Calcul des Contraintes Principales (Cercle de Mohr)
Contexte : L'état de contrainte, une vision multidirectionnelle de la sécurité.
En Résistance des Matériaux (RdM), un point au sein d'une structure n'est que rarement soumis à une simple traction ou compression. Le plus souvent, il subit une combinaison de contraintes normales et de cisaillement. Le Cercle de MohrUne représentation graphique, inventée par Otto Mohr, qui permet de visualiser l'état de contrainte en un point et de déterminer facilement les contraintes dans n'importe quelle direction, y compris les contraintes principales et le cisaillement maximal. est un outil graphique et analytique indispensable pour l'ingénieur. Il permet de déterminer les contraintes principalesLes contraintes normales maximales et minimales en un point. Dans les directions où elles s'appliquent (les directions principales), la contrainte de cisaillement est nulle. C'est souvent l'une de ces contraintes qui est dimensionnante pour la tenue du matériau., c'est-à-dire les contraintes maximales que subit réellement le matériau, ainsi que l'orientation dans laquelle elles s'appliquent. Cet exercice vous guidera dans la construction et l'interprétation du cercle de Mohr pour analyser la sécurité d'un point critique.
Remarque Pédagogique : Cet exercice passe d'une vision "simple" (contraintes selon les axes x, y) à une vision "absolue" (contraintes maximales, quelle que soit l'orientation). C'est une étape conceptuelle cruciale. Le cercle de Mohr transforme un problème de formules trigonométriques complexes en un problème de géométrie simple (trouver le centre et le rayon d'un cercle), ce qui le rend extrêmement puissant et intuitif.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la notion d'état de contrainte plan.
- Savoir calculer le centre et le rayon du cercle de Mohr.
- Déterminer graphiquement et analytiquement les contraintes principales (\(\sigma_1, \sigma_2\)).
- Calculer l'orientation des plans principaux (\(\theta_p\)).
- Trouver la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{\text{max}}\)).
- Appliquer un critère de résistance (Tresca) pour vérifier la sécurité.
Données de l'étude
État de Contrainte Plane sur un Élément Infinitésimal
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Contrainte normale selon x | \(\sigma_x\) | 80 | \(\text{MPa}\) |
| Contrainte normale selon y | \(\sigma_y\) | -20 | \(\text{MPa}\) |
| Contrainte de cisaillement | \(\tau_{xy}\) | 40 | \(\text{MPa}\) |
| Limite élastique du matériau | \(\sigma_e\) | 250 | \(\text{MPa}\) |
Questions à traiter
- Calculer les coordonnées du centre (C) et la valeur du rayon (R) du cercle de Mohr.
- Déterminer les contraintes principales \(\sigma_1\) (maximale) et \(\sigma_2\) (minimale).
- Calculer l'angle \(\theta_p\) qui définit l'orientation des plans principaux par rapport à l'axe x.
- Déterminer la contrainte de cisaillement maximale \(\tau_{\text{max}}\) et vérifier la sécurité du point M en utilisant le critère de Tresca.
Les bases de l'analyse des contraintes
Avant la correction, rappelons les principes du cercle de Mohr.
1. Le Cercle de Mohr :
C'est une construction graphique dans un plan (\(\sigma\), \(\tau\)). Chaque point sur le cercle représente l'état de contrainte (\(\sigma_n, \tau_n\)) sur une facette d'orientation donnée. Le cercle contient toutes les informations sur les contraintes en un point.
2. Construction et Paramètres :
Le cercle est défini par deux points diamétralement opposés, représentant les contraintes sur les facettes x et y : A(\(\sigma_x, \tau_{xy}\)) et B(\(\sigma_y, -\tau_{xy}\)).
- Le centre C du cercle est sur l'axe \(\sigma\) : \( C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \)
- Le rayon R se calcule par Pythagore : \( R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \)
3. Interprétation :
- Les contraintes principales \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\) sont les intersections du cercle avec l'axe \(\sigma\). Elles valent \(C+R\) et \(C-R\).
- La contrainte de cisaillement maximale \(\tau_{\text{max}}\) est égale au rayon R du cercle.
- Un angle de \(2\theta\) sur le cercle de Mohr correspond à un angle de \(\theta\) dans la réalité physique.
