Calcul de la Distribution de Pression

Comprendre le Calcul de la Distribution de Pression

Dans un projet de génie civil, vous êtes chargé de concevoir une section d’un réseau d’aqueduc qui alimente une petite ville. Le réseau doit transporter de l’eau depuis un réservoir principal situé à une altitude plus élevée vers un réservoir secondaire dans la ville, situé à une altitude inférieure, avant de distribuer l’eau à divers points de consommation. Le réseau de conduites est soumis à différentes pressions et débits en fonction des altitudes et des pertes de charge dues à la friction dans les conduites.

Données Fournies :

Altitude du réservoir principal (Point A) : 250 m
Altitude du réservoir secondaire (Point B) : 200 m
Longueur de la conduite entre A et B : 5000 m
Diamètre de la conduite : 0.5 m
Rugosité de la conduite : 0.00015 m
Viscosité cinématique de l’eau : \( 1.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s} \)
Débit volumique de l’eau : 0.2 m³/s
Gravité (g) : 9.81 m/s²
Densité de l’eau (ρ) : 1000 kg/m³

Questions :

1. Calculer le nombre de Reynolds pour déterminer le régime d’écoulement.

2. Calculer la perte de charge due à la friction en utilisant l’équation de Darcy-Weisbach.

3. Déterminer la distribution de pression entre les points A et B.

Correction : Calcul de la Distribution de Pression

1. Calcul du nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds (Re) permet de déterminer le régime d’écoulement dans une conduite. Il s’exprime par la formule :

\[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \]

où :

\(V\) est la vitesse moyenne de l’écoulement (m/s)
\(D\) est le diamètre de la conduite (m)
\(\nu\) est la viscosité cinématique (m\(^2\)/s)

Formule et données

Les données fournies sont :

Débit volumique, \(Q = 0.2\) m\(^3\)/s
Diamètre de la conduite, \(D = 0.5\) m
Viscosité cinématique, \(\nu = 1.0\times10^{-6}\) m\(^2\)/s

Pour obtenir la vitesse moyenne, on utilise l’aire de la section transversale \(A\) de la conduite :

\[ A = \frac{\pi \cdot D^2}{4} \]

Calcul

1. Calcul de l’aire de la section :

\[ A = \frac{\pi \times (0.5)^2}{4} \] \[ A \approx \frac{3.1416 \times 0.25}{4} \] \[ A \approx 0.19635\ \text{m}^2 \]

2. Calcul de la vitesse moyenne :

\[ V = \frac{Q}{A} = \frac{0.2}{0.19635} \approx 1.02\ \text{m/s} \]

3. Calcul du nombre de Reynolds :

\[ Re = \frac{V \times D}{\nu} \] \[ Re = \frac{1.02 \times 0.5}{1.0\times10^{-6}} \] \[ Re \approx 510\,000 \]

Conclusion : Avec \(Re \approx 5.1\times10^5\), l’écoulement est en régime turbulent.

2. Calcul de la perte de charge due à la friction (équation de Darcy-Weisbach)

La perte de charge (\(h_x\)) par friction dans une conduite est donnée par :

\[ h_x = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2 \cdot g} \]

où :

\(f\) est le coefficient de frottement
\(L\) est la longueur de la conduite (m)
\(D\) est le diamètre de la conduite (m)
\(V\) est la vitesse de l’écoulement (m/s)
\(g\) est l’accélération due à la pesanteur (9.81 m/s\(^2\))

Pour un écoulement turbulent, le coefficient \(f\) peut être déterminé à partir d’une formule empirique (par exemple la formule de Swamee-Jain) :

\[ f = \frac{0.25}{\left[\log_{10}\left(\frac{\varepsilon}{3.7\cdot D} + \frac{5.74}{Re^{0.9}}\right)\right]^2} \]

avec :

\(\varepsilon\) la rugosité de la conduite (m)

Données

Longueur, \(L = 5000\) m
Diamètre, \(D = 0.5\) m
Vitesse, \(V \approx 1.02\) m/s
Rugosité, \(\varepsilon = 0.00015\) m
\(Re \approx 510\,000\)
\(g = 9.81\) m/s\(^2\)

a. Calcul du coefficient de frottement (\(f\))

1. Calcul de la première partie du logarithme :

\[ \frac{\varepsilon}{3.7\cdot D} = \frac{0.00015}{3.7 \times 0.5} \] \[ \approx \frac{0.00015}{1.85} \approx 8.11\times10^{-5} \]

