Études de cas pratique

EGC

Étude de la Pression Hydrostatique

Étude de la Pression Hydrostatique en Hydraulique

Étude de la Pression Hydrostatique

Comprendre la Pression Hydrostatique

La pression hydrostatique est la pression exercée par un fluide au repos, en un point quelconque à l'intérieur du fluide, en raison de la force de gravité. Cette pression augmente linéairement avec la profondeur sous la surface libre du fluide. Elle dépend de la masse volumique (\(\rho\)) du fluide, de l'accélération due à la gravité (\(g\)), et de la profondeur (\(h\)) du point considéré. La pression hydrostatique agit dans toutes les directions et est toujours perpendiculaire aux surfaces sur lesquelles elle s'exerce. La compréhension de la pression hydrostatique est fondamentale en hydraulique pour le dimensionnement des réservoirs, des barrages, des conduites sous pression, et pour l'analyse de la stabilité des corps immergés ou flottants.

Données de l'étude

On considère un réservoir rectangulaire ouvert à l'atmosphère, rempli d'eau.

Caractéristiques du réservoir et du fluide :

  • Longueur du réservoir (\(L\)) : \(4 \, \text{m}\)
  • Largeur du réservoir (\(l\)) : \(2 \, \text{m}\)
  • Hauteur d'eau dans le réservoir (\(H\)) : \(3 \, \text{m}\)
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Pression atmosphérique (\(P_{\text{atm}}\)) : \(101325 \, \text{Pa}\) (environ \(1.013 \, \text{bar}\))
Schéma : Réservoir et Pression Hydrostatique
Pression Hydrostatique dans un Réservoir {/* */} {/* */} Surface libre (P_atm) {/* */} Distribution de Pression {/* */} Force F_fond {/* */} H = 3 m Fond (L x l)

Schéma illustrant la distribution de la pression hydrostatique et la force sur le fond d'un réservoir.

Questions à traiter

  1. Calculer la pression hydrostatique relative (\(P_{\text{rel}}\)) au fond du réservoir.
  2. Calculer la pression hydrostatique absolue (\(P_{\text{abs}}\)) au fond du réservoir.
  3. Calculer la force hydrostatique totale (\(F_{\text{fond}}\)) exercée par l'eau sur le fond du réservoir.
  4. Calculer la force hydrostatique totale (\(F_{\text{paroi}}\)) exercée par l'eau sur l'une des parois verticales de longueur \(L = 4 \, \text{m}\).
  5. Déterminer la position du centre de poussée (ou centre de pression, \(y_{cp}\)) sur cette paroi verticale, mesurée à partir de la surface libre.

Correction : Étude de la Pression Hydrostatique

Question 1 : Pression Hydrostatique Relative (\(P_{\text{rel}}\)) au Fond

Principe :

La pression hydrostatique relative (ou manométrique) en un point d'un fluide au repos est la pression due uniquement à la hauteur de la colonne de fluide au-dessus de ce point. Elle est calculée par la formule \(P_{\text{rel}} = \rho \cdot g \cdot h\), où \(h\) est la profondeur du point par rapport à la surface libre du fluide.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_{\text{rel}} = \rho \cdot g \cdot H \]
Données spécifiques :
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Hauteur d'eau (\(H\)) : \(3 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{rel}} &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 3 \, \text{m} \\ &= 29430 \, \text{kg/(m}\cdot\text{s}^2\text{)} \quad (\text{sachant que Pa} = \text{N/m}^2 = \text{kg/(m}\cdot\text{s}^2\text{)}) \\ &= 29430 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

On peut aussi l'exprimer en kilopascals (kPa) : \(P_{\text{rel}} = 29.43 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 1 : La pression hydrostatique relative au fond du réservoir est \(P_{\text{rel}} = 29430 \, \text{Pa}\) (ou \(29.43 \, \text{kPa}\)).

Question 2 : Pression Hydrostatique Absolue (\(P_{\text{abs}}\)) au Fond

Principe :

La pression hydrostatique absolue en un point est la somme de la pression hydrostatique relative et de la pression agissant à la surface libre du fluide. Si le réservoir est ouvert à l'atmosphère, cette pression de surface est la pression atmosphérique (\(P_{\text{atm}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_{\text{abs}} = P_{\text{rel}} + P_{\text{atm}} \]
Données spécifiques :
  • \(P_{\text{rel}} = 29430 \, \text{Pa}\) (résultat Q1)
  • \(P_{\text{atm}} = 101325 \, \text{Pa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{abs}} &= 29430 \, \text{Pa} + 101325 \, \text{Pa} \\ &= 130755 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

En kilopascals : \(P_{\text{abs}} = 130.755 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 2 : La pression hydrostatique absolue au fond du réservoir est \(P_{\text{abs}} = 130755 \, \text{Pa}\) (ou \(130.76 \, \text{kPa}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le réservoir était fermé et soumis à une surpression de \(20 \, \text{kPa}\) à sa surface libre (en plus de la pression atmosphérique), la pression absolue au fond serait :

Question 3 : Force Hydrostatique Totale (\(F_{\text{fond}}\)) sur le Fond

Principe :

La force hydrostatique exercée sur une surface plane horizontale immergée est égale au produit de la pression hydrostatique (relative ou absolue, selon que l'on s'intéresse à la force due à l'eau seule ou à la force totale incluant l'effet de l'atmosphère) au niveau de cette surface par l'aire de la surface. Pour le fond, la pression est uniforme sur toute sa surface.

