Études de cas pratique

EGC

Calcul des Contraintes Principales

Calcul des Contraintes Principales

Comprendre le Cercle de Mohr pour l'Analyse des Contraintes

Le cercle de Mohr est une représentation graphique bidimensionnelle de l'état de contrainte en un point. Il permet de visualiser et de calculer les contraintes normales et tangentielles agissant sur des plans d'orientations variées, ainsi que de déterminer les contraintes principales (maximale et minimale) et la contrainte de cisaillement maximale. En géotechnique, le cercle de Mohr est un outil essentiel pour analyser la stabilité des sols, notamment en relation avec les critères de rupture comme celui de Mohr-Coulomb.

Données de l'étude

Un élément de sol est soumis à un état de contrainte plane. Les contraintes agissant sur des faces orthogonales sont les suivantes (les contraintes de compression sont considérées positives, les contraintes de cisaillement sont positives si elles tendent à faire tourner l'élément dans le sens anti-horaire) :

  • Contrainte normale sur la face x (\(\sigma_x\)) : \(80 \, \text{MPa}\)
  • Contrainte normale sur la face y (\(\sigma_y\)) : \(-40 \, \text{MPa}\) (compression)
  • Contrainte de cisaillement sur la face x, agissant dans la direction y (\(\tau_{xy}\)) : \(30 \, \text{MPa}\)
État de Contrainte sur un Élément de Sol
σx σx σy σy τxy τyx τyx τxy

État de contrainte plane.

Questions à traiter

  1. Calculer les coordonnées du centre (\(C\)) du cercle de Mohr.
  2. Calculer le rayon (\(R\)) du cercle de Mohr.
  3. Déterminer les contraintes principales majeure (\(\sigma_1\)) et mineure (\(\sigma_3\)).
  4. Calculer la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{max}\)) dans le sol.
  5. Déterminer l'angle \(2\theta_p\) que fait le diamètre passant par le point représentant l'état de contrainte sur la face x avec l'axe des \(\sigma\). En déduire l'orientation \(\theta_p\) du plan sur lequel agit la contrainte principale majeure \(\sigma_1\) par rapport à la face sur laquelle agit \(\sigma_x\).
  6. Tracer qualitativement le cercle de Mohr et indiquer les points importants (centre, \(\sigma_1, \sigma_3, \tau_{max}\), et les points représentant l'état de contrainte initial).

Correction : Contraintes de Sol par le Cercle de Mohr

Question 1 : Coordonnées du Centre (\(C\)) du Cercle de Mohr

Principe :

Le centre du cercle de Mohr est situé sur l'axe des contraintes normales (\(\sigma\)) à une abscisse égale à la moyenne des contraintes normales agissant sur deux faces orthogonales.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \]
Données spécifiques :
  • \(\sigma_x = 80 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_y = -40 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} C &= \frac{80 \, \text{MPa} + (-40 \, \text{MPa})}{2} \\ &= \frac{40}{2} \, \text{MPa} \\ &= 20 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le centre du cercle de Mohr a pour abscisse \(C = 20 \, \text{MPa}\).

Question 2 : Rayon (\(R\)) du Cercle de Mohr

Principe :

Le rayon du cercle de Mohr peut être calculé à partir des contraintes \(\sigma_x, \sigma_y\) et \(\tau_{xy}\) en utilisant la formule issue du théorème de Pythagore.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \]
Données spécifiques :
  • \(\sigma_x = 80 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_y = -40 \, \text{MPa}\)
  • \(\tau_{xy} = 30 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} &= \frac{80 - (-40)}{2} = \frac{120}{2} = 60 \, \text{MPa} \\ R &= \sqrt{(60 \, \text{MPa})^2 + (30 \, \text{MPa})^2} \\ &= \sqrt{3600 + 900} \, \text{MPa} \\ &= \sqrt{4500} \, \text{MPa} \\ &\approx 67.082 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le rayon du cercle de Mohr est \(R \approx 67.08 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Contraintes Principales (\(\sigma_1\) et \(\sigma_3\))

Principe :

Les contraintes principales sont les contraintes normales maximale (\(\sigma_1\)) et minimale (\(\sigma_3\)) en un point. Sur le cercle de Mohr, elles correspondent aux intersections du cercle avec l'axe des \(\sigma\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_1 = C + R \] \[ \sigma_3 = C - R \]
Données spécifiques :
  • \(C = 20 \, \text{MPa}\)
  • \(R \approx 67.08 \, \text{MPa}\)
Calcul :

