Études de cas pratique

EGC

Calcul des coordonnées en topographie

Calcul des Coordonnées en Topographie

Introduction au Calcul de Coordonnées

Le calcul de coordonnées est une tâche fondamentale en topographie. Il permet de déterminer la position précise de points sur la surface terrestre dans un système de référence donné (généralement X, Y pour la planimétrie et Z pour l'altimétrie). Une méthode courante pour obtenir ces coordonnées est le levé par rayonnement à partir d'une station connue. En mesurant des angles (horizontaux et verticaux) et des distances à partir de cette station vers les points d'intérêt, on peut calculer leurs coordonnées par des relations trigonométriques simples. Ces calculs sont la base pour la cartographie, l'implantation d'ouvrages, et la surveillance de déformations.

Données de l'étude

Un topographe est stationné au point S, dont les coordonnées sont connues. Il effectue des mesures pour déterminer la position d'un point M.

Coordonnées de la station S :

  • \(X_{\text{S}} = 1000.000 \, \text{m}\)
  • \(Y_{\text{S}} = 2000.000 \, \text{m}\)
  • \(Z_{\text{S}} = 100.000 \, \text{m}\) (altitude du repère de station au sol)

Orientation de l'instrument :

  • Le zéro du cercle horizontal de l'instrument est orienté sur un point de référence R.
  • Le gisement de la direction SR est \(G_{\text{SR}} = 30.0000 \, \text{gon}\).

Mesures effectuées depuis S vers M :

  • Angle horizontal lu sur M (\(A_{\text{h,SM}}\)) : \(85.4560 \, \text{gon}\)
  • Angle vertical zénithal lu sur M (\(A_{\text{v,SM}}\)) : \(96.1230 \, \text{gon}\)
  • Distance inclinée mesurée S-M (\(D_{\text{i,SM}}\)) : \(150.780 \, \text{m}\)
  • Hauteur de l'instrument (\(h_{\text{i}}\)) à la station S : \(1.620 \, \text{m}\)
  • Hauteur du prisme (\(h_{\text{p}}\)) au point M : \(1.800 \, \text{m}\)
Schéma d'un Levé Tacheométrique
Levé Tacheométrique S vers M S (Xs, Ys, Zs) R G_SR M Ah_SM Di_SM N hi hp

Schéma simplifié d'un levé par rayonnement depuis une station S vers un point M, avec une référence R.

Questions à traiter

  1. Calculer la distance horizontale (\(D_{\text{h,SM}}\)) entre la station S et le point M.
  2. Calculer le gisement de la direction SM (\(G_{\text{SM}}\)).
  3. Calculer les coordonnées planimétriques (\(X_{\text{M}}\), \(Y_{\text{M}}\)) du point M.
  4. Calculer la dénivelée (\(\Delta Z_{\text{SM,axe-prisme}}\)) entre l'axe optique de l'instrument en S et le point visé sur le prisme en M.
  5. Calculer l'altitude (\(Z_{\text{M}}\)) du point M au sol.

Correction : Calcul des Coordonnées en Topographie

Question 1 : Distance horizontale (\(D_{\text{h,SM}}\))

Principe :

La distance horizontale est calculée à partir de la distance inclinée et de l'angle vertical zénithal.

Formule(s) utilisée(s) :
\[D_{\text{h}} = D_{\text{i}} \times \sin(A_{\text{v}})\]

N'oubliez pas de convertir les angles en radians si votre calculatrice l'exige : \(\text{radians} = \text{gon} \times \pi / 200\).

Données et Calcul :
  • \(D_{\text{i,SM}} = 150.780 \, \text{m}\)
  • \(A_{\text{v,SM}} = 96.1230 \, \text{gon}\)
\[ \begin{aligned} D_{\text{h,SM}} &= 150.780 \times \sin(96.1230 \, \text{gon}) \\ &= 150.780 \times \sin(96.1230 \times \pi / 200) \\ &= 150.780 \times \sin(1.50987...) \\ &\approx 150.780 \times 0.99739 \\ &\approx 150.383 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Q1 : La distance horizontale \(D_{\text{h,SM}} \approx 150.383 \, \text{m}\).

