Équations d’Euler et de Bernoulli

Équations d’Euler et de Bernoulli

Comprendre l’Équations d’Euler et de Bernoulli

Considérons un fluide incompressible s’écoulant dans un tube horizontal de diamètres différents. Le diamètre du tube à l’entrée est de D1 = 0.5 mètres et à la sortie est de D2 = 0.25 mètres.

Le fluide entre dans le tube avec une vitesse V1 = 2 m/s. La pression atmosphérique est de \( P_{\text{atm}} = 101325 \) Pa.

La densité du fluide est de \( \rho = 1000 \) kg/m\(^3\). On néglige les effets de viscosité.

Pour comprendre le Calcul de la Pression au Fond d’un Réservoir, cliquez sur le lien.

Question :

Calculer la vitesse du fluide à la sortie du tube et la variation de la pression entre l’entrée et la sortie du tube.

Correction : Équations d’Euler et de Bernoulli

Étape 1 : Calcul des Aires et de la Vitesse à la Sortie

1. Calcul des Aires :

  • Pour \(A_1\) (aire de l’entrée) :

\[ A_1 = \pi \times \left(\frac{D_1}{2}\right)^2 \] \[ A_1 = \pi \times \left(\frac{0.5}{2}\right)^2 \] \[ A_1 = \pi \times 0.25^2 \, \text{m}^2 \]
\[ A_1 = \pi \times 0.0625 \, \text{m}^2 \]

  • Pour \(A_2\) (aire de la sortie) :

\[ A_2 = \pi \times \left(\frac{D_2}{2}\right)^2 \] \[ A_2 = \pi \times \left(\frac{0.25}{2}\right)^2 \] \[ A_2 = \pi \times 0.125^2 \, \text{m}^2 \]
\[ A_2 = \pi \times 0.015625 \, \text{m}^2 \]

2. Calcul de la Vitesse à la Sortie \(V_2\) :

En appliquant l’équation de continuité \(A_1 V_1 = A_2 V_2\) :

\[ V_2 = \frac{A_1}{A_2} \times V_1 \] \[ V_2 = \frac{\pi \times 0.0625}{\pi \times 0.015625} \times 2 \, \text{m/s} \]
\[ V_2 = \frac{0.0625}{0.015625} \times 2 \, \text{m/s} \]
\[ V_2 = 4 \times 2 \, \text{m/s} = 8 \, \text{m/s} \]

Étape 2 : Calcul de la Pression à la Sortie

1. Application de l’Équation de Bernoulli :

En utilisant \[P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2\] :

\[101325 \, \text{Pa} + \frac{1}{2} \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \times (2 \, \text{m/s})^2 = P_2 + \frac{1}{2} \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \times (8 \, \text{m/s})^2\] \[ 101325 \, \text{Pa} + 2000 \, \text{Pa} = P_2 + 32000 \, \text{Pa} \] \[ 103325 \, \text{Pa} = P_2 + 32000 \, \text{Pa} \]

Résolution pour \( P_2 \):

\[ P_2 = 103325 \, \text{Pa} – 32000 \, \text{Pa} \] \[ P_2 = 71325 \, \text{Pa} \]

Conclusion :

La vitesse du fluide à la sortie du tube est \(V_2 = 8 \, \text{m/s}\). La variation de la pression entre l’entrée et la sortie du tube est \( P_1 – P_2 = 101325 \, \text{Pa} – 71325 \, \text{Pa} = 30000 \, \text{Pa} \).

Équations d’Euler et de Bernoulli

D’autres exercices d’hydraulique:

Chers passionnés de génie civil,

Nous nous efforçons constamment d’améliorer la qualité et l’exactitude de nos exercices sur notre site. Si vous remarquez une erreur mathématique, ou si vous avez des retours à partager, n’hésitez pas à nous en informer. Votre aide est précieuse pour perfectionner nos ressources. Merci de contribuer à notre communauté !

Cordialement, EGC – Génie Civil

0 commentaires

Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

Calcul du facteur de friction de Darcy-Weisbach

Calcul du facteur de friction de Darcy-Weisbach Comprendre le Calcul du facteur de friction de Darcy-Weisbach Dans une installation industrielle, un fluide est transporté à travers un tuyau horizontal de 500 mètres de longueur. Le tuyau est en acier commercial avec un...

Calcul du Coefficient de Frottement

Calcul du Coefficient de Frottement Comprendre le calcul du coefficient de Frottement dans le tuyau Un ingénieur travaille sur la conception d'un système de tuyauterie pour transporter de l'eau à travers une usine de traitement. Pour optimiser la conception,...

Stockage de l’eau potable

Stockage de l'eau potable Comprendre le stockage de l'eau potable La ville de Clairville souhaite améliorer son système de stockage de l'eau potable. Actuellement, la ville dispose de trois réservoirs, chacun avec des capacités différentes. Pour optimiser...

Forces exercées par l’eau sur les portes

Forces exercées par l’eau sur les portes Calcul des Forces exercées par l’eau sur les portes de l'écluse Vous êtes ingénieur hydraulique et travaillez sur la conception d'une nouvelle écluse. Il est crucial de comprendre les forces exercées par l'eau sur les portes de...

Gestion des Eaux Pluviales hydraulique

Gestion des eaux pluviales hydraulique Comprendre la gestion des eaux pluviales hydraulique : Un ingénieur hydraulique doit concevoir un système de drainage pour un nouveau lotissement. Le terrain a une superficie de 2 hectares (20 000 m²) et se situe dans une région...

Poussée d’archimède dans l’eau

Poussée d'archimède dans l'eau Comprendre la Poussée d'archimède dans l'eau Un ingénieur en génie civil doit concevoir un pont flottant pour une rivière. Pour cela, il envisage d'utiliser des cylindres en béton comme flotteurs. Cependant, il doit d'abord s'assurer que...

Analyse de l’Écoulement dans une Conduite

Analyse de l'Écoulement dans une Conduite Comprendre l'analyse de l'Écoulement dans une Conduite Une conduite d'eau horizontale de diamètre D = 0.5 m et de longueur L = 100 m transporte de l'eau à une température de 20°C. La viscosité cinématique de l'eau à cette...

Analyse la Demande en Eau

Analyse la Demande en Eau Comprendre l'analyse de la Demande en Eau La ville de "AquaVille" est en train de planifier son approvisionnement en eau potable pour les 20 prochaines années. Avec une population actuelle de 100 000 habitants, la ville connaît une croissance...

Calcul de la Pression au Fond d’un Réservoir

Calcul de la Pression au Fond d'un Réservoir Comprendre le Calcul de la Pression au Fond d'un Réservoir Un réservoir cylindrique vertical est utilisé dans une installation industrielle pour stocker de l'eau qui sera ensuite utilisée dans divers processus de...

Conservation de la masse pour un fluide

Conservation de la masse pour un fluide Comprendre la Conservation de la masse pour un fluide Considérons un système de tuyauterie utilisé dans une installation de traitement des eaux. L'eau s'écoule à travers une série de tuyaux de diamètres différents, reliant un...