Calcul de la Position du Centre de Poussée
Comprendre le Calcul de la Position du Centre de Poussée
Vous êtes un ingénieur hydraulique travaillant sur la conception d’un barrage. Une des étapes clés de la conception est de déterminer la stabilité du barrage face à la pression de l’eau. Pour cela, il est essentiel d’estimer la position du centre de poussée sur une paroi du barrage.
Données:
- Forme de la paroi du barrage : La paroi est un rectangle vertical.
- Hauteur de la paroi (H) : 15 mètres.
- Largeur de la paroi (W) : 10 mètres.
- Profondeur de l’eau (D) : 12 mètres.
Vous pouvez ignorer la pression atmosphérique et supposer que la paroi est parfaitement verticale et lisse.
Questions:
1. Quelle est la valeur de la force totale exercée par l’eau sur la paroi du barrage ?
2. À quelle hauteur du bas de la paroi se trouve le centre de poussée ?
Correction : Calcul de la Position du Centre de Poussée
1. Calcul de la Force Totale Exerçant sur la Paroi
La pression hydrostatique à une profondeur \( y \) est donnée par :
\[ p(y) = \rho \, g \, y \]
où :
- \(\rho\) est la masse volumique de l’eau (en kg/m\(^3\)),
- \(g\) l’accélération due à la gravité (en m/s\(^2\)),
- \(y\) la profondeur mesurée à partir de la surface libre.
La force infinitésimale sur une bande horizontale d’épaisseur \( dy \) et de largeur \( W \) est :
\[ dF = p(y) \, dA \] \[ dF = \rho \, g \, y \, (W \, dy) \]
Pour obtenir la force totale \( F \) sur la paroi immergée (sur une profondeur \( D \)), on intègre de \( y=0 \) (surface libre) à \( y=D \) (bord immergé inférieur) :
\[ F = \int_{0}^{D} \rho \, g \, y \, W \, dy \] \[ F = \rho \, g \, W \int_{0}^{D} y \, dy \]
Formule et Données
- Largeur de la paroi : \( W = 10 \) m
- Profondeur de l’eau : \( D = 12 \) m
- En supposant \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\) et \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)
L’intégrale se calcule comme suit :
\[ \int_{0}^{D} y \, dy = \frac{D^2}{2} = \frac{12^2}{2} = \frac{144}{2} = 72 \, \text{m}^2 \]
Calcul
\[ F = \rho \, g \, W \cdot 72 \] \[ F = 1000 \times 9,81 \times 10 \times 72 \] \[ F = 1000 \times 9,81 \times 720 \] \[ F = 7\,063\,200 \, \text{N} \]
Résultat : La force totale exercée par l’eau sur la paroi est d’environ \(7,06 \times 10^6\) N.
2. Calcul de la Position du Centre de Poussée
Le centre de poussée (ou centre de pression) se détermine en calculant le moment de la pression par rapport à la surface et en divisant par la force totale. Pour une paroi verticale, la position \( y_{cp} \) mesurée depuis la surface libre est donnée par :
\[ y_{cp} = \frac{\int_{0}^{D} y \, p(y) \, dA}{F} \] \[ y_{cp} = \frac{\int_{0}^{D} y \, (\rho \, g \, y) \, W \, dy}{F} \] \[ y_{cp} = \frac{\rho \, g \, W \int_{0}^{D} y^2 \, dy}{F} \]
L’intégrale :
\[ \int_{0}^{D} y^2 \, dy = \frac{D^3}{3} = \frac{12^3}{3} = \frac{1728}{3} = 576 \, \text{m}^3 \]
Formule et Calcul
On a donc :
\[ y_{cp} = \frac{\rho \, g \, W \cdot 576}{F} \]
Rappelant que \( F = \rho \, g \, W \cdot \frac{12^2}{2} = \rho \, g \, W \cdot 72 \), on obtient :
\[ y_{cp} = \frac{576}{72} = 8 \, \text{m} \]
Ce résultat représente la position du centre de poussée depuis la surface libre de l’eau.
Pour répondre à la question « à quelle hauteur du bas de la paroi se trouve le centre de poussée ? », sachant que la partie immergée de la paroi mesure \( D = 12 \) m, la distance entre le centre de pression et le bas de la paroi immergée est :
\[ \text{Hauteur à partir du bas} = D – y_{cp} \] \[ \text{Hauteur à partir du bas} = 12 – 8 \] \[ \text{Hauteur à partir du bas} = 4 \, \text{m} \]
Résultat : Le centre de poussée se trouve à 4 mètres du bas de la paroi immergée.
Conclusion
- 1. Force Totale Exerçant sur la Paroi : \( F \approx 7\,063\,200 \, \text{N} \)
- 2. Position du Centre de Poussée :
À 8 m en partant de la surface libre, soit 4 m au-dessus du bas de la paroi immergée.
Calcul de la Position du Centre de Poussée
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