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Calcul du Moment Quadratique d’une Poutre

Calcul du Moment Quadratique d’une Poutre en RDM

Calcul du Moment Quadratique d’une Poutre

Contexte : L'importance de la forme pour la résistance des poutres.

En génie civil, la capacité d'une poutre à résister à la flexion sans se déformer excessivement est primordiale. Cette propriété, appelée rigidité en flexion, ne dépend pas seulement du matériau utilisé, mais aussi et surtout de la géométrie de la section transversale de la poutre. Le moment quadratiqueAussi appelé moment d'inertie de surface, c'est une propriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la flexion. Plus il est grand, plus la poutre est rigide., noté \(I\), est la grandeur qui quantifie cette résistance géométrique. Comprendre comment le calculer, notamment pour des sections composées comme les poutres en "I", est une étape fondamentale dans le dimensionnement de structures sûres et économiques.

Remarque Pédagogique : Cet exercice se concentre sur une propriété purement géométrique. Nous allons décomposer une section complexe en formes simples (rectangles), calculer leurs propriétés individuelles, puis les assembler en utilisant le théorème de HuygensAussi connu comme le théorème des axes parallèles, il permet de calculer le moment quadratique d'une section par rapport à un axe quelconque, à partir de son moment quadratique par rapport à son propre centre de gravité. (ou théorème des axes parallèles). C'est la méthode universelle utilisée par les ingénieurs pour analyser n'importe quelle forme de section de poutre.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la position du centre de gravité (centroïde) d'une section composée.
  • Appliquer la formule du moment quadratique pour une section rectangulaire.
  • Maîtriser l'application du théorème de Huygens pour "transporter" les moments quadratiques.
  • Calculer le moment quadratique total d'une section en I par rapport à son axe de flexion principal.
  • Comprendre l'efficacité des profilés en I pour la résistance à la flexion.

Données de l'étude

On souhaite calculer le moment quadratique par rapport à l'axe horizontal passant par son centre de gravité (\(I_{Gx}\)) d'une poutre en acier de section en "I" symétrique. Les dimensions de la section sont les suivantes :

Section Transversale de la Poutre en "I"
h = 350 mm b = 300 mm tf = 50 mm tw = 50 mm

Questions à traiter

  1. Déterminer la position du centre de gravité global (\(\bar{y}\)) de la section par rapport à sa base.
  2. Calculer le moment quadratique de chaque partie rectangulaire (semelle supérieure, âme, semelle inférieure) par rapport à son propre axe centroïdal horizontal.
  3. En utilisant le théorème de Huygens, calculer le moment quadratique de chaque partie par rapport à l'axe centroïdal global de la section.
  4. Calculer le moment quadratique total \(I_{Gx}\) de la section en I.

Les bases de la RDM

Avant de commencer les calculs, revoyons les outils théoriques nécessaires.

1. Le Centre de Gravité (Centroïde) :
Le centre de gravité d'une section est son point d'équilibre géométrique. Pour une section composée de plusieurs sous-sections simples, sa position (par exemple, sur l'axe y) est la moyenne des positions des centres de gravité de chaque sous-section, pondérée par leur aire :

\[ \bar{y} = \frac{\sum (A_i \cdot y_i)}{\sum A_i} = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2 + \dots}{A_1 + A_2 + \dots} \]

2. Moment Quadratique d'un Rectangle :
Le moment quadratique d'une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\) par rapport à son axe centroïdal horizontal (passant par son centre de gravité) est donné par :

\[ I_{Gx} = \frac{b \cdot h^3}{12} \]

3. Le Théorème de Huygens (Axes Parallèles) :
Ce théorème fondamental permet de calculer le moment quadratique d'une section par rapport à n'importe quel axe (\(\Delta\)) parallèle à son axe centroïdal (\(G_x\)). Il s'exprime comme suit :

\[ I_{\Delta} = I_{Gx} + A \cdot d^2 \]

où \(A\) est l'aire de la section et \(d\) est la distance perpendiculaire entre les deux axes \(\Delta\) et \(G_x\).

