Analyser les forces exercées par un fluide
Comprendre l’Analyser les forces exercées par un fluide
Vous êtes un ingénieur hydraulique dans une entreprise spécialisée dans la conception et la construction de réservoirs destinés à stocker de l’eau potable. Votre mission consiste à évaluer les forces que l’eau exerce sur les parois et le fond d’un réservoir afin de garantir que sa conception puisse résister à ces forces.
Pour comprendre l’Étude de la Pression Hydrostatique, cliquez sur le lien.
Données de base :
- Dimensions du réservoir : Longueur (L) = 10 m, Largeur (W) = 6 m, Hauteur (H) = 4 m.
- Densité de l’eau (ρ) = 1000 kg/m³.
- Accélération due à la gravité (g) = 9.81 m/s².
Questions :
1. Calcul de la pression hydrostatique au fond du réservoir :
- Expliquez ce qu’est la pression hydrostatique et comment elle se rapporte à une colonne de fluide.
- Calculez la pression hydrostatique au fond du réservoir
2. Calcul de la force exercée sur le fond du réservoir :
- Définissez ce que représente la force en termes de pression et de surface.
- Sachant que l’aire du fond du réservoir est de 60 m², calculez la force totale exercée par l’eau sur le fond du réservoir.
3. Calcul de la force exercée sur les parois latérales :
- Expliquez comment varie la pression avec la profondeur dans un fluide au repos.
- Calculez la pression à mi-hauteur du réservoir et utilisez cette valeur pour estimer la force exercée sur une paroi latérale.
- Déterminez ensuite la force totale exercée par l’eau sur toutes les parois latérales du réservoir.
Correction : Analyser les forces exercées par un fluide
1. Calcul de la pression hydrostatique au fond du réservoir
La pression hydrostatique correspond à la pression exercée par une colonne de fluide au repos. Elle augmente linéairement avec la profondeur, car chaque couche de fluide exerce son propre poids sur les couches situées en dessous. Pour une profondeur \( h \), la formule de la pression hydrostatique est :
\[ P = \rho \, g \, h \]
où :
- \(\rho\) est la densité du fluide,
- \(g\) est l’accélération due à la gravité,
- \(h\) est la hauteur de la colonne de fluide.
Données
- Densité de l’eau : \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
- Accélération due à la gravité : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
- Hauteur du réservoir (donc de la colonne d’eau) : \(h = H = 4 \, \text{m}\)
Calcul
\[ P = 1000 \times 9.81 \times 4 \] \[ P = 39240 \, \text{Pa} \]
2. Calcul de la force exercée sur le fond du réservoir
La force exercée par un fluide sur une surface est le produit de la pression en ce point par la surface considérée. Pour le fond du réservoir, cette force est uniformément répartie, puisque la pression est constante sur toute l’aire au fond (puisqu’elle dépend uniquement de la profondeur).
Formule et données
- Pression au fond : \(P = 39240 \, \text{Pa}\)
Aire du fond du réservoir :
\[ A = L \times W \] \[ A = 10 \, \text{m} \times 6 \, \text{m} \] \[ A = 60 \, \text{m}^2 \]
Calcul
La force \( F \) est donnée par :
\[ F = P \times A \] \[ F = 39240 \times 60 \] \[ F = 2354400 \, \text{N} \]
3. Calcul de la force exercée sur les parois latérales
Dans un fluide au repos, la pression augmente linéairement avec la profondeur. Pour une paroi verticale, la pression varie de 0 à \( P_{max} \) (au fond).
Pour simplifier le calcul, on peut utiliser la pression à mi-hauteur qui représente la pression moyenne agissant sur la paroi.
La pression à mi-hauteur (pour \( h = 4 \, \text{m} \)) est :
\[ P_{\text{moyenne}} = \rho \, g \, \frac{H}{2} \] \[ P_{\text{moyenne}} = 1000 \times 9.81 \times \frac{4}{2} \] \[ P_{\text{moyenne}} = 1000 \times 9.81 \times 2 \] \[ P_{\text{moyenne}} = 19620 \, \text{Pa} \]
Calcul pour une paroi latérale
On distingue deux types de parois latérales :
- Parois longues : dimensions \(10 \, \text{m} \times 4 \, \text{m}\)
- Parois courtes : dimensions \(6 \, \text{m} \times 4 \, \text{m}\)
Force sur une paroi longue :
- Aire :
\[ A_{\text{long}} = 10 \times 4 \] \[ A_{\text{long}} = 40 \, \text{m}^2 \]
- Force :
\[ F_{\text{long}} = P_{\text{moyenne}} \times A_{\text{long}} \] \[ F_{\text{long}} = 19620 \times 40 \] \[ F_{\text{long}} = 784800 \, \text{N} \]
Force sur une paroi courte :
- Aire :
\[ A_{\text{court}} = 6 \times 4 = 24 \, \text{m}^2 \]
- Force :
\[ F_{\text{court}} = P_{\text{moyenne}} \times A_{\text{court}} \] \[ F_{\text{court}} = 19620 \times 24 \] \[ F_{\text{court}} = 470880 \, \text{N} \]
Force totale sur les parois latérales :
Le réservoir possède deux parois longues et deux parois courtes. Ainsi, la force totale est :
\[ F_{\text{total lat}} = 2 \times F_{\text{long}} + 2 \times F_{\text{court}} \] \[ F_{\text{total lat}} = 2 \times 784800 + 2 \times 470880 \] \[ F_{\text{total lat}} = 1569600 + 941760 \] \[ F_{\text{total lat}} = 2511360 \, \text{N} \]
Analyser les forces exercées par un fluide
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