Calcul de la Fermeture Angulaire

Comprendre le Calcul de la Fermeture Angulaire

Vous êtes un géomètre-topographe travaillant sur un levé polygonal fermé destiné à délimiter un nouveau parc dans une zone de développement urbain. L’exactitude des angles mesurés est essentielle pour définir correctement les limites du terrain.

Pour comprendre le Calcul des angles en topographie, cliquez sur le lien.

Données:

Le polygonal est composé des points suivants, avec les angles internes mesurés :

Point A
Point B
Point C
Point D
Point E (retour au point A)

Les mesures des angles internes sont :

\( \angle ABC = 92^\circ \)
\( \angle BCD = 89^\circ \)
\( \angle CDE = 91^\circ \)
\( \angle DEA = 87^\circ \)
\( \angle EAB = 90^\circ \)

Questions:

1. Calcul de la somme des angles mesurés :

Déterminez si la somme des angles mesurés correspond à la somme théorique.

2. Calcul de la fermeture angulaire :

Calculez la fermeture angulaire, qui est la différence entre la somme théorique des angles internes et la somme des angles mesurés. La fermeture angulaire devrait être proche de zéro si les mesures sont précises.

3. Analyse :

Si la fermeture angulaire est supérieure à la tolérance acceptable pour des travaux de cette nature (par exemple, 30 secondes d’arc par angle), discutez des étapes possibles pour vérifier et corriger les mesures.

Correction : Calcul de la Fermeture Angulaire

1. Calcul de la somme des angles mesurés

Données de l’exercice

Les angles mesurés aux points du levé polygonal sont :
- ∠ABC = 92°
- ∠BCD = 89°
- ∠CDE = 91°
- ∠DEA = 87°
- ∠EAB = 90°

Formule de calcul et application

Pour obtenir la somme des angles mesurés, nous additionnons les valeurs mesurées :

\[ S_{mesuré} = 92° + 89° + 91° + 87° + 90° \]

Calcul détaillé :
1. \( 92° + 89° = 181° \)
2. \( 181° + 91° = 272° \)
3. \( 272° + 87° = 359° \)
4. \( 359° + 90° = 449° \)

Résultat :
La somme des angles mesurés est 449°.

2. Calcul de la somme théorique des angles internes

Formule théorique

Pour un polygone à \( n \) côtés, la somme théorique des angles internes se calcule à l’aide de la formule :

\[ S_{théorique} = (n - 2) \times 180° \]

Application avec les données

Ici, le levé est un polygone à 5 côtés (points A, B, C, D, E).

- \( n = 5 \)

Substitution dans la formule :

\[ S_{théorique} = (5 - 2) \times 180° \] \[ S_{théorique} = 3 \times 180° \] \[ S_{théorique} = 540° \]

Résultat :
La somme théorique des angles internes est 540°.

3. Calcul de la fermeture angulaire

Définition et formule

La fermeture angulaire est la différence entre la somme théorique des angles internes et la somme des angles mesurés. On la calcule avec :

\[ \text{Fermeture Angulaire} = S_{théorique} - S_{mesuré} \]

Substitution des valeurs et calcul

Nous avons :
- \( S_{théorique} = 540° \)
- \( S_{mesuré} = 449° \)

Alors :

\[ \text{Fermeture Angulaire} = 540° - 449° \] \[ \text{Fermeture Angulaire} = 91° \]

Résultat :
La fermeture angulaire est 91°.

4. Analyse de la fermeture angulaire

a. Comparaison avec la tolérance acceptable

Dans le contexte de travaux topographiques, une précision extrême est requise. La tolérance acceptable donnée est d’environ 30 secondes d’arc par angle.

Conversion et contextualisation :
- 30 secondes d’arc équivalent à \( \frac{30}{3600} \) degré, soit environ 0,00833° par angle.
- Pour un polygone à 5 angles, la tolérance totale acceptable serait de l’ordre de \( 5 \times 0,00833° = 0,04167° \) (en pratique, la tolérance est souvent donnée par angle ou en valeur globale pour le levé, mais ici la valeur reste très faible par rapport à 91°).

b. Interprétation des résultats

Une fermeture angulaire de 91° indique une erreur très importante par rapport à la somme théorique. Si les mesures étaient précises, la fermeture angulaire devrait se rapprocher de zéro (idéalement inférieure à quelques dixièmes de degré, voire quelques secondes d’arc).

c. Étapes possibles pour vérifier et corriger les mesures

1. Re-vérification de l’instrumentation :
    - S’assurer que l’instrument de mesure (théodolite, station totale, etc.) est correctement calibré et en bon état de fonctionnement.

2. Reprise des mesures :
    - Mesurer à nouveau les angles aux points du polygone pour éliminer toute erreur de lecture ou d’enregistrement.

3. Contrôle des données de terrain :
    - Vérifier que les points géographiques ont bien été identifiés et que l’ordre de relevé (succession des points) est correct.

4. Application des corrections de fermeture :
    - Si la reprise des mesures est impossible ou si des erreurs systématiques sont identifiées, appliquer une répartition proportionnelle de la fermeture sur l’ensemble des angles mesurés pour obtenir des angles corrigés.

5. Analyse croisée avec d’autres données :
    - Comparer avec d’autres mesures (distances, relevés GPS, etc.) pour confirmer la cohérence générale du levé.