Correction : Calcul du Moment Quadratique d’une Poutre

Question 1 : Déterminer la position du centre de gravité

Principe (le concept physique)

Le centre de gravité (ou centroïde) est le point d'application théorique du poids de la section. Pour une section symétrique comme celle-ci, on peut déduire sa position par simple inspection. Cependant, nous allons effectuer le calcul complet pour démontrer la méthode générale, qui est indispensable pour les sections non symétriques.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul du centroïde est une application du concept de barycentre en physique. Chaque aire élémentaire \(dA\) de la section est "pondérée" par sa distance \(y\) à un axe de référence. L'intégration de \(y \cdot dA\) sur toute la surface donne le "moment statique" de la section. En divisant ce moment statique par l'aire totale, on trouve la position moyenne, c'est-à-dire le centroïde.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Toujours commencer par définir un repère clair, généralement avec l'origine en bas à gauche de la section. Décomposer ensuite la section complexe en formes simples dont vous connaissez les propriétés (aire et position du centre de gravité). La rigueur dans cette étape de décomposition est la clé du succès.

Normes (la référence réglementaire)

La position du centre de gravité est une donnée d'entrée fondamentale pour toutes les formules de RDM régies par les normes (Eurocodes, etc.). Elle définit l'axe neutre pour une poutre en flexion simple, qui est la fibre ne subissant ni traction ni compression.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La position verticale du centre de gravité \(\bar{y}\) par rapport à la base de la section est :

\[ \bar{y} = \frac{\sum (A_i \cdot y_i)}{\sum A_i} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

La section est décomposée en trois rectangles : la semelle inférieure (1), l'âme (2), et la semelle supérieure (3). Le repère est placé à la base de la semelle inférieure.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Toutes les dimensions sont en mm.

  • Semelle (1 et 3) : \(b=300\), \(h=50\)
  • Âme (2) : \(b=50\), \(h=250\)
  • Hauteur totale : \(H=350\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour une section symétrique par rapport à l'axe horizontal, le centre de gravité se trouve toujours à mi-hauteur. Ici, la hauteur totale est de 350 mm, donc on s'attend à trouver \(\bar{y} = 350 / 2 = 175 \, \text{mm}\). Le calcul sert de vérification.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la Section
321xy
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des aires et positions des centres de gravité locaux (yᵢ) :

\[ \begin{aligned} A_1 &= 300 \cdot 50 = 15000 \, \text{mm}^2 \\ y_1 &= 25 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_2 &= 50 \cdot 250 = 12500 \, \text{mm}^2 \\ y_2 &= 50 + \frac{250}{2} = 175 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_3 &= 300 \cdot 50 = 15000 \, \text{mm}^2 \\ y_3 &= 300 + \frac{50}{2} = 325 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Calcul du centre de gravité global :

\[ \begin{aligned} \bar{y} &= \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2 + A_3 y_3}{A_1 + A_2 + A_3} \\ &= \frac{(15000 \cdot 25) + (12500 \cdot 175) + (15000 \cdot 325)}{15000 + 12500 + 15000} \\ &= \frac{375000 + 2187500 + 4875000}{42500} \\ &= \frac{7437500}{42500} \\ &= 175 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position du Centre de Gravité Global
GxGy_bar = 175
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le calcul confirme que le centre de gravité se situe exactement à mi-hauteur de la section, ce qui était attendu en raison de la double symétrie de la poutre en I. Cet axe horizontal passant par G est l'axe neutre de la section, autour duquel la flexion se produit.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de mal définir le repère de référence ou de se tromper dans le calcul des distances \(y_i\) des centres de gravité locaux par rapport à ce repère. Un schéma clair avec toutes les cotes est indispensable pour éviter ces erreurs.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Toujours définir un repère de référence.
  • Décomposer la section en formes simples.
  • Calculer l'aire et la position du centroïde de chaque forme simple.
  • Appliquer la formule du barycentre pondéré par les aires.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les sections en béton armé, on calcule le centre de gravité de la section "homogénéisée". On convertit fictivement l'aire des aciers en une aire équivalente de béton en la multipliant par le rapport des modules d'élasticité. Cela permet de trouver l'axe neutre réel de la section composite béton-acier.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la section n'est pas symétrique ?

La méthode de calcul reste exactement la même. La seule différence est que le résultat ne sera pas trivial. Pour une section en "T" par exemple, le centre de gravité sera beaucoup plus proche de la semelle supérieure, car c'est là que se concentre la majorité de l'aire.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le centre de gravité de la section se trouve à \(\bar{y} = 175 \, \text{mm}\) de la base.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour un simple rectangle de 100 mm de base et 200 mm de hauteur, où se trouve \(\bar{y}\) par rapport à sa base ?

