Études de cas pratique

EGC

Calcul les gisements et coordonnées polaires

Calcul des Gisements et Coordonnées Polaires en Topographie

Comprendre les Gisements et les Coordonnées Polaires

En topographie, le gisement (ou azimut) d'une direction est l'angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir d'une direction de référence (généralement le Nord) jusqu'à cette direction. Les coordonnées polaires permettent de définir la position d'un point par rapport à un point d'origine (le pôle) en utilisant un angle (le gisement) et une distance. Ces concepts sont essentiels pour les levés topographiques, l'implantation d'ouvrages, et la navigation. Le passage des coordonnées rectangulaires (X, Y) aux coordonnées polaires (gisement, distance) et vice-versa est une opération courante.

Données de l'étude

Un topographe stationne en un point S et vise un point de référence A pour s'orienter. Il mesure ensuite un angle et une distance pour déterminer la position d'un nouveau point P.

Coordonnées des points (en mètres) :

  • Point de station S : \(X_S = 500.000 \, \text{m}\), \(Y_S = 200.000 \, \text{m}\)
  • Point de référence A : \(X_A = 586.603 \, \text{m}\), \(Y_A = 250.000 \, \text{m}\)

Mesures depuis la station S vers le nouveau point P :

  • Angle horizontal \(\alpha\) mesuré depuis la direction SA vers la direction SP (sens horaire) : \(45.0000 \, \text{gon}\) (grades)
  • Distance horizontale de S à P (\(D_{SP}\)) : \(120.000 \, \text{m}\)

Rappel : \(400 \, \text{gon} = 360^\circ\). Pour les calculs trigonométriques, convertir les gisements en grades en radians si nécessaire (\(\text{angle_rad} = \text{angle_gon} \times \frac{\pi}{200}\)) ou s'assurer que la calculatrice est en mode "grades".

Schéma : Calcul de Coordonnées Polaires
S A P N G_SA α G_SP Gisements et Coordonnées Polaires

Station S, visée d'orientation SA, puis visée du point P avec angle \(\alpha\) et distance \(D_{SP}\).

Questions à traiter

  1. Calculer les différences de coordonnées \(\Delta X_{SA} = X_A - X_S\) et \(\Delta Y_{SA} = Y_A - Y_S\).
  2. Calculer le gisement (\(G_{SA}\)) du segment SA en grades (gon).
  3. Calculer le gisement (\(G_{SP}\)) du segment SP en grades (gon).
  4. Calculer les coordonnées rectangulaires (\(X_P, Y_P\)) du point P.

Correction : Calcul des Gisements et Coordonnées Polaires

Question 1 : Différences de coordonnées \(\Delta X_{SA}\) et \(\Delta Y_{SA}\)

Principe :

Les différences de coordonnées entre le point de station S et le point de référence A sont calculées en soustrayant les coordonnées de S de celles de A. \(\Delta X_{SA}\) est la différence des abscisses et \(\Delta Y_{SA}\) est la différence des ordonnées.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta X_{SA} = X_A - X_S\]
\[\Delta Y_{SA} = Y_A - Y_S\]
Données spécifiques :
  • Point S : \(X_S = 500.000 \, \text{m}\), \(Y_S = 200.000 \, \text{m}\)
  • Point A : \(X_A = 586.603 \, \text{m}\), \(Y_A = 250.000 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta X_{SA} &= 586.603 \, \text{m} - 500.000 \, \text{m} \\ &= 86.603 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y_{SA} &= 250.000 \, \text{m} - 200.000 \, \text{m} \\ &= 50.000 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : \(\Delta X_{SA} = 86.603 \, \text{m}\) et \(\Delta Y_{SA} = 50.000 \, \text{m}\).