Question 2 : Gisement de la direction SM (\(G_{\text{SM}}\))

Principe :

Le gisement de la direction SM est obtenu en ajoutant l'angle horizontal lu (\(A_{\text{h,SM}}\)) au gisement de la référence d'orientation (\(G_{\text{SR}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[G_{\text{SM}} = G_{\text{SR}} + A_{\text{h,SM}}\]

Si \(G_{\text{SM}} \ge 400 \, \text{gon}\), soustraire 400 gon. Si \(G_{\text{SM}} < 0 \, \text{gon}\), ajouter 400 gon.

Données et Calcul :
  • \(G_{\text{SR}} = 30.0000 \, \text{gon}\)
  • \(A_{\text{h,SM}} = 85.4560 \, \text{gon}\)
\[ \begin{aligned} G_{\text{SM}} &= 30.0000 + 85.4560 \\ &= 115.4560 \, \text{gon} \end{aligned} \]
Résultat Q2 : Le gisement \(G_{\text{SM}} = 115.4560 \, \text{gon}\).

Quiz Intermédiaire : Si le gisement de référence \(G_{\text{SR}}\) était de 380 gon et l'angle horizontal lu \(A_{\text{h,SM}}\) de 40 gon, quel serait \(G_{\text{SM}}\) ?

Question 3 : Coordonnées planimétriques (\(X_{\text{M}}\), \(Y_{\text{M}}\)) du point M

Principe :

Les coordonnées du point M sont calculées à partir des coordonnées de la station S, de la distance horizontale \(D_{\text{h,SM}}\) et du gisement \(G_{\text{SM}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[X_{\text{M}} = X_{\text{S}} + D_{\text{h,SM}} \times \sin(G_{\text{SM}})\]
\[Y_{\text{M}} = Y_{\text{S}} + D_{\text{h,SM}} \times \cos(G_{\text{SM}})\]
Données et Calcul :
  • \(X_{\text{S}} = 1000.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 2000.000 \, \text{m}\)
  • \(D_{\text{h,SM}} \approx 150.383 \, \text{m}\)
  • \(G_{\text{SM}} = 115.4560 \, \text{gon}\)
\[ \begin{aligned} X_{\text{M}} &= 1000.000 + 150.383 \times \sin(115.4560 \, \text{gon}) \\ &\approx 1000.000 + 150.383 \times 0.96352 \\ &\approx 1000.000 + 144.909 \\ &\approx 1144.909 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{M}} &= 2000.000 + 150.383 \times \cos(115.4560 \, \text{gon}) \\ &\approx 2000.000 + 150.383 \times 0.26754 \\ &\approx 2000.000 + 40.236 \\ &\approx 2040.236 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Q3 : Les coordonnées du point M sont \(X_{\text{M}} \approx 1144.909 \, \text{m}\) et \(Y_{\text{M}} \approx 2040.236 \, \text{m}\).

Question 4 : Dénivelée (\(\Delta Z_{\text{SM,axe-prisme}}\)) entre l'axe optique en S et le prisme en M

Principe :

La dénivelée entre l'axe optique de l'instrument et le point visé sur le prisme est calculée à partir de la distance inclinée et de l'angle vertical zénithal.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z_{\text{axe-prisme}} = - D_{\text{i}} \times \cos(A_{\text{v}})\]

Le signe négatif est utilisé car avec un angle zénithal, \(\cos(A_{\text{v}})\) est positif si la visée est vers le bas (par rapport à l'horizontale de l'instrument) et négatif si elle est vers le haut. \(\Delta Z_{\text{axe-prisme}}\) sera donc positif pour une montée et négatif pour une descente du prisme par rapport à l'axe optique.

Données et Calcul :
  • \(D_{\text{i,SM}} = 150.780 \, \text{m}\)
  • \(A_{\text{v,SM}} = 96.1230 \, \text{gon}\)
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{\text{SM,axe-prisme}} &= - 150.780 \times \cos(96.1230 \, \text{gon}) \\ &\approx - 150.780 \times 0.06089 \\ &\approx -9.181 \, \text{m} \end{aligned} \]

Le prisme est donc \(9.181 \, \text{m}\) plus haut que l'axe optique de l'instrument.