Question 2 : Calculer le moment quadratique de chaque partie

Principe (le concept physique)

Avant d'assembler la section, nous devons connaître la résistance intrinsèque à la flexion de chaque composant rectangulaire autour de son propre centre de gravité. C'est le moment quadratique "propre" de chaque partie.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule \(I = bh^3/12\) provient de l'intégration de \(y^2 dA\) sur une surface rectangulaire, où l'origine est au centre de gravité. L'intégrale de \(y^2\) de \(-h/2\) à \(+h/2\) donne le terme \(h^3/12\), montrant la très forte influence de la hauteur sur la rigidité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Faites très attention à la puissance 3 sur la hauteur \(h\). Cela signifie que doubler la hauteur d'une poutre la rend 8 fois plus rigide, tandis que doubler sa largeur ne fait que la rendre 2 fois plus rigide. C'est pourquoi les poutres sont toujours plus hautes que larges.

Normes (la référence réglementaire)

Les propriétés des sections normalisées (comme les profilés IPE, HEA, etc.) sont tabulées dans des manuels de construction. Les valeurs de \(I_{Gx}\) qui y sont listées sont calculées exactement avec la méthode de cet exercice.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour un rectangle de base \(b\) et de hauteur \(h\), le moment quadratique par rapport à son axe centroïdal horizontal est :

\[ I_{G,i} = \frac{b_i h_i^3}{12} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Chaque partie (semelle, âme) est considérée comme un rectangle parfait.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Semelle (1 et 3) : \(b=300 \, \text{mm}\), \(h=50 \, \text{mm}\)
  • Âme (2) : \(b=50 \, \text{mm}\), \(h=250 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Puisque les semelles supérieure et inférieure sont identiques, leur moment quadratique propre est le même. Vous n'avez besoin de faire le calcul qu'une seule fois.

Schéma (Avant les calculs)
Moments Quadratiques Propres
IG1=? (Semelle)IG2=? (Âme)
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Semelle inférieure (1) et supérieure (3) :

\[ \begin{aligned} I_{G1} = I_{G3} &= \frac{300 \cdot (50)^3}{12} \\ &= \frac{300 \cdot 125000}{12} \\ &= 3,125,000 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

2. Âme (2) :

\[ \begin{aligned} I_{G2} &= \frac{50 \cdot (250)^3}{12} \\ &= \frac{50 \cdot 15625000}{12} \\ &\approx 65,104,167 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeurs des Moments Quadratiques Propres
IG1 = 3.125e6IG2 ≈ 65.1e6
Réflexions (l'interprétation du résultat)

On constate que l'âme, bien qu'étant la plus haute, a une rigidité propre beaucoup plus grande que les semelles. Cependant, cette comparaison est trompeuse car elle n'inclut pas l'effet de la distance par rapport à l'axe neutre, qui sera pris en compte par le théorème de Huygens.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la base \(b\) et la hauteur \(h\). La dimension perpendiculaire à l'axe de flexion est toujours la hauteur \(h\) et c'est elle qui est élevée à la puissance 3. Pour un calcul de \(I_{Gy}\) (flexion autour de l'axe vertical), les rôles de b et h seraient inversés.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La formule du moment quadratique d'un rectangle est \(bh^3/12\).
  • Cette formule n'est valable que par rapport à l'axe passant par le centre de gravité du rectangle.
  • La hauteur \(h\) a un impact cubique, ce qui la rend prépondérante pour la rigidité.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les charpentiers du Moyen-Âge avaient déjà une compréhension intuitive de ce principe. Ils taillaient les troncs d'arbres en poutres rectangulaires hautes et étroites, sachant empiriquement que cette forme était bien plus efficace pour supporter les planchers que de laisser le tronc rond ou de le tailler en une poutre carrée.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi est-ce divisé par 12 ?

Le facteur 1/12 est le résultat mathématique de l'intégration de la fonction \(y^2\) entre les bornes \(-h/2\) et \(+h/2\). L'intégrale de \(y^2\) est \(y^3/3\). Évaluée entre les bornes, elle donne \(((h/2)^3 - (-h/2)^3)/3 = (h^3/8 - (-h^3/8))/3 = (2h^3/8)/3 = h^3/12\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les moments quadratiques propres sont : \(I_{G1} = I_{G3} = 3.125 \times 10^6 \, \text{mm}^4\) et \(I_{G2} \approx 65.1 \times 10^6 \, \text{mm}^4\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le moment quadratique \(I_{Gy}\) (par rapport à l'axe vertical) de l'âme ?

