Calcul de la Force sur une Paroi de Barrage
Comprendre le Calcul de la Force sur une Paroi de Barrage
Un barrage rectangulaire retient de l’eau pour une utilisation agricole. La paroi du barrage est verticale et en contact avec l’eau sur une de ses faces. L’objectif de cet exercice est de calculer la force totale exercée par l’eau sur cette paroi du barrage.
Données:
- Hauteur de l’eau (\(H\)): 15 mètres
- Largeur de la paroi du barrage (\(W\)): 50 mètres
- Densité de l’eau (\(\rho\)): 1000 kg/m\(^3\)
- Accélération due à la gravité (\(g\)): 9.81 m/s\(^2\)
Questions:
1. Calculer la pression hydrostatique en un point à la profondeur \(h\) de la paroi.
2. Déterminer la distribution de la pression le long de la paroi.
3. Calculer la force totale exercée par l’eau sur la paroi du barrage.
4. Déterminer le point d’application de cette force (centre de pression).
Correction : Calcul de la Force sur une Paroi de Barrage
1. Calcul de la pression hydrostatique en un point à la profondeur \( h \)
La pression hydrostatique à une profondeur \( h \) est due au poids de la colonne d’eau située au-dessus. La formule de base est :
\[ p = \rho \, g \, h \]
Données :
- Densité de l’eau : \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
- Accélération due à la gravité : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
- Profondeur : \(h\) (variable)
Calcul :
En substituant les valeurs dans la formule, on obtient :
\[ p = 1000 \times 9.81 \times h \] \[ p = 9810 \, h \quad \text{(en Pascals, Pa)} \]
Pour \(h = 15 \, \text{m}\) (la profondeur maximale) :
\[ p = 1000 \times 9.81 \times 15 \] \[ p = 147150 \, \text{Pa} \]
2. Distribution de la pression le long de la paroi
La pression hydrostatique varie linéairement avec la profondeur. Ainsi, chaque point de la paroi à une profondeur \( h \) subit une pression :
\[ p(h) = \rho \, g \, h \]
Données :
- \(h\) varie de 0 (surface de l’eau) à \(15 \, \text{m}\) (base de la paroi)
Conclusion :
La distribution de la pression est linéaire :
- À \(h = 0\) : \(p = 0\)
- À \(h = 15 \, \text{m}\) : \(p = 147150 \, \text{Pa}\)
3. Calcul de la force totale exercée par l’eau sur la paroi
La force exercée sur une petite surface \( dA \) est donnée par :
\[ dF = p \, dA \]
Pour une bande horizontale de la paroi de largeur \( W \) et d’épaisseur \( dh \), on a \( dA = W \, dh \).
La force totale est donc obtenue par l’intégration de \( dF \) de la surface (\( h = 0 \)) à la base (\( h = H \)) de la paroi.
Formule :
\[ F = \int_{0}^{H} p(h) \, dA = \int_{0}^{H} \rho \, g \, h \, (W \, dh) \] \[ F = \rho \, g \, W \int_{0}^{H} h \, dh \] \[ F = \rho \, g \, W \left[\frac{H^2}{2}\right] \]
Données :
- \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
- \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
- Largeur de la paroi : \(W = 50 \, \text{m}\)
- Hauteur de l’eau : \(H = 15 \, \text{m}\)
Calcul :
1. Calcul de \( H^2 \) :
\[ 15^2 = 225 \, \text{m}^2 \]
2. Intégrale :
\[ \frac{H^2}{2} = \frac{225}{2} = 112.5 \, \text{m}^2 \]
3. Substitution dans la formule :
\[ F = 1000 \times 9.81 \times 50 \times 112.5 \] \[ F = 1000 \times 55181.25 \] \[ F = 55\,181\,250 \, \text{N} \]
Conclusion :
La force totale exercée par l’eau sur la paroi du barrage est :
\[ F \approx 5.52 \times 10^7 \, \text{N} \]
4. Détermination du point d’application de la force (Centre de pression)
Le centre de pression est le point d’application de la force résultante, qui se trouve à la profondeur moyenne pondérée par la pression. Pour une paroi verticale, il est donné par :
\[ h_{cp} = \frac{\int_{0}^{H} h \, p(h) \, dA}{\int_{0}^{H} p(h) \, dA} \]
En utilisant \(p(h) = \rho \, g \, h\) et \(dA = W \, dh\), on obtient :
\[ h_{cp} = \frac{\int_{0}^{H} h \, (\rho \, g \, h) \, W \, dh}{\int_{0}^{H} (\rho \, g \, h) \, W \, dh} = \frac{\int_{0}^{H} h^2 \, dh}{\int_{0}^{H} h \, dh} \]
Calcul des intégrales :
- Numérateur :
\[ \int_{0}^{H} h^2 \, dh = \left[\frac{H^3}{3}\right]_0^{H} = \frac{H^3}{3} \]
- Dénominateur :
\[ \int_{0}^{H} h \, dh = \left[\frac{H^2}{2}\right]_0^{H} = \frac{H^2}{2} \]
Formule simplifiée :
\[ h_{cp} = \frac{\frac{H^3}{3}}{\frac{H^2}{2}} = \frac{2}{3} H \]
Données :
- \(H = 15 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ h_{cp} = \frac{2}{3} \times 15 = 10 \, \text{m} \]
Conclusion :
Le centre de pression, c’est-à-dire le point d’application de la force totale, se trouve à 10 mètres de la surface de l’eau.
Calcul de la Force sur une Paroi de Barrage
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