Correction : Calcul des Contraintes Principales (Cercle de Mohr)
Question 1 : Calculer le centre (C) et le rayon (R) du cercle de Mohr
Principe (le concept physique)
Le cercle de Mohr est une "carte" de toutes les combinaisons possibles de contraintes normales et de cisaillement en un point, simplement en faisant tourner le repère d'analyse. Le centre du cercle représente la contrainte normale moyenne, qui reste constante quelle que soit l'orientation. Le rayon représente l'amplitude de la variation des contraintes autour de cette moyenne. Trouver C et R, c'est définir entièrement cette carte.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Les formules du cercle de Mohr sont une transformation géométrique des équations de changement de base du tenseur des contraintes. Le centre C correspond à la trace du tenseur (un invariant), et le rayon est lié au déterminant. Le cercle est donc une méthode visuelle pour résoudre ce système d'équations.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez au centre C comme le "point d'équilibre" des contraintes normales. Le rayon R, quant à lui, est la "quantité de cisaillement" dans le système. S'il n'y a pas de cisaillement (\(\tau_{xy}=0\)), le rayon est simplement la moitié de la différence entre \(\sigma_x\) et \(\sigma_y\).
Normes (la référence réglementaire)
Le concept du cercle de Mohr est une base fondamentale de la mécanique des milieux continus. Il n'est pas une norme en soi, mais les critères de résistance définis dans les normes (comme l'Eurocode 3 pour l'acier) sont fondés sur les valeurs (contraintes principales, cisaillement max) que le cercle de Mohr permet de calculer.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Les formules pour le centre et le rayon sont dérivées directement de la géométrie du cercle, en utilisant les coordonnées des points A(\(\sigma_x, \tau_{xy}\)) et B(\(\sigma_y, -\tau_{xy}\)).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On se place dans le cadre de la mécanique des milieux continus, pour un matériau homogène, isotrope et un comportement élastique linéaire. On analyse un état de contraintes planes.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(\sigma_x = 80 \, \text{MPa}\)
- \(\sigma_y = -20 \, \text{MPa}\)
- \(\tau_{xy} = 40 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Calculez d'abord le terme \((\sigma_x - \sigma_y)/2\), car il est utilisé à la fois dans le calcul du rayon et plus tard pour trouver l'angle. Cela évite de le recalculer. Ici, c'est \((80 - (-20))/2 = 50\) MPa.
Schéma (Avant les calculs)
Points de construction du Cercle de Mohr
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul du centre C :
2. Calcul du rayon R :
Schéma (Après les calculs)
Cercle de Mohr avec Centre et Rayon
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le centre du cercle est à 30 MPa. Cela signifie que la contrainte normale moyenne est de 30 MPa. Le rayon de 64.03 MPa nous indique que les contraintes vont "osciller" de ±64.03 MPa autour de cette valeur moyenne lorsqu'on change l'orientation.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est la convention de signe pour le cisaillement. Pour tracer le cercle, le point représentant la facette x est \((\sigma_x, \tau_{xy})\) et celui de la facette y est \((\sigma_y, -\tau_{xy})\). Une inversion des signes de \(\tau\) conduira à un calcul d'angle incorrect.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le centre C est la moyenne des contraintes normales : \((\sigma_x + \sigma_y)/2\).
- Le rayon R est l'hypoténuse du triangle formé par \((\sigma_x - \sigma_y)/2\) et \(\tau_{xy}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le concept de tenseur, que le cercle de Mohr représente graphiquement en 2D, est utilisé dans de nombreux autres domaines de la physique, comme l'électromagnétisme (tenseur de Maxwell) ou la relativité générale (tenseur d'Einstein).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si \(\tau_{xy}\) était nul, que vaudrait le rayon R en MPa ?
Question 2 : Déterminer les contraintes principales \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\)
Principe (le concept physique)
Les contraintes principales sont les valeurs extrêmes des contraintes normales. Sur le cercle de Mohr, elles correspondent aux points les plus à droite (\(\sigma_1\), la plus grande traction) et les plus à gauche (\(\sigma_2\), la plus grande compression ou la plus faible traction). À ces points, le cercle coupe l'axe horizontal, ce qui signifie que la coordonnée de cisaillement \(\tau\) est nulle. Les plans principaux sont donc les plans où il n'y a pas de cisaillement.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Les contraintes principales sont les valeurs propres (eigenvalues) du tenseur des contraintes. Les directions principales sont les vecteurs propres (eigenvectors) associés. Le cercle de Mohr est une méthode graphique pour trouver ces valeurs propres sans avoir à résoudre le polynôme caractéristique du tenseur.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez que vous "explorez" le point M en changeant d'angle de vue. Les contraintes principales vous donnent la "meilleure" et la "pire" vue en termes de traction/compression. C'est essentiel, car un matériau casse souvent à cause de la contrainte maximale, peu importe sa direction.