Question 3 : Appliquer le théorème de Huygens

Principe (le concept physique)

Le théorème de Huygens (ou des axes parallèles) permet de calculer le moment quadratique d'une forme par rapport à un axe qui n'est pas son axe centroïdal. Il ajoute un terme de "transport" qui dépend de l'aire de la forme et du carré de la distance entre les deux axes. C'est l'étape clé pour assembler des sections composées.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le terme de transport \(A \cdot d^2\) représente la contribution à la rigidité due au simple fait d'éloigner une surface de l'axe de rotation. Le théorème montre que le moment quadratique par rapport à un axe est minimal lorsque cet axe passe par le centre de gravité de la section. Tout autre axe parallèle engendrera un moment quadratique plus grand.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le terme \(A \cdot d^2\) est souvent la contribution la plus importante au moment quadratique total pour les sections comme les poutres en I. C'est le cœur du principe de conception de ces profilés : maximiser la distance \(d\) pour les surfaces \(A\) les plus grandes (les semelles).

Normes (la référence réglementaire)

Le théorème de Huygens est un principe fondamental de la mécanique, et non une norme en soi. Cependant, son application correcte est implicitement requise par toutes les normes de calcul structural qui impliquent des sections composées.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le moment quadratique de la partie \(i\) par rapport à l'axe global \(Gx\) est :

\[ I_{Gx, i} = I_{G,i} + A_i d_i^2 \]

où \(d_i = |\bar{y} - y_i|\) est la distance entre le centroïde global et le centroïde local de la partie \(i\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

L'axe de transport (l'axe centroïdal global Gx) doit être parallèle à l'axe de départ (l'axe centroïdal local de la partie).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Valeurs de \(A_i\) et \(y_i\) de la Q1.
  • Valeurs de \(I_{G,i}\) de la Q2.
  • Centroïde global \(\bar{y} = 175 \, \text{mm}\).
Astuces(Pour aller plus vite)

La distance de transport \(d_i\) pour toute partie dont le centre de gravité est déjà sur l'axe centroïdal global est nulle. C'est le cas de l'âme ici, ce qui simplifie le calcul pour cette partie.

Schéma (Avant les calculs)
Distances de Transport de Huygens
GxG1G3d1=?d3=?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des distances de transport \(d_i\):

\[ d_1 = |175 - 25| = 150 \, \text{mm} \]
\[ d_2 = |175 - 175| = 0 \, \text{mm} \]
\[ d_3 = |175 - 325| = 150 \, \text{mm} \]

2. Application de Huygens pour chaque partie :

\[ \begin{aligned} I_{Gx, 1} &= I_{G1} + A_1 d_1^2 \\ &= 3,125,000 + (15000 \cdot 150^2) \\ &= 3,125,000 + 337,500,000 \\ &= 340,625,000 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_{Gx, 2} &= I_{G2} + A_2 d_2^2 \\ &= 65,104,167 + (12500 \cdot 0^2) \\ &= 65,104,167 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_{Gx, 3} &= I_{G3} + A_3 d_3^2 \\ &= 3,125,000 + (15000 \cdot 150^2) \\ &= 340,625,000 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Moments Quadratiques Transportés
Semelle inf. (1):IG1+A₁d₁²⇒IGx,1Âme (2):IG2+A₂d₂²⇒IGx,2Semelle sup. (3):IG3+A₃d₃²⇒IGx,3
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Notez que le terme de transport (\(A d^2\)) pour les semelles est plus de 100 fois plus grand que leur moment quadratique propre. Cela montre que la majeure partie de la rigidité d'une poutre en I provient du fait que ses semelles (qui ont une grande surface) sont placées loin de l'axe neutre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de mettre la distance \(d\) au carré. Le théorème de Huygens dépend du carré de la distance, ce qui le rend très sensible à l'éloignement de l'axe. Une autre erreur est d'utiliser une distance qui n'est pas mesurée à partir du centre de gravité de la sous-section.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le théorème de Huygens a deux composantes : l'inertie propre (\(I_G\)) et le terme de transport (\(Ad^2\)).
  • La distance \(d\) est toujours la distance entre l'axe centroïdal global et l'axe centroïdal local.
  • Le théorème n'est valable que pour des axes parallèles.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le théorème a été formulé par le physicien et astronome néerlandais Christiaan Huygens au 17ème siècle, bien avant son application systématique en génie civil. Il l'a développé dans le cadre de ses études sur l'oscillation des pendules composés.

