Calcul du Moment Quadratique d’une Poutre
📝 Situation du Projet
Vous intégrez le Bureau d'Études Structure (BES) mandaté pour la conception du complexe industriel de pointe "Omega-Heavy", situé en zone sismique modérée. Ce bâtiment R+2 est destiné à accueillir une chaîne de production de composants aéronautiques de haute précision. La spécificité du projet réside dans le plancher technique du premier étage : il doit supporter des machines-outils vibrantes pesant jusqu'à 15 tonnes, nécessitant une rigidité structurelle exceptionnelle pour éviter toute résonance nuisible à la précision d'usinage (tolérance < 0.05 mm).
Les contraintes architecturales de hauteur sous plafond (plénums techniques pour la ventilation) interdisent l'utilisation de poutres en béton armé classiques, trop encombrantes. L'option retenue est une structure métallique. Cependant, pour optimiser le poids propre et répondre aux sollicitations asymétriques induites par le coulage futur d'une dalle collaborante, l'ingénieur en chef a prescrit l'usage de Poutres Reconstituées Soudées (PRS) à section asymétrique. Contrairement aux profils standards laminés (IPE, HEA), ces poutres sont fabriquées sur mesure en atelier par assemblage de tôles d'acier (oxycoupage et soudage), permettant de placer la matière exactement là où la mécanique l'exige. Votre expertise est requise pour valider les caractéristiques géométriques de cette "colonne vertébrale" du plancher avant le lancement de la fabrication.
En tant qu'Ingénieur Structure Calculateur, votre tâche critique est de déterminer avec une précision absolue le Moment Quadratique (Inertie) de la section autour de son axe fort de flexion. Cette valeur \( I_{\text{Gz}} \) est la donnée fondamentale qui conditionnera le calcul des flèches (déformations) sous charges d'exploitation et la vérification des contraintes normales de flexion. Une erreur à cette étape compromettrait la stabilité de l'ensemble du plancher technique.
"Attention, ne confondez pas le centre géométrique de la hauteur totale avec le centre de gravité réel \( G \). L'asymétrie des semelles déplace l'axe neutre. Une erreur sur la position de \( G \) entraînera une erreur quadratique fatale pour la vérification au déversement."
Pour mener à bien cette étude, vous disposez des spécifications techniques issues du CCTP (Cahier des Clauses Techniques Particulières). L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif et matériel du projet. La section est constituée d'acier de construction standard, assemblé par soudage automatique sous flux.
📚 Référentiel Normatif & Théorique
Les calculs doivent être menés conformément aux principes suivants :
Eurocode 3 (EN 1993-1-1) : Calcul des structures en acierHypothèse de Navier-Bernoulli (Sections planes restent planes)| ACIER DE CONSTRUCTION S355 | |
| Nuance d'Acier | S355 JR |
| Limite Élastique (\(f_y\)) | \( 355 \text{ MPa} \) (N/mm²) |
| Module de Young (\(E\)) | \( 210\,000 \text{ MPa} \) |
| Masse Volumique (\(\rho\)) | \( 7850 \text{ kg/m}^3 \) |
| Coefficient de Poisson (\(\nu\)) | \( 0.3 \) |
*Ces données matériaux sont fournies à titre indicatif pour la complétude du dossier technique, bien que le calcul d'inertie soit purement géométrique.*
📋 Nomenclature des Plats
La section est composée des trois tôles plates suivantes, soudées en "I" :
| Élément | Repère | Largeur \(b\) (mm) | Hauteur/Épaisseur \(h\) (mm) |
|---|---|---|---|
| Semelle Supérieure | 1 | 200 | 15 |
| Âme | 2 | 10 (ép.) | 400 (haut.) |
| Semelle Inférieure | 3 | 300 | 20 |
Note Importante : L'origine du repère \( (O, y, z) \) pour les calculs est fixée arbitrairement à la base de la semelle inférieure (fibre la plus basse de la poutre). L'axe \( z \) est l'axe horizontal, l'axe \( y \) est l'axe vertical ascendant.
E. Protocole de Résolution
Pour déterminer l'inertie de cette section composée complexe, nous ne pouvons pas appliquer une formule directe. Nous devons procéder par la méthode des sections composées.
Discrétisation & Caractéristiques Locales
Découpage de la section en 3 rectangles simples. Calcul de l'aire \( A_i \) et de la position du centre de gravité local \( y_i \) de chaque rectangle par rapport à la base.
