Calcul de la Force Résultante de l’Eau

Comprendre le Calcul de la Force Résultante de l’Eau

Une station de traitement d’eau utilise une série de vannes pour contrôler le flux d’eau dans ses canaux. Une vanne particulière, cruciale pour le fonctionnement de la station, est exposée à un débit d’eau élevé, ce qui peut générer des forces importantes sur la structure de la vanne. Pour assurer la sécurité et l’efficacité du système, il est essentiel de calculer la force résultante exercée par l’eau sur cette vanne lorsqu’elle est partiellement ouverte.

Pour comprendre le Calcul de la Position du Centre de Poussée, cliquez sur le lien.

Données Fournies:

Débit d’eau, \( Q \): 500 \( m^3/s \)
Vitesse de l’eau avant la vanne, \( v_1 \): 10 \( m/s \)
Section transversale de l’eau avant la vanne, \( A_1 \): 50 \( m^2 \)
Vitesse de l’eau après la vanne, \( v_2 \): 30 \( m/s \) (due à la réduction de l’ouverture)
Section transversale de l’eau après la vanne, \( A_2 \): 16.67 \( m^2 \)
Coefficient de décharge de la vanne, \( C_d \): 0.98
Densité de l’eau, \( \rho \): 1000 \( kg/m^3 \)

Questions:

1. Calculez la quantité de mouvement initiale et finale de l’eau.

2. Déterminez la force résultante \( F_r \) exercée sur la vanne en utilisant les données fournies et les formules ci-dessus.

3. Expliquez l’impact de l’augmentation de la vitesse de l’eau après la vanne sur la force résultante.

Correction : Calcul de la Force Résultante de l’Eau

1. Calcul de la Quantité de Mouvement de l’Eau

La quantité de mouvement (ou impulsion) se calcule en multipliant la masse d’eau qui s’écoule par seconde (débit massique) par la vitesse de l’eau.

La formule générale utilisée est :

\[ p = \dot{m} \times v \]

où le débit massique \(\dot{m}\) s’obtient à partir du débit volumique \(Q\) et de la densité \(\rho\) :

\[ \dot{m} = \rho \times Q \]

Données

Densité de l’eau, \(\rho = 1000\) kg/m\(^3\)
Débit volumique, \(Q = 500\) m\(^3\)/s
Vitesse initiale, \(v_1 = 10\) m/s
Vitesse finale, \(v_2 = 30\) m/s

Calcul du débit massique :

\[ \dot{m} = \rho \times Q \] \[ \dot{m} = 1000 \times 500 \] \[ \dot{m} = 500\,000 \text{ kg/s} \]

Calcul

Quantité de mouvement initiale \((p_1)\) :

\[ p_1 = \dot{m} \times v_1 \] \[ p_1 = 500\,000 \times 10 \] \[ p_1 = 5\,000\,000 \text{ kg·m/s} \]

Quantité de mouvement finale \((p_2)\) :

\[ p_2 = \dot{m} \times v_2 \] \[ p_2 = 500\,000 \times 30 \] \[ p_2 = 15\,000\,000 \text{ kg·m/s} \]

2. Calcul de la Force Résultante sur la Vanne

La force résultante exercée sur la vanne est due à la variation de la quantité de mouvement de l’eau. Selon le principe de la deuxième loi de Newton, la force est égale à la variation de la quantité de mouvement par unité de temps.

\[ F_r = \frac{\Delta p}{\Delta t} \]

Ici, \(\Delta p\) représente la différence entre la quantité de mouvement finale et initiale, et comme le calcul se fait par seconde (\(\Delta t = 1\) s).

Formule et Données

Variation de la quantité de mouvement :

\(\Delta p = p_2 – p_1\)

Temps considéré : 1 seconde

Calcul

Calcul de la variation :

\[ \Delta p = 15\,000\,000 – 5\,000\,000 \] \[ \Delta p = 10\,000\,000 \text{ kg·m/s} \]

Donc, la force résultante :

\[ F_r = \frac{\Delta p}{1} \] \[ F_r = 10\,000\,000 \text{ N} \]

3. Impact de l’Augmentation de la Vitesse de l’Eau sur la Force Résultante

L’augmentation de la vitesse de l’eau après la vanne (passant de 10 m/s à 30 m/s) conduit à une augmentation significative de la quantité de mouvement de l’eau.

Avant la vanne : L’eau se déplace à 10 m/s, ce qui donne une certaine quantité de mouvement.
Après la vanne : La vitesse est triplée à 30 m/s, donc la quantité de mouvement est également multipliée par trois pour un débit identique.

La force résultante, calculée comme la différence de la quantité de mouvement par seconde, est directement proportionnelle à cette augmentation de vitesse. En d’autres termes, plus la vitesse augmente, plus la variation de la quantité de mouvement (et donc la force exercée) est importante. Cela souligne l’importance de concevoir la vanne et son support structurel pour qu’ils puissent résister à ces forces accrues.

Calcul de la Force Résultante de l’Eau

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