FAQ (pour lever les doutes)
Puis-je utiliser Huygens pour aller d'un axe quelconque à un autre axe quelconque ?

Non. Le théorème de Huygens ne fonctionne que si l'un des deux axes est un axe centroïdal. Pour passer d'un axe A à un axe B (aucun n'étant centroïdal), il faut d'abord "revenir" de A au centre de gravité G (\(I_G = I_A - Ad_A^2\)), puis "repartir" de G à B (\(I_B = I_G + Ad_B^2\)).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les moments quadratiques transportés sont : \(I_{Gx,1} = I_{Gx,3} = 340.625 \times 10^6 \, \text{mm}^4\) et \(I_{Gx,2} \approx 65.1 \times 10^6 \, \text{mm}^4\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on déplaçait la semelle supérieure de 50 mm vers le haut, quelle serait la nouvelle distance de transport \(d_3\) ?

Question 4 : Calculer le moment quadratique total

Principe (le concept physique)

Le moment quadratique total de la section composée est simplement la somme des moments quadratiques de ses parties, à condition que tous soient calculés par rapport au même axe de référence : l'axe centroïdal global \(Gx\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce principe d'additivité est une conséquence de la nature intégrale du moment quadratique. L'intégrale sur la surface totale est égale à la somme des intégrales sur les sous-surfaces qui la composent. Le théorème de Huygens est l'outil qui nous permet de ramener toutes ces intégrales au même système de coordonnées avant de les sommer.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'aboutissement de tout le processus. Cette valeur finale, \(I_{Gx}\), est l'une des caractéristiques les plus importantes d'un profilé. C'est elle qui sera utilisée dans les formules de calcul de la flèche (\(f = \frac{5qL^4}{384EI}\)) et de la contrainte de flexion (\(\sigma = \frac{M_f}{I}y\)). Une petite erreur sur \(I\) peut avoir de grandes conséquences sur le dimensionnement.

Normes (la référence réglementaire)

Les catalogues de produits de construction en acier (comme ArcelorMittal) fournissent des tableaux complets avec les caractéristiques géométriques de tous les profilés standards, y compris \(I_{Gx}\) (souvent noté \(I_y\) dans leurs tables). Ces valeurs sont garanties par le fabricant et utilisées directement par les ingénieurs dans leurs logiciels de calcul.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ I_{Gx, \text{total}} = \sum I_{Gx, i} = I_{Gx,1} + I_{Gx,2} + I_{Gx,3} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section est monolithique, c'est-à-dire que les trois parties sont parfaitement solidaires et se déforment ensemble. C'est le rôle des soudures ou du boulonnage dans une poutre réelle.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(I_{Gx,1} = 340,625,000 \, \text{mm}^4\)
  • \(I_{Gx,2} = 65,104,167 \, \text{mm}^4\)
  • \(I_{Gx,3} = 340,625,000 \, \text{mm}^4\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les sections symétriques, on peut simplifier le calcul : \(I_{Gx, \text{total}} = I_{Gx, \text{âme}} + 2 \times I_{Gx, \text{semelle}}\). Cela réduit le nombre de termes à additionner et limite les risques d'erreur.