Question 2 : Gisement (\(G_{SA}\)) du segment SA en grades (gon)

Principe :

Le gisement \(G_{SA}\) est calculé à partir de \(\Delta X_{SA}\) et \(\Delta Y_{SA}\). L'angle de base \(\alpha_0 = \arctan\left(\frac{|\Delta X_{SA}|}{|\Delta Y_{SA}|}\right)\). L'ajustement du quadrant est nécessaire.

  • Q1 (\(\Delta X > 0, \Delta Y > 0\)): \(G = \alpha_0\)
  • Q2 (\(\Delta X > 0, \Delta Y < 0\)): \(G = 200 \, \text{gon} - \alpha_0\)
  • Q3 (\(\Delta X < 0, \Delta Y < 0\)): \(G = 200 \, \text{gon} + \alpha_0\)
  • Q4 (\(\Delta X < 0, \Delta Y > 0\)): \(G = 400 \, \text{gon} - \alpha_0\)
Les angles sont en grades (gon). \(100 \, \text{gon} = 90^\circ\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[G_{SA} = \arctan\left(\frac{\Delta X_{SA}}{\Delta Y_{SA}}\right) \quad \text{(avec ajustement de quadrant)}\]
Données spécifiques :
  • \(\Delta X_{SA} = 86.603 \, \text{m}\)
  • \(\Delta Y_{SA} = 50.000 \, \text{m}\)
Calcul :

\(\Delta X_{SA} > 0\) et \(\Delta Y_{SA} > 0\), donc nous sommes dans le premier quadrant.

\[ \begin{aligned} G_{SA} &= \arctan\left(\frac{86.603}{50.000}\right) \\ &= \arctan(1.73206) \end{aligned} \]

En utilisant une calculatrice en mode grades (gon) :

\[ \begin{aligned} G_{SA} &\approx 66.6667 \, \text{gon} \quad (\text{ou } 60^\circ) \end{aligned} \]

Note: \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.732\). Donc \(60^\circ = \frac{60}{90} \times 100 = 66.666... \text{gon}\)

Résultat Question 2 : Le gisement du segment SA est \(G_{SA} \approx 66.6667 \, \text{gon}\).

Question 3 : Gisement (\(G_{SP}\)) du segment SP en grades (gon)

Principe :

Le gisement de la direction SP est obtenu en ajoutant l'angle horizontal \(\alpha\) (mesuré dans le sens horaire depuis SA) au gisement de la direction d'orientation \(G_{SA}\). Si la somme dépasse 400 gon, on soustrait 400 gon.

Formule(s) utilisée(s) :
\[G_{SP} = G_{SA} + \alpha\]

Si \(G_{SP} \geq 400 \, \text{gon}\), alors \(G_{SP} = G_{SP} - 400 \, \text{gon}\).

Données spécifiques :
  • Gisement \(G_{SA}\) : \(\approx 66.6667 \, \text{gon}\)
  • Angle \(\alpha\) : \(45.0000 \, \text{gon}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} G_{SP} &= 66.6667 \, \text{gon} + 45.0000 \, \text{gon} \\ &= 111.6667 \, \text{gon} \end{aligned} \]

Puisque \(111.6667 \, \text{gon} < 400 \, \text{gon}\), aucun ajustement n'est nécessaire.

Résultat Question 3 : Le gisement du segment SP est \(G_{SP} \approx 111.6667 \, \text{gon}\).

Question 4 : Coordonnées rectangulaires (\(X_P, Y_P\)) du point P

Principe :

Les coordonnées d'un point P peuvent être calculées à partir des coordonnées d'un point connu S (station) si l'on connaît le gisement (\(G_{SP}\)) et la distance horizontale (\(D_{SP}\)) entre S et P. Les formules de passage des coordonnées polaires (gisement, distance) aux coordonnées rectangulaires sont utilisées. Il est crucial que l'angle utilisé dans les fonctions sinus et cosinus soit dans la bonne unité (radians si la calculatrice est en mode radian, ou directement en grades si la calculatrice le permet et est configurée ainsi).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta X_{SP} = D_{SP} \times \sin(G_{SP})\]
\[\Delta Y_{SP} = D_{SP} \times \cos(G_{SP})\]
\[X_P = X_S + \Delta X_{SP}\]
\[Y_P = Y_S + \Delta Y_{SP}\]