Position du Centre de Gravité Global (G)
Utilisation du théorème du moment statique pour trouver l'ordonnée \( y_G \) de l'axe neutre de l'ensemble de la section.
Théorème de Huygens (Transport)
Calcul de l'inertie propre \( I_{\text{oz},i} \) de chaque rectangle et transfert de cette inertie au centre de gravité global \( G \) via le terme de transport \( A_i \cdot d_i^2 \).
Sommation & Validation
Somme des inerties transportées pour obtenir \( I_{\text{Gz}} \) total et vérification de la cohérence physique des résultats.
Calcul du Moment Quadratique d’une Poutre
🎯 Objectif
L'objectif de cette première étape est de préparer le calcul global en isolant chaque composant élémentaire de la poutre. Une section complexe comme un PRS (Poutre Reconstituée Soudée) ne possède pas de formule d'inertie directe. Nous devons donc la décomposer en formes géométriques simples (ici des rectangles) dont nous maîtrisons parfaitement les propriétés (Aire, Position du centre). Cette rigueur initiale est indispensable pour éviter les erreurs de bras de levier dans la suite du calcul.
📚 Référentiel
- Géométrie des masses : Décomposition de surfaces complexes.
- Principe de superposition : Une section complexe est la somme de ses parties.
Nous allons adopter une convention de repérage stricte. L'origine des altitudes \( y=0 \) est placée à la fibre inférieure de la semelle basse. C'est un choix arbitraire mais c'est le plus sûr pour éviter de manipuler des coordonnées négatives. Pour chaque rectangle \( i \), nous devons calculer son aire \( A_i \) et l'altitude de son centre propre \( y_i \) par rapport à ce "sol" absolu.
Pour un rectangle homogène de hauteur \( h \) et de largeur \( b \), le centre de gravité se situe géométriquement à mi-hauteur, soit à \( h/2 \) par rapport à sa propre base.
Attention : Dans notre assemblage empilé, l'altitude \( y_i \) du centre d'un rectangle doit être calculée en ajoutant l'épaisseur cumulée de tous les éléments situés en dessous de lui + sa propre demi-hauteur.
📋 Données d'Entrée
- Semelle Inférieure (3) : \( 300 \times 20 \text{ mm} \)
- Âme (2) : \( 10 \times 400 \text{ mm} \)
- Semelle Supérieure (1) : \( 200 \times 15 \text{ mm} \)
Numérotez toujours vos éléments de haut en bas ou de bas en haut et gardez cette numérotation constante tout au long de la note de calcul. Ici, nous utilisons : 1 (Haut), 2 (Milieu), 3 (Bas). Cela facilite la relecture et la détection d'erreurs.
Décomposition de la section en 3 rectangles élémentaires avec repérage des centres locaux.
📝 Calculs Détaillés (Séquentiels)
1. Analyse de la Semelle Inférieure (Repère 3) :
Pour la semelle inférieure, la largeur \( b \) est de \( 300 \text{ mm} \) et la hauteur \( h \) de \( 20 \text{ mm} \). L'aire est le produit direct. Pour l'altitude, comme elle est posée au sol (niveau 0), son centre est simplement à la moitié de son épaisseur.
Calcul de l'Aire \( A_3 \)C'est l'élément le plus massif de la structure (\( 6000 \text{ mm}^2 \)), situé très bas. Il va fortement "tirer" le centre de gravité global vers le bas.
2. Analyse de l'Âme (Repère 2) :
L'âme repose sur la semelle inférieure qui a une épaisseur de \( 20 \text{ mm} \). L'altitude de départ pour l'âme est donc \( 20 \text{ mm} \). Le centre de gravité de l'âme se trouve à mi-hauteur de celle-ci, soit \( 400/2 = 200 \text{ mm} \) au-dessus de son point de départ.
Calcul de l'Aire \( A_2 \)L'âme représente la liaison verticale. Son centre géométrique est situé à mi-hauteur de la structure totale, mais sa faible épaisseur lui donne une aire modérée.
3. Analyse de la Semelle Supérieure (Repère 1) :
Cet élément couronne la structure. Il est posé au sommet de l'âme. Pour trouver son altitude, il faut additionner toutes les hauteurs en dessous : \( 20 \text{ mm} \) (semelle inf) + \( 400 \text{ mm} \) (âme) = \( 420 \text{ mm} \). Le centre est ensuite à la moitié de l'épaisseur de \( 15 \text{ mm} \).