Schéma (Avant les calculs)
Sommation des Moments Quadratiques
IGx,1+IGx,2+IGx,3IGx,total = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} I_{Gx, \text{total}} &= 340,625,000 + 65,104,167 + 340,625,000 \\ &= 746,354,167 \, \text{mm}^4 \\ &\approx 7.46 \times 10^8 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Moment Quadratique Final de la Section
GxIGx ≈ 7.46e8 mm⁴
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur finale représente la rigidité de la poutre en flexion. Plus elle est élevée, plus la poutre sera capable de supporter des charges importantes avec une faible flèche. On remarque que les semelles contribuent à \( (2 \cdot 340.6) / 746.3 \approx 91\% \) de la rigidité totale, ce qui justifie l'efficacité de la forme en I : concentrer la matière loin de l'axe neutre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que toutes les unités sont cohérentes (généralement mm et mm⁴) avant de faire la somme finale. Une erreur d'unité sur un seul des composants faussera complètement le résultat final.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment quadratique total est la somme des moments quadratiques de chaque partie.
  • Chaque moment quadratique partiel doit être calculé par rapport au même axe global.
  • Le théorème de Huygens est l'outil indispensable pour effectuer cette opération.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La Tour Eiffel est une application magistrale de ce principe à grande échelle. Sa forme évasée à la base place la majorité de la matière loin de l'axe central de la structure, lui conférant une immense rigidité pour résister aux forces du vent avec une quantité d'acier relativement faible pour sa hauteur.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment faire pour une section avec un trou ?

Pour une section creuse, on utilise le principe de soustraction. On calcule le moment quadratique de la forme pleine extérieure, puis on calcule le moment quadratique de la forme du trou (en utilisant Huygens si nécessaire pour le ramener au même axe). On soustrait ensuite le moment quadratique du trou à celui de la forme pleine.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment quadratique total de la section est \(I_{Gx} \approx 7.46 \times 10^8 \, \text{mm}^4\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'on remplaçait cette poutre en I par une poutre rectangulaire pleine de mêmes dimensions extérieures (300x350 mm), quel serait son moment quadratique \(I_{Gx}\) (en \(10^8\) mm⁴) ?

Outil Interactif : Optimisez votre Poutre

Modifiez les dimensions de la section en I pour voir leur influence sur le moment quadratique. Essayez de maximiser la rigidité (\(I_{Gx}\)) pour une aire de section (quantité de matière) constante.

Paramètres d'Entrée (mm)
350 mm
300 mm
50 mm
50 mm
Résultats Clés
Aire Totale (mm²)-
Moment Quadratique \(I_{Gx}\) (x10⁶ mm⁴)-
Ratio Rigidité/Aire-

Le Saviez-Vous ?

La forme en "I" est si répandue pour les poutres en acier car elle est extrêmement efficace. Les semelles (les parties horizontales larges) sont placées le plus loin possible de l'axe neutre, là où les contraintes de flexion sont maximales. Elles fournissent ainsi une rigidité maximale (\(A \cdot d^2\)) pour une quantité de matière minimale. L'âme (la partie verticale) sert principalement à connecter les semelles et à reprendre les efforts de cisaillement.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi le moment quadratique est-il en mm⁴ ?

Le moment quadratique est défini par l'intégrale de \(y^2 \cdot dA\). Puisque \(y\) est une distance (en mm) et \(dA\) est une aire élémentaire (en mm²), le produit est en mm⁴. C'est une grandeur purement géométrique qui n'a pas de sens physique direct, mais qui est un facteur de proportionnalité essentiel dans les équations de la flexion et de la déformation.

Quelle est la différence avec le moment d'inertie en physique ?

Le moment d'inertie en physique (ou moment d'inertie de masse), souvent noté J, mesure la résistance d'un corps à la rotation et s'exprime en kg·m². Le moment quadratique (ou moment d'inertie de surface), noté I, mesure la résistance d'une section à la flexion et s'exprime en m⁴. Bien que les noms soient similaires, ils décrivent des concepts physiques très différents.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la hauteur d'une poutre rectangulaire, son moment quadratique \(I_{Gx}\) est multiplié par :

2. Dans le théorème de Huygens, \(I = I_G + Ad^2\), le terme \(Ad^2\) est toujours :

Axe Neutre
Dans une poutre soumise à la flexion, c'est la ligne de fibres qui ne subit ni allongement ni raccourcissement, et donc aucune contrainte normale. Pour une flexion simple, il passe par le centre de gravité de la section.
Moment Statique
Propriété géométrique d'une surface, calculée comme le produit de l'aire de la surface par la distance de son centroïde à un axe donné. Il est utilisé pour calculer la position du centre de gravité et les contraintes de cisaillement.
Semelle et Âme
Dans une poutre en I ou en H, les "semelles" sont les éléments horizontaux larges en haut et en bas. L'"âme" est l'élément vertical qui les relie.
Calcul du Moment Quadratique d’une Poutre en RDM

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