{m}\), \(Y_{\text{P}} = 2500.70 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{SP}} &= 1500.25 - 1200.50 = 299.75 \, \text{m} \\ \Delta Y_{\text{SP}} &= 2500.70 - 2300.40 = 200.30 \, \text{m} \end{aligned} \]

\(\Delta X_{\text{SP}} > 0\) et \(\Delta Y_{\text{SP}} > 0 \Rightarrow\) Quadrant 1.

\[ \begin{aligned} G'_{\text{SP}} &= \arctan\left(\frac{299.75}{200.30}\right) \\ &\approx \arctan(1.496505...) \\ &\approx 0.98168 \, \text{radians} \end{aligned} \]

Conversion en gon : \(G'_{\text{SP,gon}} = 0.98168 \times \frac{200}{\pi} \approx 62.4969 \, \text{gon}\)

\[G_{\text{SP}} = G'_{\text{SP,gon}} \approx 62.4969 \, \text{gon}\]
Résultat Q1 : Le gisement \(G_{\text{SP}} \approx 62.4969 \, \text{gon}\).

Question 2 : Gisement de la direction SQ (\(G_{\text{SQ}}\))

Principe :

Même principe que pour \(G_{\text{SP}}\), en utilisant les coordonnées des points S et Q.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta X_{\text{SQ}} = X_{\text{Q}} - X_{\text{S}}\]
\[\Delta Y_{\text{SQ}} = Y_{\text{Q}} - Y_{\text{S}}\]
\[G'_{\text{SQ}} = \arctan\left(\frac{|\Delta X_{\text{SQ}}|}{|\Delta Y_{\text{SQ}}|}\right)\]

(Avec ajustement de quadrant)

Données et Calcul :
  • S: \(X_{\text{S}} = 1200.50 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 2300.40 \, \text{m}\)
  • Q: \(X_{\text{Q}} = 1350.80 \, \text{m}\), \(Y_{\text{Q}} = 2100.15 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{SQ}} &= 1350.80 - 1200.50 = 150.30 \, \text{m} \\ \Delta Y_{\text{SQ}} &= 2100.15 - 2300.40 = -200.25 \, \text{m} \end{aligned} \]

\(\Delta X_{\text{SQ}} > 0\) et \(\Delta Y_{\text{SQ}} < 0 \Rightarrow\) Quadrant 2.

\[ \begin{aligned} G'_{\text{SQ}} &= \arctan\left(\frac{|150.30|}{|-200.25|}\right) \\ &= \arctan\left(\frac{150.30}{200.25}\right) \\ &\approx \arctan(0.75056...) \\ &\approx 0.64386 \, \text{radians} \end{aligned} \]

Conversion en gon : \(G'_{\text{SQ,gon}} = 0.64386 \times \frac{200}{\pi} \approx 40.9896 \, \text{gon}\)

\[ \begin{aligned} G_{\text{SQ}} &= 200 \, \text{gon} - G'_{\text{SQ,gon}} \\ &= 200 - 40.9896 \\ &= 159.0104 \, \text{gon} \end{aligned} \]
Résultat Q2 : Le gisement \(G_{\text{SQ}} \approx 159.0104 \, \text{gon}\).

Quiz Intermédiaire : Si \(\Delta X = -100\) et \(\Delta Y = -100\), le gisement de base \(G'\) (avant correction de quadrant) sera de :

Question 3 : Angle au sommet \(\alpha = \widehat{PSQ}\)

Principe :

L'angle au sommet \(\widehat{PSQ}\), mesuré dans le sens horaire de la direction SP vers la direction SQ, est la différence entre le gisement de la direction "droite" (\(G_{\text{SQ}}\)) et le gisement de la direction "gauche" (\(G_{\text{SP}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\alpha = G_{\text{droite}} - G_{\text{gauche}}\]

Dans notre cas, \(\alpha = G_{\text{SQ}} - G_{\text{SP}}\). Si le résultat est négatif, on ajoute 400 gon pour obtenir l'angle intérieur positif.

Données et Calcul :
  • \(G_{\text{SP}} \approx 62.4969 \, \text{gon}\)
  • \(G_{\text{SQ}} \approx 159.0104 \, \text{gon}\)
\[ \begin{aligned} \alpha &= G_{\text{SQ}} - G_{\text{SP}} \\ &= 159.0104 - 62.4969 \\ &= 96.5135 \, \text{gon} \end{aligned} \]

Comme le résultat est positif et inférieur à 400 gon, c'est l'angle recherché.

Résultat Q3 : L'angle au sommet \(\widehat{PSQ} \approx 96.5135 \, \text{gon}\).

Quiz Intermédiaire : Si \(G_{\text{SA}} = 350 \, \text{gon}\) et \(G_{\text{SB}} = 50 \, \text{gon}\), l'angle \(\widehat{ASB}\) (de SA vers SB) est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Le gisement d'une direction est un angle mesuré par rapport :

2. Pour calculer un angle au sommet \(\widehat{APB}\) à partir des gisements \(G_{\text{PA}}\) et \(G_{\text{PB}}\), on effectue :

3. Un angle de 400 gon est équivalent à :

Glossaire

Angle au Sommet
Angle horizontal formé au point d'intersection (sommet) de deux directions. En topographie, il est souvent mesuré dans le sens horaire (angle à droite).
Gisement (Azimut)
Angle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire) à partir d'une direction de référence (généralement le Nord géographique ou le Nord de la projection) jusqu'à la direction d'une ligne. Exprimé en degrés (0-360°) ou en grades/gons (0-400 gon).
Coordonnées Rectangulaires (Planes)
Système de localisation de points dans un plan à l'aide de deux axes orthogonaux : X (Est ou abscisse) et Y (Nord ou ordonnée).
\(\Delta X\) (Delta X)
Différence des coordonnées X (Est) entre deux points : \(X_{\text{extrémité}} - X_{\text{origine}}\).
\(\Delta Y\) (Delta Y)
Différence des coordonnées Y (Nord) entre deux points : \(Y_{\text{extrémité}} - Y_{\text{origine}}\).
Quadrant
Chacune des quatre régions (de 100 gon ou 90°) définies par les axes X et Y dans un système de coordonnées cartésien, utilisées pour déterminer correctement le gisement à partir de la fonction arc tangente.
Gon (ou Grade)
Unité de mesure d'angle où un cercle complet est divisé en 400 gon. \(100 \, \text{gon}\) équivalent à \(90^\circ\).
Sens Horaire
Direction de rotation identique à celle des aiguilles d'une montre. Les angles et gisements en topographie sont très souvent mesurés dans ce sens.
Calcul de l’Angle au Sommet - Exercice d'Application en Topographie

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