Normes (la référence réglementaire)
La plupart des critères de rupture et de plastification pour les matériaux (Tresca, Von Mises, Rankine) sont formulés en fonction des contraintes principales, car ce sont elles qui gouvernent le comportement du matériau, indépendamment du système de coordonnées choisi par l'ingénieur.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Géométriquement, ces points sont simplement le centre plus ou moins le rayon.
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1. Le calcul est une conséquence directe de la géométrie du cercle déjà établie.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Centre, \(C = 30 \, \text{MPa}\) (de Q1)
- Rayon, \(R \approx 64.03 \, \text{MPa}\) (de Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)
Une fois C et R calculés, il s'agit d'une simple addition et soustraction. Pas de piège ici, si ce n'est de bien identifier \(\sigma_1\) comme la plus grande valeur algébrique (\(C+R\)) et \(\sigma_2\) comme la plus petite.
Schéma (Avant les calculs)
Identification de \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\) sur le cercle
Calcul(s) (l'application numérique)
Schéma (Après les calculs)
Valeurs des Contraintes Principales
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Même si la contrainte de traction initiale la plus forte était de 80 MPa (selon x), le matériau subit en réalité une traction maximale de 94.03 MPa dans une autre direction. De même, la compression maximale est de -34.03 MPa. Ce sont ces valeurs extrêmes, et non les valeurs initiales, qui doivent être utilisées pour vérifier la résistance du matériau.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre les contraintes initiales (\(\sigma_x, \sigma_y\)) avec les contraintes principales (\(\sigma_1, \sigma_2\)). Sauf dans le cas où le cisaillement est nul, elles sont différentes. \(\sigma_1\) est toujours algébriquement supérieure à \(\sigma_2\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- \(\sigma_1 = C + R\) est la contrainte normale la plus élevée (traction maximale).
- \(\sigma_2 = C - R\) est la contrainte normale la plus faible (compression maximale).
- Sur les plans où agissent \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\), le cisaillement est nul.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les matériaux fragiles (béton, fonte, verre) sont très sensibles à la traction. Leur rupture est presque toujours gouvernée par la contrainte principale maximale \(\sigma_1\). Une fissure s'amorcera et se propagera perpendiculairement à la direction de \(\sigma_1\).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si \(\sigma_x = 50\), \(\sigma_y = 50\) et \(\tau_{xy}=40\) MPa, que vaudrait \(\sigma_1\) en MPa ? (Indice : que vaut C ?)
Question 3 : Calculer l'orientation des plans principaux (\(\theta_p\))
Principe (le concept physique)
Nous avons trouvé les contraintes maximales, mais il est crucial de savoir dans quelle direction elles s'appliquent. L'angle \(\theta_p\) représente l'inclinaison du plan sur lequel agit \(\sigma_1\) par rapport au plan initial (la facette x). Sur le cercle de Mohr, l'angle entre le point de départ A(\(\sigma_x, \tau_{xy}\)) et le point d'arrivée (\(\sigma_1, 0\)) est \(2\theta_p\). On le trouve par simple trigonométrie dans le triangle rectangle formé par le centre C, le point A et sa projection sur l'axe \(\sigma\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La rotation d'angle \(\theta\) du système de coordonnées physique induit une rotation d'angle \(2\theta\) dans le même sens sur le cercle de Mohr. L'angle \(2\theta_p\) est l'angle nécessaire sur le cercle pour amener le point A(\(\sigma_x, \tau_{xy}\)) sur l'axe horizontal au point (\(\sigma_1, 0\)).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le "2" dans \(2\theta_p\) est la source d'erreur la plus fréquente. Retenez toujours : "l'angle sur le cercle est le double de l'angle dans la réalité". N'oubliez jamais de diviser par deux à la fin !
