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Calcul du Débit Volumique en Hydraulique

Calcul du Débit Volumique en Hydraulique

Calcul du Débit Volumique en Hydraulique

Comprendre le Débit Volumique

Le débit volumique, souvent noté \(Q_v\) ou simplement \(Q\), est une mesure fondamentale en mécanique des fluides. Il représente le volume de fluide qui traverse une section donnée (par exemple, la section transversale d'une conduite ou d'un canal) par unité de temps. Comprendre et calculer le débit volumique est essentiel pour la conception et l'analyse de nombreux systèmes hydrauliques, tels que les réseaux d'adduction d'eau, les canaux d'irrigation, les systèmes de pompage, et bien d'autres applications. Il est directement lié à la vitesse moyenne du fluide et à l'aire de la section d'écoulement.

Données de l'étude

De l'eau s'écoule dans une conduite circulaire horizontale de diamètre intérieur constant. Un anémomètre inséré dans la conduite mesure une vitesse moyenne de l'eau.

Caractéristiques de la conduite et de l'écoulement :

  • Diamètre intérieur de la conduite (\(D\)) : \(200 \, \text{mm}\)
  • Vitesse moyenne de l'eau dans la conduite (\(V\)) : \(1.5 \, \text{m/s}\)

On supposera que l'écoulement est uniforme sur la section considérée.

Schéma : Écoulement dans une conduite circulaire
Vitesse moyenne V Section A D Écoulement dans une conduite

Schéma d'un écoulement uniforme dans une conduite circulaire de diamètre D.

Questions à traiter

  1. Définir le débit volumique \(Q_v\) et donner sa formule générale en fonction de la vitesse moyenne \(V\) et de l'aire de la section \(A\).
  2. Calculer le rayon \(R\) de la conduite en mètres.
  3. Calculer l'aire de la section transversale \(A\) de la conduite en mètres carrés (\(\text{m}^2\)).
  4. Calculer le débit volumique \(Q_v\) en mètres cubes par seconde (\(\text{m}^3\text{/s}\)).
  5. Convertir le débit volumique \(Q_v\) en litres par seconde (\(\text{L/s}\)).
  6. Si le diamètre de la conduite était doublé, et la vitesse moyenne de l'eau restait la même, quel serait le nouveau débit volumique ?

Correction : Calcul du Débit Volumique en Hydraulique

Question 1 : Définition et formule du débit volumique \(Q_v\)

Principe :

Le débit volumique (\(Q_v\)) représente le volume de fluide qui s'écoule à travers une section transversale donnée par unité de temps. Si la vitesse du fluide \(V\) est uniforme sur toute la section d'aire \(A\) et perpendiculaire à cette section, le débit volumique est le produit de l'aire de la section par la vitesse moyenne du fluide.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_v = A \cdot V\]

Où :

  • \(Q_v\) est le débit volumique (en \(\text{m}^3\text{/s}\))
  • \(A\) est l'aire de la section transversale (en \(\text{m}^2\))
  • \(V\) est la vitesse moyenne du fluide à travers la section (en \(\text{m/s}\))
Résultat Question 1 : Le débit volumique est le volume de fluide traversant une section par unité de temps, donné par \(Q_v = A \cdot V\).

Question 2 : Calcul du rayon \(R\) de la conduite

Principe :

Le rayon \(R\) d'un cercle est la moitié de son diamètre \(D\).

Données spécifiques :
  • Diamètre \(D = 200 \, \text{mm}\)
Calcul :

Conversion du diamètre en mètres :

\[ D = 200 \, \text{mm} = 200 \times 10^{-3} \, \text{m} = 0.200 \, \text{m} \]

Calcul du rayon :

\[ \begin{aligned} R &= \frac{D}{2} \\ &= \frac{0.200 \, \text{m}}{2} \\ &= 0.100 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le rayon de la conduite est \(R = 0.100 \, \text{m}\).

Question 3 : Calcul de l'aire de la section \(A\)

Principe :

L'aire d'une section circulaire est donnée par la formule \(A = \pi R^2\) ou \(A = \frac{\pi D^2}{4}\).

Données spécifiques :
  • Rayon \(R = 0.100 \, \text{m}\) (ou Diamètre \(D = 0.200 \, \text{m}\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \pi R^2 \\ &= \pi (0.100 \, \text{m})^2 \\ &= \pi (0.0100 \, \text{m}^2) \\ &\approx 3.14159 \times 0.0100 \, \text{m}^2 \\ &\approx 0.0314159 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(0.0314 \, \text{m}^2\) pour les calculs suivants.

Résultat Question 3 : L'aire de la section transversale de la conduite est \(A \approx 0.0314 \, \text{m}^2\).

Question 4 : Calcul du débit volumique \(Q_v\) en \(\text{m}^3\text{/s}\)

Principe :

On utilise la formule \(Q_v = A \cdot V\).