Calcul de l'Aire \( A_1 \)Bien que située très haut (grand bras de levier potentiel), cette semelle est la plus légère (\( 3000 \text{ mm}^2 \)), ce qui limite son influence sur la position du centre de gravité global.
✅ Interprétation Globale
Nous avons numérisé la géométrie de la poutre. Nous disposons maintenant de trois points de masse distincts (\( y_1, y_2, y_3 \)) avec leurs poids respectifs (aires). Ces données brutes sont prêtes pour le calcul barycentrique.
Vérification rapide des altitudes : \( y_3 (10) < y_2 (220) < y_1 (427,5) \). L'ordre croissant est respecté, ce qui confirme que nous avons bien empilé les éléments les uns sur les autres.
Ne confondez pas la hauteur de l'âme (\( 400 \text{ mm} \)) avec la hauteur totale de la poutre (\( 435 \text{ mm} \)). Pour le calcul de \( y_2 \), c'est bien la demi-hauteur de l'âme qu'il faut ajouter au niveau de départ, pas la demi-hauteur totale de la poutre.
🎯 Objectif
Nous cherchons maintenant à déterminer la position exacte du point d'équilibre mécanique de la section complète, noté \( G \). L'ordonnée de ce point, \( y_G \), définit physiquement la position de l'axe neutre élastique. En flexion simple, c'est la ligne où les contraintes sont nulles (ni compression, ni traction). C'est autour de cet axe que la poutre va "tourner" ou fléchir. Trouver \( y_G \) est un pré-requis absolu car c'est lui qui servira d'origine \( (0) \) pour le calcul final de l'inertie.
📚 Référentiel
- Définition du Barycentre : Point pondéré par les masses (ou aires).
- Théorème du Moment Statique : Le moment statique de la section totale est égal à la somme des moments statiques des parties.
La section n'est pas symétrique (la semelle du bas est plus grosse que celle du haut). Par intuition physique, nous savons que le centre de gravité \( G \) ne sera pas au milieu géométrique de la poutre, mais qu'il sera "tiré" vers le bas, là où il y a le plus de matière (la grosse semelle de \( 300 \times 20 \)). Le calcul va nous permettre de quantifier précisément ce décalage vers le bas.
Le centre de gravité est la moyenne des positions \( y_i \) pondérée par les "poids" \( A_i \) de chaque élément. Mathématiquement, l'ordonnée \( y_G \) est le rapport entre le Moment Statique Total (\( S_y \)) et l'Aire Totale (\( A_{\text{tot}} \)).
📋 Données d'Entrée (Issues de l'étape 1)
- Elt 1 (Haut) : \( A_1=3000 \), \( y_1=427,5 \)
- Elt 2 (Milieu) : \( A_2=4000 \), \( y_2=220 \)
- Elt 3 (Bas) : \( A_3=6000 \), \( y_3=10 \)
Ne faites pas le calcul en une seule ligne sur votre calculatrice. Calculez d'abord le numérateur (Moment statique) et le dénominateur (Aire totale) séparément. Cela permet de vérifier les ordres de grandeur intermédiaires et d'éviter les erreurs de parenthèses.
Position de l'axe neutre global G résultant de la pondération des aires.
📝 Calculs Détaillés (Séquentiels)
1. Calcul du Dénominateur (Aire Totale) :
On commence par sommer toutes les aires élémentaires pour connaitre la quantité totale de matière de la section.
Sommation des airesCette valeur représente la surface de section qui résistera au cisaillement et à l'effort normal.
2. Calcul du Numérateur (Moment Statique Total) :
Nous calculons le moment statique pour chaque pièce en multipliant son aire par son altitude \( y_i \), puis nous faisons la somme. C'est le "poids" géométrique de la section par rapport à l'origine 0.
Sommation des moments statiquesNotez l'unité en \( \text{mm}^3 \). Le terme de la semelle supérieure (1.28M) est très fort à cause de son grand bras de levier, même si son aire est faible.
3. Calcul Final de la Position \( y_G \) :
Nous divisons le moment statique (le poids géométrique total) par l'aire totale pour obtenir la distance moyenne pondérée.
Division finaleLe centre de gravité se trouve donc à environ \( 171 \text{ mm} \) du bas de la poutre.