Normes (la référence réglementaire)
La connaissance de l'orientation des contraintes est fondamentale pour le dimensionnement des matériaux anisotropes comme le bois (dont la résistance est bien plus grande dans le sens des fibres) ou les composites. Les normes de calcul pour ces matériaux imposent de vérifier les contraintes par rapport aux directions matérielles.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Dans le triangle rectangle du cercle de Mohr, la tangente de l'angle \(2\theta_p\) est le rapport du côté opposé (\(\tau_{xy}\)) sur le côté adjacent (\((\sigma_x - C) = (\sigma_x - \sigma_y)/2\)).
Hypothèses (le cadre du calcul)
Le calcul est purement géométrique et ne requiert pas d'hypothèses supplémentaires par rapport à celles déjà énoncées pour la construction du cercle.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(\tau_{xy} = 40 \, \text{MPa}\)
- \((\sigma_x - \sigma_y)/2 = 50 \, \text{MPa}\) (calculé en Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)
Le signe de \(\tau_{xy}\) et de \((\sigma_x - \sigma_y)/2\) vous donne le quadrant de l'angle \(2\theta_p\), ce qui lève toute ambiguïté sur le résultat de l'arctangente. Ici, les deux sont positifs, donc \(2\theta_p\) est dans le premier quadrant (entre 0° et 90°).
Schéma (Avant les calculs)
Angle \(2\theta_p\) sur le Cercle de Mohr
Calcul(s) (l'application numérique)
Schéma (Après les calculs)
Orientation des Plans Principaux
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte de traction maximale de 94.03 MPa ne s'applique pas horizontalement, mais sur un plan incliné de 19.33° (sens anti-horaire) par rapport à l'horizontale. Le plan de la contrainte de compression minimale \(\sigma_2\) est perpendiculaire à celui-ci (à 19.33° + 90°).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Le résultat de \(\arctan\) est généralement entre -90° et +90°. Il faut bien interpréter le signe de \(\tau_{xy}\) et \((\sigma_x-\sigma_y)/2\) pour déterminer le bon quadrant et la direction de rotation (horaire ou anti-horaire).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La rotation physique \(\theta_p\) est la moitié de la rotation \(2\theta_p\) sur le cercle.
- \(\tan(2\theta_p)\) relie directement le cisaillement à la différence des contraintes normales.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En géologie, le cercle de Mohr est utilisé pour analyser les contraintes dans la croûte terrestre et prédire l'orientation des failles. Une faille se forme souvent le long du plan de cisaillement maximal.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour un état de cisaillement pur (\(\sigma_x=0, \sigma_y=0\)), que vaut \(\theta_p\) en degrés ?
Question 4 : Calculer \(\tau_{\text{max}}\) et vérifier la sécurité (Tresca)
Principe (le concept physique)
La contrainte de cisaillement maximale est ce qui tend à faire "glisser" les plans de matière les uns sur les autres. Elle est souvent responsable de la rupture des matériaux ductiles (comme l'acier). Sur le cercle de Mohr, \(\tau_{\text{max}}\) correspond simplement au point le plus haut (ou le plus bas) du cercle, sa valeur est donc égale au rayon R. Le critère de Tresca postule que la ruine du matériau survient lorsque ce cisaillement maximal atteint une valeur critique, qui est la moitié de la limite élastique mesurée en traction simple.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le critère de Tresca, ou critère de la contrainte de cisaillement maximale, est un modèle de plasticité. Il stipule qu'un matériau ductile commence à fluer lorsque la contrainte de cisaillement maximale en un point atteint la contrainte de cisaillement maximale que le matériau peut supporter, généralement déterminée par un essai de traction simple (\(\tau_{\text{lim}} = \sigma_e / 2\)). C'est un critère conservateur et simple à appliquer.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à une pile de pièces de monnaie. Il est très difficile de les écraser (haute résistance à la compression), mais très facile de les faire glisser les unes sur les autres (faible résistance au cisaillement). Les matériaux ductiles se comportent un peu comme ça : leur "point faible" est le glissement le long des plans cristallins, qui est gouverné par le cisaillement.
Normes (la référence réglementaire)
Le critère de Tresca, ainsi que celui de Von Mises (plus précis mais plus complexe), sont les deux critères de plastification les plus utilisés en ingénierie des structures et mécanique, et sont à la base des vérifications de résistance dans les codes de calcul comme les Eurocodes.