Résultat Q4 : La dénivelée \(\Delta Z_{\text{SM,axe-prisme}} \approx -9.181 \, \text{m}\).

Question 5 : Altitude (\(Z_{\text{M}}\)) du point M au sol

Principe :

L'altitude du point M au sol est calculée à partir de l'altitude de la station S, de la hauteur de l'instrument, de la dénivelée entre l'axe optique et le prisme, et de la hauteur du prisme.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{\text{M}} = Z_{\text{S}} + h_{\text{i}} + \Delta Z_{\text{SM,axe-prisme}} - h_{\text{p}}\]
Données et Calcul :
  • \(Z_{\text{S}} = 100.000 \, \text{m}\)
  • \(h_{\text{i}} = 1.620 \, \text{m}\)
  • \(\Delta Z_{\text{SM,axe-prisme}} \approx -9.181 \, \text{m}\)
  • \(h_{\text{p}} = 1.800 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} Z_{\text{M}} &= 100.000 + 1.620 + (-9.181) - 1.800 \\ &= 101.620 - 9.181 - 1.800 \\ &= 92.439 - 1.800 \\ &= 90.639 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Q5 : L'altitude du point M est \(Z_{\text{M}} \approx 90.639 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire : Si la hauteur du prisme (\(h_p\)) augmente, l'altitude calculée du point au sol (\(Z_M\)) :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Le gisement d'une direction est un angle mesuré :

2. Si l'angle vertical zénithal \(A_{\text{v}}\) est de \(100 \, \text{gon}\), cela signifie que la visée est :

3. Pour calculer les coordonnées X d'un point P à partir d'une station S, on utilise principalement :

Glossaire

Tachéomètre (Station Totale)
Instrument de topographie qui mesure les angles horizontaux, les angles verticaux et les distances inclinées. Les modèles modernes calculent directement les coordonnées (X,Y,Z).
Levé par Rayonnement
Méthode de levé topographique où, depuis un point de station connu, on mesure les angles et les distances vers des points de détail à lever.
Station
Point sur lequel l'instrument de mesure est installé et dont les coordonnées sont connues ou à déterminer.
Point de Référence (R)
Point connu ou arbitraire utilisé pour orienter l'instrument (définir le zéro du cercle horizontal).
Gisement (\(G\))
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction de référence Nord (ou d'une autre référence) jusqu'à la direction considérée. Exprimé en degrés (°) ou en grades/gons (gon).
Angle Horizontal (\(A_{\text{h}}\))
Angle mesuré dans le plan horizontal entre une direction de référence et une direction visée.
Angle Vertical Zénithal (\(A_{\text{v}}\))
Angle mesuré dans le plan vertical à partir de la direction du zénith (verticale ascendante, 0 gon) jusqu'à la ligne de visée. Une visée horizontale correspond à 100 gon.
Distance Inclinée (\(D_{\text{i}}\))
Distance directe mesurée entre l'instrument et le prisme (ou la mire) sur le point visé.
Distance Horizontale (\(D_{\text{h}}\))
Projection de la distance inclinée sur le plan horizontal.
Dénivelée (\(\Delta Z\))
Différence d'altitude entre deux points. Peut aussi désigner la différence d'altitude entre l'axe optique de l'instrument et le point visé sur le prisme.
Hauteur d'Instrument (\(h_{\text{i}}\))
Distance verticale entre le repère de la station au sol et l'axe des tourillons (axe horizontal de rotation de la lunette) de l'instrument.
Hauteur de Prisme/Mire (\(h_{\text{p}}\))
Distance verticale entre le point au sol visé et le centre optique du prisme réflecteur (ou la lecture sur la mire).
Coordonnées Planimétriques
Coordonnées (X, Y) qui définissent la position d'un point sur un plan horizontal.
Altitude (Z)
Distance verticale d'un point par rapport à une surface de référence (généralement le géoïde ou un niveau moyen des mers).
Calcul des Coordonnées en Topographie - Exercice d'Application

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