✅ Interprétation Globale
Nous avons localisé l'axe neutre de la poutre. C'est autour de cette altitude précise de \( 170,96 \text{ mm} \) que la flexion va s'opérer.
La hauteur totale de la poutre est \( 20 + 400 + 15 = 435 \text{ mm} \). Le milieu géométrique est à \( 435 / 2 = 217,5 \text{ mm} \).
Nous trouvons \( y_G = 170,96 \text{ mm} \).
Le résultat est inférieur à \( 217,5 \text{ mm} \), ce qui signifie que le centre de gravité est descendu par rapport au milieu. C'est physiquement cohérent car la semelle inférieure est beaucoup plus lourde et large que la supérieure. Le résultat est validé.
Une erreur sur \( y_G \) se répercutera au carré dans l'étape suivante (Huygens). Prenez le temps de vérifier que votre \( y_G \) est compris entre \( y_3 \) et \( y_1 \), et qu'il est plus proche de la semelle la plus grosse.
🎯 Objectif
C'est le cœur du calcul. Nous devons calculer le Moment Quadratique total \( I_{\text{Gz}} \). Le défi est le suivant : nous connaissons l'inertie de chaque rectangle autour de son propre centre, mais nous voulons l'inertie de l'ensemble autour du centre global \( G \). Comme les axes neutres locaux ne coïncident pas avec l'axe neutre global, nous ne pouvons pas simplement additionner les inerties. Nous devons utiliser le Théorème de Huygens (ou théorème des axes parallèles) pour "transporter" l'inertie de chaque élément vers le centre de gravité commun.
📚 Référentiel
- Théorème de Huygens (Steiner) : \( I_{G} = I_{o} + S \cdot d^2 \)
- Inertie rectangulaire propre : \( I_{\text{prop}} = \frac{b h^3}{12} \)
Pour chaque rectangle, l'inertie totale rapportée en \( G \) sera la somme de deux termes :
1. Son inertie propre (sa résistance à la flexion autour de lui-même).
2. Son inertie de transport (liée à l'éloignement de sa masse par rapport à l'axe neutre global). C'est ce terme \( A \cdot d^2 \) qui est prépondérant pour les semelles d'un profilé en I, car c'est lui qui quantifie l'efficacité de la matière placée "loin" du centre.
L'inertie d'un élément \( i \) par rapport à un axe parallèle distant de \( d_i \) est :
\( I_{\text{Gz},i} = I_{\text{propre},i} + A_i \cdot d_i^2 \)
Avec \( d_i = |y_i - y_G| \) (distance entre le centre local et le centre global).
📋 Données d'Entrée
On rappelle la position de l'axe neutre global calculée précédemment : \( y_G = 170,96 \text{ mm} \).
Le terme de distance est élevé au carré \( (y_i - y_G)^2 \). Par conséquent, peu importe le signe de la distance (que l'élément soit au-dessus ou en dessous de \( G \)), le résultat du transport sera toujours positif. Ne vous inquiétez pas du signe de la soustraction.
Visualisation des distances de transport (d) entre les axes locaux et l'axe global.
📝 Calculs Détaillés (Séquentiels)
1. Contribution de la Semelle Supérieure (Repère 1) :
On commence par calculer la distance \( d_1 \) entre le centre local de la semelle (\( 427,5 \text{ mm} \)) et le centre global (\( 170,96 \text{ mm} \)).
Distance à l'axe neutreObservation capitale : L'inertie propre (\( 56 \) milliers) est ridicule par rapport à l'inertie de transport (\( 197 \) millions). C'est la preuve que l'efficacité d'une semelle vient de sa position éloignée, pas de son épaisseur propre.
2. Contribution de l'Âme (Repère 2) :
Même démarche : calcul de la distance \( d_2 \) entre le centre de l'âme (\( 220 \text{ mm} \)) et l'axe neutre global. Ici, la distance est plus faible car l'âme est proche du centre. On calcule ensuite l'inertie propre (attention au cube sur la hauteur de 400mm !) et le transport.
Distance à l'axe neutreContrairement à la semelle, pour l'âme verticale, c'est l'inertie propre (\( 53 \) millions) qui domine, car elle a une grande hauteur \( h \) élevée au cube.