Note : Si la calculatrice est en degrés, convertir \(G_{SP}\) en degrés : \(G_{SP\text{_deg}} = G_{SP\text{_gon}} \times \frac{360}{400} = G_{SP\text{_gon}} \times 0.9\).
\(111.6667 \, \text{gon} \times 0.9 = 100.50003^\circ\).

Données spécifiques :
  • Coordonnées de S : \(X_S = 500.000 \, \text{m}\), \(Y_S = 200.000 \, \text{m}\)
  • Distance (\(D_{SP}\)) : \(120.000 \, \text{m}\)
  • Gisement (\(G_{SP}\)) : \(\approx 111.6667 \, \text{gon}\) (\(\approx 100.50003^\circ\))
Calcul :

Conversion du gisement en radians pour les fonctions trigonométriques standard :

\[ G_{SP\text{_rad}} = 111.6667 \, \text{gon} \times \frac{\pi}{200 \, \text{gon}} \approx 1.7540 \, \text{radians} \]
\[ \begin{aligned} \Delta X_{SP} &= 120.000 \, \text{m} \times \sin(111.6667 \, \text{gon}) \\ &\text{ou } 120.000 \, \text{m} \times \sin(100.50003^\circ) \\ &\approx 120.000 \times 0.98325 \\ &\approx 117.990 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y_{SP} &= 120.000 \, \text{m} \times \cos(111.6667 \, \text{gon}) \\ &\text{ou } 120.000 \, \text{m} \times \cos(100.50003^\circ) \\ &\approx 120.000 \times (-0.18224) \\ &\approx -21.869 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} X_P &= 500.000 \, \text{m} + 117.990 \, \text{m} \\ &= 617.990 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_P &= 200.000 \, \text{m} + (-21.869 \, \text{m}) \\ &= 178.131 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Les coordonnées du point P sont approximativement :
\(X_P \approx 617.990 \, \text{m}\)
\(Y_P \approx 178.131 \, \text{m}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Si \(G_{SP} = 100 \, \text{gon}\) (Est), alors :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le gisement d'une ligne est un angle mesuré :

2. Pour calculer les coordonnées d'un point P à partir d'un point S connu par gisement \(G_{SP}\) et distance \(D_{SP}\), on utilise :

3. Si \(\Delta X > 0\) et \(\Delta Y < 0\), le gisement se trouve dans quel quadrant (Nord = 0 gon, Est = 100 gon) ?

Glossaire

Coordonnées Rectangulaires (Cartésiennes)
Système de localisation d'un point dans un plan (X, Y) ou dans l'espace (X, Y, Z) par rapport à des axes orthogonaux.
Coordonnées Polaires
Système de localisation d'un point dans un plan par un angle (gisement ou azimut) par rapport à une direction de référence et une distance par rapport à un point d'origine (pôle).
Gisement (ou Azimut)
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir d'une direction de référence (généralement le Nord) jusqu'à une direction donnée. Exprimé en degrés (0-360°) ou en grades/gons (0-400 gon).
Grade (gon)
Unité de mesure d'angle où un tour complet est divisé en 400 grades. \(100 \, \text{gon} = 90^\circ\).
Rayonnement (en topographie)
Méthode de levé ou d'implantation d'un point P à partir d'un point de station S connu, en mesurant un angle horizontal (par rapport à une référence) et une distance horizontale SP.
Arc tangente (\(\arctan\) ou \(\tan^{-1}\))
Fonction mathématique inverse de la tangente. Si \(\tan(\theta) = y/x\), alors \(\theta = \arctan(y/x)\).
Calcul des Gisements et Coordonnées Polaires - Exercice d'Application

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