Calcul la vitesse de l’eau dans un tuyau

Comprendre le Calcul la vitesse de l’eau dans un tuyau

Vous êtes un(e) ingénieur(e) travaillant sur la conception d’un système d’irrigation pour une ferme agricole. Le système est alimenté par une source d’eau située à une certaine hauteur par rapport au niveau du sol de la ferme. Afin d’optimiser la distribution de l’eau à travers les champs, vous devez calculer la vitesse de l’eau dans les différents segments du tuyau d’irrigation.

Données:

Altitude de la source d’eau : 20 mètres au-dessus du niveau du sol de la ferme.
Longueur du tuyau principal : 500 mètres.
Diamètre du tuyau principal : 0,15 mètres.
Changement d’altitude : Le tuyau descend à un niveau 5 mètres au-dessus du niveau du sol sur sa longueur.
Diamètre du tuyau secondaire : 0,10 mètres, se divisant à partir du tuyau principal.
Viscosité de l’eau : négligeable pour cet exercice.
Débit volumétrique au début du tuyau principal : 0,05 m³/s.

Calcul la vitesse de l'eau dans un tuyau

Question:

Calculez la vitesse de l’eau dans le tuyau secondaire, en considérant que le système d’irrigation fonctionne sans pertes d’énergie significatives dues à la friction ou à d’autres facteurs.

Correction : Calcul la vitesse de l’eau dans un tuyau

1. Calcul de la vitesse initiale dans le tuyau principal

But :

Déterminer la vitesse de l’eau dans le tuyau principal, en utilisant le débit volumétrique donné et la section du tuyau.

Formule utilisée

La relation entre débit \( Q \), vitesse \( v \) et aire de la section \( A \) est :

\[ Q = A \times v \quad \Longrightarrow \quad v = \frac{Q}{A} \]

Données

Débit volumétrique (au début du tuyau principal) :

\[ Q = 0,05\ \text{m}^3/\text{s} \]

Diamètre du tuyau principal :

\[ D_1 = 0,15\ \text{m} \]

Aire de la section circulaire :

La formule de l’aire d’un cercle est

\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]

Ainsi, pour le tuyau principal :

\[ A_1 = \frac{\pi (0,15)^2}{4} \] \[ A_1 = \frac{\pi \times 0,0225}{4} \] \[ A_1 \approx 0,01767\ \text{m}^2 \]

Calcul

En substituant :

\[ v_1 = \frac{0,05}{0,01767} \approx 2,83\ \text{m/s} \]

Interprétation :
Au départ, dans le tuyau principal, l’eau se déplace à environ 2,83 m/s.

2. Application du principe de Bernoulli (sans pertes d’énergie)

But :
Calculer la vitesse dans le tuyau secondaire en tenant compte de l’accélération due à la chute de hauteur, d’après le principe de conservation de l’énergie (Bernoulli) dans un écoulement sans pertes.

Contexte et hypothèses

Hauteur de la source d’eau : \( z_1 = 20\ \text{m} \)
Hauteur à la fin du segment (niveau du tuyau secondaire) : \( z_2 = 5\ \text{m} \)
La différence de hauteur est donc :

\[ \Delta h = z_1 – z_2 \] \[ \Delta h = 20 – 5 \] \[ \Delta h = 15\ \text{m} \]

On néglige les pertes (friction, turbulence, etc.).

Formule (Bernoulli simplifié)

En appliquant Bernoulli entre un point en amont (débit initial dans le tuyau principal) et le point de sortie du tuyau secondaire, la conservation de l’énergie mécanique donne :

\[ z_1 + \frac{v_1^2}{2g} = z_2 + \frac{v_2^2}{2g} \]

où :

\( v_1 \) est la vitesse initiale (calculée précédemment),
\( v_2 \) est la vitesse dans le tuyau secondaire,
\( g \) est l’accélération due à la pesanteur (\( g = 9,81\ \text{m/s}^2 \)).

En isolant \( v_2 \) :

\[ \frac{v_2^2}{2g} = \frac{v_1^2}{2g} + (z_1 – z_2) \] \[ \Longrightarrow \quad v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2g\,(z_1 – z_2)} \]

Données à substituer

\( v_1 = 2,83\ \text{m/s} \)
\( g = 9,81\ \text{m/s}^2 \)
\( \Delta h = 15\ \text{m} \)

Calcul

1. Calcul de \( 2g\Delta h \) :

\[ 2 \times 9,81 \times 15 = 294,3\ \text{m}^2/\text{s}^2 \]

2. Calcul de \( v_1^2 \) :

\[ (2,83)^2 \approx 8,0089\ \text{m}^2/\text{s}^2 \]

3. Somme :

\[ 8,0089 + 294,3 \approx 302,3089\ \text{m}^2/\text{s}^2 \]

4. Vitesse dans le tuyau secondaire :

\[ v_2 = \sqrt{302,3089} \] \[ v_2 \approx 17,39\ \text{m/s} \]

Interprétation :
En tenant compte de la conversion de l’énergie potentielle en énergie cinétique (sans pertes), la vitesse de l’eau dans le tuyau secondaire est d’environ 17,39 m/s.

3. Discussion sur la conservation de la masse et le débit

Il est utile de remarquer que :

Continuité (conservation de la masse) :
Pour un fluide incompressible en écoulement stationnaire, le débit volumétrique \( Q \) doit être constant le long d’un même écoulement :

\[ Q = A \times v \]

Ainsi, si on connaît la section du tuyau secondaire, on pourrait écrire :

\[ v_{\text{sec}} = \frac{Q}{A_{\text{sec}}} \]

avec

\[ A_{\text{sec}} = \frac{\pi (0,10)^2}{4} \approx 0,007854\ \text{m}^2 \]

En supposant que \( Q = 0,05\ \text{m}^3/\text{s} \) reste constant, on obtiendrait :

\[ v_{\text{sec}} = \frac{0,05}{0,007854} \approx 6,37\ \text{m/s} \]

Point de vue énergétique (Bernoulli)} :
Le calcul précédent utilisant Bernoulli montre que, si l’on tient compte de l’accélération due à la chute de \( 15\ \text{m} \) (sans pertes), la vitesse devrait être d’environ 17,39 m/s.

Ces deux approches mettent en évidence une différence fondamentale :

Le calcul par continuité part du principe que le débit volumétrique imposé est constant, ce qui correspondrait à un système régulé (par exemple, à l’aide d’un dispositif de contrôle ou d’une pompe maintenant \( Q \) constant).
Le calcul par Bernoulli montre l’accélération théorique d’un fluide en chute libre (sans pertes) entre deux hauteurs, impliquant une conversion d’énergie potentielle en énergie cinétique.

Interprétation dans le contexte de l’exercice :
La question précise « sans pertes d’énergie » ce qui nous conduit à utiliser le principe de Bernoulli pour tenir compte de l’effet de la chute. Ainsi, la vitesse dans le tuyau secondaire est estimée à environ 17,39 m/s.

Calcul la vitesse de l’eau dans un tuyau

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