3. Contribution de la Semelle Inférieure (Repère 3) :
Calcul de la distance \( d_3 \). Comme la semelle est en bas (\( 10 \text{ mm} \)) et l'axe neutre plus haut (\( 170,96 \text{ mm} \)), la différence est négative, mais nous prenons la valeur absolue car elle sera élevée au carré.
Distance à l'axe neutreEncore une fois, l'effet de transport est dominant.
✅ Interprétation Globale
Les calculs confirment l'intuition : la semelle supérieure (1) contribue plus à l'inertie totale (\( 197 \cdot 10^6 \)) que la semelle inférieure (\( 155 \cdot 10^6 \)), bien qu'elle soit plus petite ! Pourquoi ? Parce qu'elle est située plus loin de l'axe neutre (\( 256 \text{ mm} \) contre \( 160 \text{ mm} \)). La distance au carré joue un rôle d'amplificateur plus puissant que la masse linéaire.
Ordres de grandeur en millions de \( \text{mm}^4 \) corrects. Les proportions entre les inerties propres et transportées sont logiques.
L'oubli du carré sur la distance \( d \) dans le terme \( A \cdot d^2 \) est l'erreur fatale classique. Vérifiez systématiquement que votre terme de transport est énorme comparé à l'inertie propre pour les semelles.
🎯 Objectif
Nous finalisons l'exercice en sommant les contributions de chaque élément pour obtenir l'inertie totale de la section. Nous exprimons ensuite ce résultat en unités standard (\( \text{cm}^4 \)) pour faciliter la comparaison avec les abaques constructeurs et effectuer une analyse de cohérence physique.
📚 Référentiel
- Principe d'additivité : L'inertie d'un corps composé est la somme des inerties de ses parties (si exprimées au même point).
- Analyse dimensionnelle : Conversion d'unités de puissance 4.
Le résultat final doit être une valeur unique qui résume la rigidité de flexion de toute la poutre. Une fois cette valeur obtenue, nous pourrons la comparer à des profils standards (comme les HEA ou IPE) pour juger si notre conception "sur-mesure" est pertinente. Est-elle plus performante qu'une poutre catalogue ?
L'inertie est additive. \( I_{\text{totale}} = \sum I_{\text{partielles}} \). Attention aux unités lors de la conversion finale : \( 1 \text{ cm} = 10 \text{ mm} \), donc \( 1 \text{ cm}^4 = 10^4 \text{ mm}^4 = 10000 \text{ mm}^4 \).
📋 Données d'Entrée
Inerties partielles calculées à l'étape 3.
Pour passer de \( \text{mm}^4 \) à \( \text{cm}^4 \), décalez la virgule de 4 rangs vers la gauche (division par 10 000).
📝 Calculs Détaillés (Séquentiels)
1. Sommation des inerties partielles :
Nous additionnons simplement les trois valeurs obtenues précédemment.
Calcul de l'inertie totale brute2. Conversion en cm⁴ :
Pour passer de \( \text{mm}^4 \) à \( \text{cm}^4 \), le facteur de conversion est \( 10^{-4} \). On divise donc par 10 000.
Conversion finale✅ Interprétation Globale
La poutre possède une inertie de \( 41\,610 \text{ cm}^4 \). C'est une valeur élevée, typique d'une poutre très rigide capable de reprendre de lourdes charges industrielles. C'est la valeur de référence de notre poutre. Elle servira directement dans la formule de la flèche \( f = \frac{5 q L^4}{384 E I} \).
Comparons ce résultat aux standards :
- Un profilé IPE 500 a une inertie de \( 48\,200 \text{ cm}^4 \) pour une hauteur de \( 500 \text{ mm} \).
- Un profilé HEA 340 a une inertie de \( 36\,600 \text{ cm}^4 \) pour une hauteur de \( 330 \text{ mm} \).
Notre PRS, avec une hauteur totale de \( 435 \text{ mm} \) et une inertie de \( 41\,610 \text{ cm}^4 \), se situe entre les deux. C'est un résultat très cohérent et réaliste pour une poutre de cette gabarit.
Ne vous trompez pas de sens dans la conversion. Passer de \( \text{mm}^4 \) à \( \text{cm}^4 \) réduit le chiffre (on divise), on ne multiplie pas. Une erreur d'un facteur 10 000 rendrait le résultat aberrant.
Synthèse graphique de la répartition des contraintes et masses.
📄 6. Livrable Final (Note de Synthèse)
Ing. Junior
Dir. Technique
ALPES-C
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