2. Calcul de la deuxième partie :

\[ Re^{0.9} \approx \exp(0.9 \cdot \ln(510\,000)) \approx 1.36\times10^{5} \]
\[ \frac{5.74}{Re^{0.9}} \approx \frac{5.74}{1.36\times10^{5}} \approx 4.22\times10^{-5} \]

3. Somme à l’intérieur du logarithme :

\[ 8.11\times10^{-5} + 4.22\times10^{-5} = 1.233\times10^{-4} \]

4. Calcul du logarithme décimal :

\[ \log_{10}(1.233\times10^{-4}) \approx -3.908 \]

5. Calcul de \(f\) :

\[ f = \frac{0.25}{(-3.908)^2} \] \[ f = \frac{0.25}{15.27} \] \[ f \approx 0.0164 \]

b. Calcul de la perte de charge \(h_x\)

1. Calcul de \(\frac{L}{D}\) :

\[ \frac{L}{D} = \frac{5000}{0.5} = 10\,000 \]

2. Calcul de \(\frac{V^2}{2\cdot g}\) :

\[ \frac{V^2}{2\cdot9.81} = \frac{(1.02)^2}{19.62} \] \[ \approx \frac{1.0404}{19.62} \approx 0.05304\ \text{m} \]

3. Calcul final de \(h_x\) :

\[ h_x = 0.0164 \times 10\,000 \times 0.05304 \] \[ h_x \approx 8.70\ \text{m} \]

Conclusion : La perte de charge due à la friction est d’environ 8,70 m.

3. Distribution de pression entre les points A et B

Les réservoirs étant ouverts, on peut utiliser l’équation de Bernoulli simplifiée entre A et B. En négligeant les vitesses dans les réservoirs, on a :

\[ z_A = z_B + h_f + h_d \]

ou, en considérant la perte de charge \(h_x\) due à la friction, la différence de niveau réel entre A et B s’exprime par :

\[ h_{\text{total}} = (z_A – z_B) = h_f + h_{\text{utilisable}} \]

Ici :

\(z_A = 250\) m (point A)
\(z_B = 200\) m (point B)
\(h_f \approx 8.70\) m

La hauteur disponible pour la distribution de la pression (\(h_{\text{utilisable}}\)) est donc :

\[ h_{\text{utilisable}} = (z_A – z_B) – h_x \] \[ h_{\text{utilisable}} = 50 – 8.70 \] \[ h_{\text{utilisable}} \approx 41.30\ \text{m} \]

a. Calcul de la pression

Pour traduire cette hauteur en pression, on utilise la relation hydrostatique :

\[ \Delta P = \rho \cdot g \cdot h \]

avec \(\rho = 1000\) kg/m\(^3\) et \(g = 9.81\) m/s\(^2\).

1. Perte de charge en pression (le long du tuyau) :

\[ \Delta P_{f} = \rho \cdot g \cdot h_x \] \[ \Delta P_{f} \approx 1000 \times 9.81 \times 8.70 \] \[ \Delta P_{f} \approx 85\,347\ \text{Pa} \]

2. Pression disponible à l’arrivée (correspondant à \(h_{\text{utilisable}}\)) :

\[ \Delta P_{\text{utilisable}} = \rho \cdot g \cdot h_{\text{utilisable}} \] \[ \Delta P_{\text{utilisable}} \approx 1000 \times 9.81 \times 41.30 \] \[ \Delta P_{\text{utilisable}} \approx 405\,000\ \text{Pa} \]

Interprétation :

La pression initiale (en tenant compte de la hauteur de 50 m) serait équivalente à 1000 × 9,81 × 50 ≈ 490 500 Pa si aucune perte n’était présente.
La friction induit une chute de pression d’environ 85 347 Pa, de sorte que la pression restante pour la distribution dans la ville est d’environ 405 000 Pa.

b. Distribution le long de la conduite

Pour un point quelconque situé à une distance \(x\) du point A (\(0 \leq x \leq L\)), la hauteur résiduelle \(h(x)\) s’exprime par :

\[ h(x) = \left(z_A – \frac{x}{L}(z_A – z_B)\right) – \left( f \cdot \frac{x}{D} \cdot \frac{V^2}{2g} \right) \]

Ce qui permet d’obtenir la pression à ce point par :

\[ P(x) = P_{\text{atm}} + \rho \cdot g \cdot h(x) \]

où \(P_{\text{atm}}\) est la pression atmosphérique. Dans ce cas, comme les deux réservoirs sont ouverts, la pression à la surface est atmosphérique, et l’excès de pression est généré par la hauteur d’eau résiduelle.

Calcul de la Distribution de Pression

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