Formule(s) (l'outil mathématique)
1. Cisaillement maximal :
2. Critère de Tresca :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le critère de Tresca est applicable au matériau étudié (ce qui est le cas pour l'acier, un matériau ductile). On suppose que la limite élastique \(\sigma_e\) est la même en traction et en compression.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Rayon, \(R \approx 64.03 \, \text{MPa}\) (de Q1)
- Limite élastique, \(\sigma_e = 250 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Le calcul est direct. \(\tau_{\text{max}}\) est simplement le rayon R que vous avez déjà calculé. La seule étape est de le comparer à la moitié de la limite élastique. C'est une vérification rapide et cruciale.
Schéma (Avant les calculs)
\(\tau_{max}\) et Limite de Tresca sur le Cercle
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de \(\tau_{\text{max}}\) :
2. Vérification avec le critère de Tresca :
La condition est vérifiée. Le point est en sécurité.
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Sécurité
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le cisaillement maximal subi par le matériau est de 64.03 MPa. Le critère de Tresca nous dit que le matériau peut endurer un cisaillement de 125 MPa avant de plastifier. Nous avons donc un coefficient de sécurité de 125 / 64.03 ≈ 1.95. C'est une marge de sécurité acceptable dans de nombreuses applications.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre le cisaillement maximal dans le plan (\(\tau_{\text{max, 2D}} = R\)) et le cisaillement maximal absolu (\(\tau_{\text{max, abs}}\)). Si \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\) sont de même signe, le cisaillement maximal absolu est \(\sigma_1/2\) (ou \(|\sigma_2|/2\)) et se produit hors du plan. Ici, comme elles sont de signes opposés, \(\tau_{\text{max, abs}} = R\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le cisaillement maximal dans le plan est égal au rayon du cercle de Mohr.
- Le critère de Tresca compare ce cisaillement maximal à la moitié de la limite élastique.
- C'est un critère fondamental pour la sécurité des matériaux ductiles.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le critère de Von Mises, plus précis, est basé sur l'énergie de distorsion. Il définit une "contrainte équivalente" qui est comparée à \(\sigma_e\). Pour cet exercice, la contrainte de Von Mises serait de \(\sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2} \approx 115.5\) MPa, ce qui est également inférieur à 250 MPa.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec une limite élastique de 100 MPa, le point serait-il toujours en sécurité selon Tresca ?
Outil Interactif : Exploration du Cercle de Mohr
Modifiez les contraintes initiales pour construire et analyser le cercle de Mohr en temps réel.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
L'ingénieur allemand Otto Mohr (1835-1918) a développé sa méthode graphique pour l'analyse des contraintes en 1882. Son cercle est une application directe des équations de transformation des contraintes, mais il a permis aux ingénieurs de l'époque, qui ne disposaient pas de calculatrices, de résoudre des problèmes complexes avec une règle et un compas, révolutionnant ainsi l'ingénierie des structures.
Foire Aux Questions (FAQ)
Le cercle de Mohr fonctionne-t-il en 3D ?
Oui, le concept s'étend en 3D. Pour un état de contrainte tridimensionnel, on peut tracer trois cercles de Mohr dans le plan (\(\sigma, \tau\)), un pour chaque plan principal (1-2, 2-3, 1-3). L'état de contrainte pour n'importe quelle orientation se trouve alors dans la zone délimitée par ces trois cercles.
Pourquoi la convention de signe pour \(\tau\) est-elle parfois différente ?
Il existe deux conventions principales. Celle utilisée ici (axe \(\tau\) vers le bas pour une rotation horaire de la facette) est la plus courante en mécanique et génie civil car elle lie directement la rotation sur le cercle à la rotation physique. D'autres disciplines peuvent utiliser une convention purement mathématique. L'important est de rester cohérent dans ses calculs.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Sur le cercle de Mohr, les contraintes principales se trouvent toujours...
2. Un état de "cisaillement pur" (\(\sigma_x = \sigma_y = 0\)) correspond à un cercle de Mohr...
- Contraintes Principales (\(\sigma_1, \sigma_2\))
- Les contraintes normales maximale et minimale en un point. Elles agissent sur des plans où la contrainte de cisaillement est nulle.
- Cercle de Mohr
- Représentation graphique de l'état de contrainte plan qui permet de visualiser la transformation des contraintes avec l'orientation du plan de coupe.
- Cisaillement Maximal (\(\tau_{\text{max}}\))
- La valeur maximale de la contrainte de cisaillement en un point. Elle est égale au rayon du cercle de Mohr et agit sur des plans orientés à 45° des plans principaux.
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