Analyse de la Poussée Hydrostatique
Comprendre l’Analyse de la Poussée Hydrostatique
Vous êtes ingénieur(e) en hydraulique et vous travaillez sur le projet de conception d’un barrage. Le barrage est sujet à une pression de l’eau qui varie avec la profondeur. Votre tâche est de calculer le point d’application de la résultante des forces de pression exercées par l’eau sur une section verticale du barrage.
Pour comprendre le Calcul de la Position du Centre de Poussée, cliquez sur le lien.
Données :
- Hauteur du barrage : \( H = 50 \, \text{m} \)
- Largeur de la base du barrage : \( B = 200 \, \text{m} \)
- Densité de l’eau : \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \)
- Accélération due à la gravité : \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)

Question:
Déterminer le point d’application de la résultante des forces hydrostatiques (point de poussée) sur cette section du barrage.
Correction : Analyse de la Poussée Hydrostatique
1. Calcul de la force résultante \( F \)
a. Définition de la pression hydrostatique
La pression à une profondeur \( y \) (mesurée à partir de la surface libre) est donnée par :
\[ p(y) = \rho \, g \, y. \]
b. Force élémentaire sur une bande horizontale
Sur une bande horizontale d’épaisseur \( dy \) et de largeur \( B \), l’aire est :
\[ dA = B \, dy. \]
La force élémentaire \( dF \) exercée sur cette bande est donc :
\[ dF = p(y) \, dA = \rho \, g \, y \, B \, dy. \]
c. Force résultante totale
Pour obtenir la force totale sur la face du barrage, on intègre \( dF \) de \( y = 0 \) (surface libre) à \( y = H \) (base) :
\[ F = \int_0^H \rho \, g \, y \, B \, dy = \rho \, g \, B \int_0^H y \, dy. \]
Calculons l’intégrale :
\[ \int_0^H y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^H = \frac{H^2}{2}. \]
Ainsi, la force résultante est :
\[ F = \rho \, g \, B \, \frac{H^2}{2}. \]
d. Substitution des valeurs numériques
- \(H^2 = 50^2 = 2500 \, \text{m}^2\)
On a donc :
\[ F = 1000 \times 9.81 \times 200 \times \frac{2500}{2}. \] \[ F \approx 2.45 \times 10^9 \, \text{N}. \]
2. Calcul du moment \( M \) de la force résultante
a. Moment d’une force élémentaire
Le moment d’une force élémentaire \( dF \) appliquée à une distance \( y \) par rapport à la surface libre est :
\[ dM = y \, dF = \rho \, g \, y \, B \, y \, dy = \rho \, g \, B \, y^2 \, dy. \]
b. Moment total
On intègre \( dM \) de \( y = 0 \) à \( y = H \) :
\[ M = \int_0^H \rho \, g \, B \, y^2 \, dy = \rho \, g \, B \int_0^H y^2 \, dy. \]
Calcul de l’intégrale :
\[ \int_0^H y^2 \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^H = \frac{H^3}{3}. \]
Ainsi, le moment total est :
\[ M = \rho \, g \, B \, \frac{H^3}{3}. \]
c. Substitution des valeurs numériques
- \(H^3 = 50^3 = 125\,000 \, \text{m}^3\)
On obtient :
\[ M = 1000 \times 9.81 \times 200 \times \frac{125\,000}{3}. \] \[ M \approx 8.175 \times 10^{10} \, \text{N·m}. \]
3. Détermination du centre de pression \( y_{cp} \)
Le centre de pression est défini par la relation :
\[ y_{cp} = \frac{M}{F}. \]
a. Calcul avec les valeurs obtenues
\[ y_{cp} = \frac{8.175 \times 10^{10} \, \text{N·m}}{2.4525 \times 10^9 \, \text{N}} \approx 33.33 \, \text{m}. \]
Conclusion:
Le point d’application de la résultante des forces hydrostatiques (centre de pression) se trouve à :
\[ y_{cp} \approx 33.33 \, \text{m} \]
en dessous de la surface libre.
Remarque : Pour une surface plane verticale dont le bord supérieur est à la surface libre, le centre de pression se trouve toujours à \( \frac{2}{3} \) de la hauteur totale \( H \) mesurée à partir de la surface libre. Ici, \( \frac{2}{3} \times 50 \, \text{m} = 33.33 \, \text{m} \), ce qui confirme notre résultat.
Analyse de la Poussée Hydrostatique
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