Erreurs dans un Levé Topographique

Comprendre l’Erreurs dans un Levé Topographique

Un topographe réalise une série de mesures de distances entre des points de repère sur un terrain. Il utilise un tachéomètre avec une précision de ±2mm + 2ppm. Les distances mesurées sont les suivantes (en mètres) : 150.250, 82.600, 212.100, 45.300, 120.500.

Questions:

1. Calculer l’erreur absolue maximale pour chaque mesure de distance.

2. Déterminer l’erreur relative pour chaque mesure.

3. Estimer l’erreur moyenne pour l’ensemble des mesures.

4. Analyser l’impact de l’erreur sur la précision du levé.

• Discuter si les erreurs sont acceptables pour un projet de génie civil typique en considérant la précision généralement requise.

Correction : Erreurs dans un Levé Topographique

1. Calcul de l’erreur absolue maximale pour chaque mesure

L’erreur absolue maximale est composée de deux parties :

• Une erreur fixe : 0,002 m
• Une erreur proportionnelle : \(2 \times 10^{-6} \times \text{distance mesurée}\).

Formule :

\[ E_{\text{abs}} = 0{,}002\,\text{m} + \left(2 \times 10^{-6} \times d\right) \]

Calculs pour chaque distance :

1. Pour \(d_1 = 150{,}250\,\text{m}\) :

\[ E_{\text{abs}_1} = 0{,}002 + (150{,}250 \times 2 \times 10^{-6}) \] \[ E_{\text{abs}_1} = 0{,}002 + 0{,}0003005 \] \[ E_{\text{abs}_1} = 0{,}0023005\,\text{m} \]

2. Pour \(d_2 = 82{,}600\,\text{m}\) :

\[ E_{\text{abs}_2} = 0{,}002 + (82{,}600 \times 2 \times 10^{-6}) \] \[ E_{\text{abs}_2} = 0{,}002 + 0{,}0001652 \] \[ E_{\text{abs}_2} = 0{,}0021652\,\text{m} \]

3. Pour \(d_3 = 212{,}100\,\text{m}\) :

\[ E_{\text{abs}_3} = 0{,}002 + (212{,}100 \times 2 \times 10^{-6}) \] \[ E_{\text{abs}_3} = 0{,}002 + 0{,}0004242 \] \[ E_{\text{abs}_3} = 0{,}0024242\,\text{m} \]

4. Pour \(d_4 = 45{,}300\,\text{m}\) :

\[ E_{\text{abs}_4} = 0{,}002 + (45{,}300 \times 2 \times 10^{-6}) \] \[ E_{\text{abs}_4} = 0{,}002 + 0{,}0000906 \] \[ E_{\text{abs}_4} = 0{,}0020906\,\text{m} \]

5. Pour \(d_5 = 120{,}500\,\text{m}\) :

\[ E_{\text{abs}_5} = 0{,}002 + (120{,}500 \times 2 \times 10^{-6}) \] \[ E_{\text{abs}_5} = 0{,}002 + 0{,}0002410 \] \[ E_{\text{abs}_5} = 0{,}0022410\,\text{m} \]

Résumé des erreurs absolues :

• \(E_{\text{abs}_1} \approx 0{,}00230\,\text{m}\)
• \(E_{\text{abs}_2} \approx 0{,}00217\,\text{m}\)
• \(E_{\text{abs}_3} \approx 0{,}00242\,\text{m}\)
• \(E_{\text{abs}_4} \approx 0{,}00209\,\text{m}\)
• \(E_{\text{abs}_5} \approx 0{,}00224\,\text{m}\)

2. Calcul de l’erreur relative pour chaque mesure

L’erreur relative est le rapport de l’erreur absolue à la distance mesurée. Elle est souvent exprimée sous forme décimale, en pourcentage ou en ppm.

Formule :

\[ E_{\text{rel}} = \frac{E_{\text{abs}}}{d} \]

Calculs :

1. \(d_1 = 150{,}250\,\text{m}\) :

\[ E_{\text{rel}_1} = \frac{0{,}0023005}{150{,}250} \approx 1{,}531 \times 10^{-5} \]

En ppm (1 ppm = \(10^{-6}\)) : environ 15,31 ppm.

2. Pour \(d_2 = 82{,}600\,\text{m}\) :

\[ E_{\text{rel}_2} = \frac{0{,}0021652}{82{,}600} \approx 2{,}621 \times 10^{-5} \]

En ppm : environ 26,21 ppm.

3. Pour \(d_3 = 212{,}100\,\text{m}\) :

\[ E_{\text{rel}_3} = \frac{0{,}0024242}{212{,}100} \approx 1{,}143 \times 10^{-5} \]

En ppm : environ 11,43 ppm.

4. Pour \(d_4 = 45{,}300\,\text{m}\) :

\[ E_{\text{rel}_4} = \frac{0{,}0020906}{45{,}300} \approx 4{,}618 \times 10^{-5} \]

En ppm : environ 46,18 ppm.

5. Pour \(d_5 = 120{,}500\,\text{m}\) :

\[ E_{\text{rel}_5} = \frac{0{,}0022410}{120{,}500} \approx 1{,}860 \times 10^{-5} \]

En ppm : environ 18,60 ppm.

3. Estimation de l’erreur moyenne pour l’ensemble des mesures

On calcule l’erreur absolue moyenne en faisant la moyenne arithmétique des erreurs absolues obtenues pour chaque mesure.

Formule :

\[ E_{\text{moy}} = \frac{E_{\text{abs}_1} + E_{\text{abs}_2} + E_{\text{abs}_3} + E_{\text{abs}_4} + E_{\text{abs}_5}}{5} \]

Calcul :

• Erreur moyenne :

\[ E_{\text{moy}} = \frac{0{,}0112215}{5} \approx 0{,}0022443\,\text{m} \]

Erreur moyenne estimée : environ 0,00224 m (soit 2,24 mm).

4. Analyse de l’impact de l’erreur sur la précision du levé

Observations :

• Taille de l’erreur absolue :
  L’erreur absolue maximale se situe autour de 2 mm pour chaque mesure.
  Pour des distances allant de 45 m à 212 m, cette erreur fixe est très faible.

• Erreur relative :
  Les erreurs relatives varient de environ 11 ppm (pour la plus grande distance) à 46 ppm (pour la plus petite distance). En pourcentage, cela correspond à des erreurs de l’ordre de 0,0011 % à 0,0046 %, ce qui est extrêmement faible.

• Impact sur le levé :

  • Précision globale :
    Une erreur de quelques millimètres sur des distances de plusieurs dizaines voire centaines de mètres a un impact très faible sur la précision du levé.
  • Acceptabilité pour un projet de génie civil :
    Pour la majorité des projets de génie civil, où les tolérances de construction sont souvent de l’ordre du centimètre voire du millimètre selon les applications, ces erreurs (entre 2 et 2,5 mm par mesure) sont généralement acceptables.
  • Cas particuliers :
    Dans des travaux nécessitant une ultra-précision (par exemple, des réseaux de contrôle de très haute précision), il pourrait être envisagé de corriger ou de compenser ces petites erreurs. Toutefois, pour un levé topographique classique dans le génie civil, la précision fournie par ce tachéomètre est largement suffisante.

Erreurs dans un Levé Topographique

D’autres exercices de topographie:

• Méthode Topométrique de Rayonnement
• Calcul de pente en topographie
• Détermination des Altitudes et du Dénivelé