Contrainte principale majeure :

\[ \begin{aligned} \sigma_1 &= 20 \, \text{MPa} + 67.08 \, \text{MPa} \\ &= 87.08 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Contrainte principale mineure :

\[ \begin{aligned} \sigma_3 &= 20 \, \text{MPa} - 67.08 \, \text{MPa} \\ &= -47.08 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 :
  • Contrainte principale majeure : \(\sigma_1 \approx 87.08 \, \text{MPa}\)
  • Contrainte principale mineure : \(\sigma_3 \approx -47.08 \, \text{MPa}\) (compression)

Question 4 : Contrainte de Cisaillement Maximale (\(\tau_{max}\))

Principe :

La contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{max}\)) dans le sol correspond au rayon du cercle de Mohr.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau_{max} = R \]
Données spécifiques :
  • \(R \approx 67.08 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \tau_{max} \approx 67.08 \, \text{MPa} \]

Sur les plans où agit \(\tau_{max}\), la contrainte normale est égale à l'abscisse du centre du cercle, \(C = 20 \, \text{MPa}\).

Résultat Question 4 : La contrainte de cisaillement maximale est \(\tau_{max} \approx 67.08 \, \text{MPa}\).

Question 5 : Orientation des Plans Principaux (\(\theta_p\))

Principe :

L'angle \(2\theta_p\) sur le cercle de Mohr est l'angle entre le diamètre passant par le point représentant l'état de contrainte sur la face x (point \(X(\sigma_x, \tau_{xy})\) avec la convention \(\tau\) positif vers le bas) et l'axe des \(\sigma\). \(\theta_p\) est l'angle de rotation de la face x pour atteindre le plan où agit \(\sigma_1\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y} \]

Un \(2\theta_p\) positif indique une rotation anti-horaire sur le cercle pour atteindre \(\sigma_1\), ce qui correspond à une rotation anti-horaire de \(\theta_p\) sur l'élément réel.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \tan(2\theta_p) &= \frac{2 \cdot (30 \, \text{MPa})}{80 \, \text{MPa} - (-40 \, \text{MPa})} \\ &= \frac{60}{120} \\ &= 0.5 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 2\theta_p &= \operatorname{atan}(0.5) \\ &\approx 26.565^\circ \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \theta_p &= \frac{26.565^\circ}{2} \\ &\approx 13.28^\circ \end{aligned} \]

Le point X sur le cercle (convention \(\tau\) positif vers le bas pour la face x) est \((\sigma_x, \tau_{xy}) = (80, 30)\). Le centre est \(C=20\). Pour aller de X à \(\sigma_1\) (qui est à \(C+R = 87.08\)), on effectue une rotation anti-horaire sur le cercle. Donc, l'angle \(\theta_p\) est une rotation anti-horaire de la face x pour atteindre le plan de \(\sigma_1\).

Résultat Question 5 : L'orientation du plan principal majeur est \(\theta_p \approx 13.28^\circ\) (rotation anti-horaire depuis la face x).

Question 6 : Tracer Qualitatif du Cercle de Mohr

Cercle de Mohr
σ (MPa) τ (MPa) 0 C(20,0) X(80, 30) Y(-40, -30) σ1=87.08 σ3=-47.08 τmax=67.08 (σ=20) 2θp

Le cercle de Mohr montre le centre C, le rayon R, les contraintes principales σ1 et σ3, la contrainte de cisaillement maximale τmax, et les points X et Y représentant l'état de contrainte initial. (Convention de tracé pour ce schéma : τxy positif sur la face x est tracé vers le haut sur le cercle, τyx sur la face y est tracé vers le bas).

Résultat Question 6 : Le cercle de Mohr est tracé qualitativement ci-dessus.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Sur le cercle de Mohr, les contraintes principales sont situées :

2. La contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{max}\)) est égale à :

Glossaire

Cercle de Mohr
Représentation graphique de l'état de contrainte plane en un point, permettant de déterminer les contraintes sur n'importe quel plan passant par ce point.
Contrainte Normale (\(\sigma\))
Composante de la contrainte agissant perpendiculairement à une surface.
Contrainte Tangentielle (de Cisaillement, \(\tau\))
Composante de la contrainte agissant parallèlement à une surface.
Contraintes Principales (\(\sigma_1, \sigma_3\))
Contraintes normales maximale (\(\sigma_1\)) et minimale (\(\sigma_3\)) en un point. Sur les plans où agissent les contraintes principales (plans principaux), la contrainte de cisaillement est nulle.
Contrainte de Cisaillement Maximale (\(\tau_{max}\))
Valeur maximale de la contrainte de cisaillement en un point. Elle est égale au rayon du cercle de Mohr.
État de Contrainte Plane
Condition où les contraintes agissent uniquement dans un plan (par exemple, \(\sigma_z = \tau_{zx} = \tau_{zy} = 0\)).
Contraintes de Sol par le Cercle de Mohr - Exercice d'Application

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