On calcule généralement la force due à l'eau seule (en utilisant la pression relative), car la pression atmosphérique s'exerce aussi de l'autre côté du fond (s'il est exposé à l'air), annulant son effet net sur la structure.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_{\text{fond}} = P_{\text{rel,fond}} \times A_{\text{fond}} \] \[ A_{\text{fond}} = L \times l \]
Données spécifiques :
  • \(P_{\text{rel,fond}} = 29430 \, \text{Pa}\) (résultat Q1)
  • Longueur du réservoir (\(L\)) : \(4 \, \text{m}\)
  • Largeur du réservoir (\(l\)) : \(2 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{\text{fond}} &= 4 \, \text{m} \times 2 \, \text{m} = 8 \, \text{m}^2 \\ F_{\text{fond}} &= 29430 \, \text{N/m}^2 \times 8 \, \text{m}^2 \\ &= 235440 \, \text{N} \end{aligned} \]

En kilonewtons : \(F_{\text{fond}} = 235.44 \, \text{kN}\).

Résultat Question 3 : La force hydrostatique totale exercée par l'eau sur le fond du réservoir est \(F_{\text{fond}} = 235440 \, \text{N}\) (ou \(235.44 \, \text{kN}\)).

Question 4 : Force Hydrostatique Totale (\(F_{\text{paroi}}\)) sur une Paroi Verticale

Principe :

La pression hydrostatique sur une paroi verticale n'est pas uniforme ; elle varie linéairement de zéro à la surface libre à \(\rho g H\) au fond. La force résultante sur la paroi est égale au produit de la pression au centre de gravité de la surface mouillée (\(P_G\)) par l'aire de cette surface mouillée (\(A_{\text{paroi}}\)). Pour une paroi rectangulaire de hauteur \(H\) et de largeur \(L\), le centre de gravité de la surface mouillée est à \(H/2\) de la surface libre. La pression à ce point est \(P_G = \rho g (H/2)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_G = \rho \cdot g \cdot \frac{H}{2} \] \[ A_{\text{paroi}} = L \cdot H \] \[ F_{\text{paroi}} = P_G \cdot A_{\text{paroi}} = \left(\rho g \frac{H}{2}\right) \cdot (LH) = \frac{1}{2} \rho g L H^2 \]
Données spécifiques :
  • \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\), \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Longueur de la paroi (\(L\)) : \(4 \, \text{m}\)
  • Hauteur d'eau (\(H\)) : \(3 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_{\text{paroi}} &= \frac{1}{2} \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 4 \, \text{m} \times (3 \, \text{m})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 1000 \times 9.81 \times 4 \times 9 \\ &= 500 \times 9.81 \times 36 \\ &= 176580 \, \text{N} \end{aligned} \]

En kilonewtons : \(F_{\text{paroi}} = 176.58 \, \text{kN}\).

Résultat Question 4 : La force hydrostatique totale sur la paroi verticale de \(4 \, \text{m}\) de long est \(F_{\text{paroi}} \approx 176580 \, \text{N}\) (ou \(176.58 \, \text{kN}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la hauteur d'eau (\(H\)) dans le réservoir double, la force hydrostatique sur une paroi verticale (de même largeur) :

Question 5 : Position du Centre de Poussée (\(y_{cp}\)) sur la Paroi Verticale

Principe :

Le centre de poussée (ou centre de pression) est le point d'application de la force hydrostatique résultante sur une surface. Pour une surface rectangulaire verticale de hauteur \(H\) immergée à partir de la surface libre, le centre de poussée se situe à \(2/3\) de la hauteur d'eau (\(H\)) mesurée à partir de la surface libre (ou \(1/3\) de \(H\) mesurée à partir du fond).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ y_{cp} = \frac{2}{3} H \quad (\text{mesuré depuis la surface libre}) \]
Données spécifiques :
  • Hauteur d'eau (\(H\)) : \(3 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_{cp} &= \frac{2}{3} \times 3 \, \text{m} \\ &= 2 \, \text{m} \end{aligned} \]

Le centre de poussée est donc à 2 mètres sous la surface libre de l'eau.

Résultat Question 5 : La position du centre de poussée sur la paroi verticale est \(y_{cp} = 2 \, \text{m}\) depuis la surface libre.

Quiz Intermédiaire 3 : Le centre de poussée sur une surface plane immergée est toujours :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La pression hydrostatique en un point d'un fluide au repos dépend de :

2. La force hydrostatique sur une surface plane immergée est égale à :

3. Le centre de poussée sur une paroi verticale rectangulaire immergée depuis la surface libre est situé :

Glossaire

Pression Hydrostatique (\(P\))
Pression exercée par un fluide au repos en un point donné, due au poids de la colonne de fluide située au-dessus de ce point. Unité : Pascal (Pa) ou \(\text{N/m}^2\).
Pression Relative (ou Manométrique)
Pression mesurée par rapport à la pression atmosphérique ambiante. \(P_{\text{rel}} = \rho g h\).
Pression Absolue
Pression totale en un point, incluant la pression atmosphérique. \(P_{\text{abs}} = P_{\text{rel}} + P_{\text{atm}}\).
Masse Volumique (\(\rho\))
Masse par unité de volume d'une substance. Unité : \(\text{kg/m}^3\).
Force Hydrostatique (\(F\))
Force résultante exercée par un fluide au repos sur une surface (plane ou courbe). Unité : Newton (N).
Centre de Poussée (ou Centre de Pression, \(y_{cp}\))
Point d'application de la force hydrostatique résultante sur une surface immergée. Il ne coïncide généralement pas avec le centre de gravité de la surface, sauf si la pression est uniforme.
Principe de Pascal
Principe stipulant qu'une variation de pression appliquée à un fluide incompressible confiné est transmise intégralement à tous les points du fluide et aux parois du contenant.
Étude de la Pression Hydrostatique - Exercice d'Application

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