Études de cas pratique

EGC

Division d’un Terrain en Topographie

Division d’un Terrain en Topographie

Introduction à la Division de Terrains

La division de terrains est une opération topographique courante qui consiste à partager une parcelle de terrain en plusieurs lots, souvent en respectant des contraintes de superficie, de forme ou de frontages. Ces opérations sont nécessaires dans de nombreux contextes : aménagement foncier, urbanisme, successions, ventes partielles, etc. Les calculs impliquent généralement la détermination des coordonnées de nouveaux points limites et la vérification des superficies des lots créés. Les méthodes varient selon la forme du terrain initial et les critères de division (par une ligne passant par un point donné, parallèlement à un côté, etc.).

Données de l'étude

On souhaite diviser un terrain triangulaire ABC en deux parcelles. La division doit être réalisée par une ligne partant du sommet A et coupant le côté opposé BC en un point D. La parcelle ABD doit avoir une superficie de \(S_{\text{ABD}} = 15000 \, \text{m}^2\).

Coordonnées des sommets du terrain ABC :

Point X (Est) (m) Y (Nord) (m)
A1000.002000.00
B1400.001800.00
C1800.002500.00
Schéma de la Division du Terrain Triangulaire
Division du Triangle ABC A B C D S_ABD S_ADC

Schéma illustrant la division du triangle ABC par la ligne AD.

Questions à traiter

  1. Calculer la superficie totale du terrain triangulaire ABC (\(S_{\text{ABC}}\)).
  2. Déterminer le rapport \(k = BD/BC\) tel que la superficie du triangle ABD soit égale à \(15000 \, \text{m}^2\).
  3. Calculer les coordonnées du point D sur le segment BC.

Correction : Division d’un Terrain en Topographie

Question 1 : Superficie totale du terrain triangulaire ABC (\(S_{\text{ABC}}\))

Principe :

La superficie d'un triangle dont les coordonnées des sommets A(\(X_{\text{A}}, Y_{\text{A}}\)), B(\(X_{\text{B}}, Y_{\text{B}}\)), C(\(X_{\text{C}}, Y_{\text{C}}\)) sont connues peut être calculée par la formule des déterminants (ou méthode des lacets).

Formule(s) utilisée(s) :
\[S = \frac{1}{2} |X_{\text{A}}(Y_{\text{B}} - Y_{\text{C}}) + X_{\text{B}}(Y_{\text{C}} - Y_{\text{A}}) + X_{\text{C}}(Y_{\text{A}} - Y_{\text{B}})|\]
Données et Calcul :
  • A: \(X_{\text{A}} = 1000.00\), \(Y_{\text{A}} = 2000.00\)
  • B: \(X_{\text{B}} = 1400.00\), \(Y_{\text{B}} = 1800.00\)
  • C: \(X_{\text{C}} = 1800.00\), \(Y_{\text{C}} = 2500.00\)
\[ \begin{aligned} S_{\text{ABC}} &= \frac{1}{2} |1000(1800 - 2500) + 1400(2500 - 2000) + 1800(2000 - 1800)| \\ &= \frac{1}{2} |1000(-700) + 1400(500) + 1800(200)| \\ &= \frac{1}{2} |-700000 + 700000 + 360000| \\ &= \frac{1}{2} |360000| \\ &= 180000 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Q1 : La superficie totale du terrain ABC est \(S_{\text{ABC}} = 180000 \, \text{m}^2\).

Question 2 : Rapport \(k = BD/BC\)

Principe :

Les triangles ABD et ABC partagent la même hauteur issue du sommet A par rapport à la base BC (ou son prolongement). Par conséquent, le rapport de leurs superficies est égal au rapport de leurs bases BD et BC.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{S_{\text{ABD}}}{S_{\text{ABC}}} = \frac{BD}{BC} = k\]
Données et Calcul :
  • \(S_{\text{ABD}} = 15000 \, \text{m}^2\)
  • \(S_{\text{ABC}} = 180000 \, \text{m}^2\)
\[ \begin{aligned} k &= \frac{15000}{180000} \\ &= \frac{15}{180} \\ &= \frac{1}{12} \\ &\approx 0.08333 \end{aligned} \]
Résultat Q2 : Le rapport \(k = BD/BC = 1/12 \approx 0.08333\).

Quiz Intermédiaire : Si on voulait diviser le triangle ABC en deux parties d'aires égales par une ligne issue de A, quel serait le rapport \(k = BD/BC\) ?

Question 3 : Coordonnées du point D

Principe :

Le point D divise le segment BC dans le rapport \(k = BD/BC\). Les coordonnées de D peuvent être calculées en utilisant la formule de division d'un segment.

Formule(s) utilisée(s) :
\[X_{\text{D}} = X_{\text{B}} + k \times (X_{\text{C}} - X_{\text{B}})\]
\[Y_{\text{D}} = Y_{\text{B}} + k \times (Y_{\text{C}} - Y_{\text{B}})\]
Données et Calcul :
  • B: \(X_{\text{B}} = 1400.00\), \(Y_{\text{B}} = 1800.00\)
  • C: \(X_{\text{C}} = 1800.00\), \(Y_{\text{C}} = 2500.00\)
  • \(k = 1/12\)
\[ \begin{aligned} X_{\text{D}} &= 1400.00 + \frac{1}{12} \times (1800.00 - 1400.00) \\ &= 1400.00 + \frac{1}{12} \times 400.00 \\ &= 1400.00 + 33.333... \\ &\approx 1433.333 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{D}} &= 1800.00 + \frac{1}{12} \times (2500.00 - 1800.00) \\ &= 1800.00 + \frac{1}{12} \times 700.00 \\ &= 1800.00 + 58.333... \\ &\approx 1858.333 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Q3 : Les coordonnées du point D sont approximativement \(X_{\text{D}} \approx 1433.333 \, \text{m}\) et \(Y_{\text{D}} \approx 1858.333 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire : Si le point D était le milieu du segment BC, quelle serait la valeur de k ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. La formule \(S = \frac{1}{2} |X_A(Y_B - Y_C) + X_B(Y_C - Y_A) + X_C(Y_A - Y_B)|\) calcule :

2. Si une ligne issue d'un sommet A d'un triangle ABC coupe le côté opposé BC en D, le rapport des aires \(S_{\text{ABD}} / S_{\text{ADC}}\) est égal à :

3. Si un point D divise un segment BC tel que \(BD = (1/3)BC\), alors :

Glossaire

Division de Terrain
Opération consistant à partager une parcelle de terrain en plusieurs lots distincts, souvent en respectant des critères de superficie ou de géométrie.
Superficie (Aire)
Mesure de l'étendue d'une surface plane, exprimée en unités carrées (ex: \(\text{m}^2\), hectares).
Coordonnées Rectangulaires (Planes)
Système de localisation de points dans un plan à l'aide de deux axes orthogonaux : X (Est ou abscisse) et Y (Nord ou ordonnée).
Formule des Déterminants (ou Méthode des Lacets)
Méthode de calcul de la superficie d'un polygone à partir des coordonnées de ses sommets.
Modèle Gravitaire (en distribution)
Bien que non utilisé directement ici pour la division d'aire, ce modèle est pertinent en planification des transports pour distribuer des flux entre zones en fonction de leur attractivité et de la distance/friction.
Division d'un Segment
Détermination des coordonnées d'un point qui partage un segment de droite selon un rapport donné.
Sommet (d'un polygone ou d'un triangle)
Point où deux côtés d'un polygone (ou d'un triangle) se rencontrent.
Division d’un Terrain - Exercice d'Application en Topographie

Division d’un Terrain en Topographie

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