Données spécifiques :
  • Aire \(A \approx 0.0314159 \, \text{m}^2\)
  • Vitesse moyenne \(V = 1.5 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_v &= A \cdot V \\ &= 0.0314159 \, \text{m}^2 \times 1.5 \, \text{m/s} \\ &\approx 0.04712385 \, \text{m}^3\text{/s} \end{aligned} \]

En arrondissant à quatre chiffres significatifs : \(Q_v \approx 0.04712 \, \text{m}^3\text{/s}\).

Résultat Question 4 : Le débit volumique est \(Q_v \approx 0.04712 \, \text{m}^3\text{/s}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la vitesse du fluide double et que l'aire de la section reste la même, comment évolue le débit volumique ?

Question 5 : Conversion du débit volumique \(Q_v\) en \(\text{L/s}\)

Principe :

Pour convertir des mètres cubes par seconde (\(\text{m}^3\text{/s}\)) en litres par seconde (\(\text{L/s}\)), on utilise le fait que \(1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{L}\).

Données spécifiques :
  • \(Q_v \approx 0.04712 \, \text{m}^3\text{/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_v (\text{L/s}) &= Q_v (\text{m}^3\text{/s}) \times 1000 \, \frac{\text{L}}{\text{m}^3} \\ &= 0.04712 \, \text{m}^3\text{/s} \times 1000 \, \text{L/m}^3 \\ &= 47.12 \, \text{L/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le débit volumique est \(Q_v \approx 47.12 \, \text{L/s}\).

Question 6 : Nouveau débit volumique si le diamètre double

Principe :

Si le diamètre \(D\) de la conduite double, le nouveau diamètre \(D'\) sera \(2D\). L'aire de la section \(A'\) sera alors \(A' = \pi (R')^2 = \pi (D'/2)^2 = \pi (2D/2)^2 = \pi D^2 = 4 (\pi D^2/4) = 4A\). L'aire est quadruplée. Si la vitesse moyenne \(V\) reste la même, le nouveau débit volumique \(Q'_v\) sera \(Q'_v = A' \cdot V\).

Données spécifiques :
  • Aire initiale \(A \approx 0.0314159 \, \text{m}^2\)
  • Nouvelle aire \(A' = 4A\)
  • Vitesse moyenne \(V = 1.5 \, \text{m/s}\) (inchangée)
  • Débit volumique initial \(Q_v \approx 0.04712 \, \text{m}^3\text{/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A' &= 4 \times A \\ &\approx 4 \times 0.0314159 \, \text{m}^2 \\ &\approx 0.1256636 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Q'_v &= A' \cdot V \\ &\approx 0.1256636 \, \text{m}^2 \times 1.5 \, \text{m/s} \\ &\approx 0.1884954 \, \text{m}^3\text{/s} \end{aligned} \]

Alternativement, puisque \(Q'_v = (4A)V = 4(AV) = 4Q_v\):

\[ \begin{aligned} Q'_v &= 4 \times Q_v \\ &\approx 4 \times 0.04712385 \, \text{m}^3\text{/s} \\ &\approx 0.1884954 \, \text{m}^3\text{/s} \end{aligned} \]

En arrondissant : \(Q'_v \approx 0.1885 \, \text{m}^3\text{/s}\).

Résultat Question 6 : Si le diamètre de la conduite double et que la vitesse reste la même, le nouveau débit volumique sera \(Q'_v \approx 0.1885 \, \text{m}^3\text{/s}\) (soit \(188.5 \, \text{L/s}\)), ce qui est quatre fois le débit initial.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. Le débit volumique est une mesure de :

8. Si l'aire d'une section de conduite triple et que la vitesse du fluide est divisée par trois, le débit volumique :

9. L'unité SI standard du débit volumique est :

Glossaire

Débit Volumique (\(Q_v\))
Volume de fluide qui s'écoule à travers une section transversale par unité de temps. Formule : \(Q_v = A \cdot V\). Unité SI : \(\text{m}^3\text{/s}\).
Aire de la section (\(A\))
Surface de la section transversale à travers laquelle le fluide s'écoule. Pour une conduite circulaire de rayon \(R\) ou de diamètre \(D\), \(A = \pi R^2 = \pi D^2 / 4\). Unité SI : \(\text{m}^2\).
Vitesse moyenne (\(V\))
Vitesse moyenne des particules de fluide traversant une section. Si la vitesse n'est pas uniforme, \(V\) est la vitesse qui, multipliée par l'aire \(A\), donne le débit volumique correct. Unité SI : \(\text{m/s}\).
Conduite
Tuyau ou canal fermé servant à transporter un fluide.
Écoulement uniforme
Écoulement dans lequel le vecteur vitesse est le même en tout point de la section transversale considérée à un instant donné.
Litre (\(\text{L}\))
Unité de volume couramment utilisée. \(1 \, \text{L} = 0.001 \, \text{m}^3 = 1 \, \text{dm}^3\).
Calcul du Débit Volumique - Exercice d'Application

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