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Calcul de la Flexion d’une Dalle en Béton Armé

Calcul de la Flexion d’une Dalle en Béton Armé

Calcul de la Flexion d’une Dalle en Béton Armé

Contexte : Comment fonctionne une dalle ?

Une dalle en béton armé est un élément de surface (plancher, toiture) qui supporte des charges réparties sur toute son aire (poids des revêtements, des cloisons, des personnes, etc.). D'un point de vue structurel, une dalle portant dans une seule directionDalle appuyée sur deux côtés opposés, qui fléchit principalement dans la direction perpendiculaire à ces appuis. Elle se calcule comme une série de poutres larges de 1 mètre. se comporte comme une série de poutres rectangulaires très larges et peu hautes, juxtaposées les unes à côté des autres. Pour simplifier le calcul, on isole une "bande" de dalle de 1 mètre de large et on la calcule exactement comme une poutre de section \(b=100 \, \text{cm}\) et de hauteur \(h\) (épaisseur de la dalle). Le ferraillage calculé pour cette bande sera ensuite répété sur toute la largeur de la dalle.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous montrera comment appliquer la méthode de calcul en flexion d'une poutre à une dalle. Nous déterminerons les charges par mètre carré, calculerons le moment fléchissant pour une bande de 1 mètre, et en déduirons le ferraillage principal (dans le sens de la portée) et le ferraillage de répartition (perpendiculaire).

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les charges de calcul à l'ELU par mètre carré (\(p_{Ed}\)).
  • Calculer le moment fléchissant de calcul par mètre linéaire (\(M_{Ed}\)).
  • Dimensionner les armatures principales (\(A_{sx}\)) pour reprendre la flexion.
  • Choisir un ferraillage pratique (diamètre et espacement) et vérifier les règles de l'art.
  • Dimensionner les armatures de répartition (\(A_{sy}\)) perpendiculaires au ferraillage principal.

Données de l'étude

On étudie une dalle de plancher d'un bâtiment de bureaux, simplement appuyée sur deux poutres parallèles. La dalle porte donc dans une seule direction.

Schéma de la dalle et de la bande de calcul
Bande de 1m Portée L = 5.5 m h = 20 cm

Caractéristiques et charges :

  • Épaisseur de la dalle : \(h = 20 \, \text{cm}\)
  • Portée entre appuis : \(L = 5.50 \, \text{m}\)
  • Béton : C25/30 (\(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\))
  • Acier : S500 B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Charges permanentes (poids propre, revêtements, cloisons...) : \(G_k = 6.5 \, \text{kN/m}^2\)
  • Charge d'exploitation (bureaux) : \(Q_k = 2.5 \, \text{kN/m}^2\)
  • Enrobage des armatures : \(c = 2.5 \, \text{cm}\)
  • Coefficients de sécurité : \(\gamma_G=1.35\), \(\gamma_Q=1.5\), \(\gamma_c=1.5\), \(\gamma_s=1.15\).

Questions à traiter

  1. Calculer la charge de calcul à l'ELU par mètre carré, \(p_{Ed}\).
  2. Calculer le moment fléchissant maximal de calcul par mètre linéaire, \(M_{Ed}\).
  3. Déterminer la section d'armatures principales requise par mètre linéaire, \(A_{sx}\).
  4. Proposer un ferraillage pratique (diamètre et espacement) pour les armatures principales.
  5. Calculer et proposer un ferraillage pour les armatures de répartition (\(A_{sy}\)).

Correction : Calcul de la Flexion d’une Dalle en Béton Armé

Question 1 : Calculer la charge de calcul à l'ELU par mètre carré (\(p_{Ed}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
1.35 G_k 1.5 Q_k p_Ed

Le calcul commence par la détermination de la charge totale que chaque mètre carré de la dalle doit pouvoir supporter à l'État Limite Ultime (ELU). Comme pour une poutre, on applique les coefficients de sécurité \(\gamma_G=1.35\) à la charge permanente (\(G_k\)) et \(\gamma_Q=1.5\) à la charge d'exploitation (\(Q_k\)). La seule différence est que ces charges sont surfaciques, exprimées en kilonewtons par mètre carré (kN/m²).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les valeurs des charges permanentes et d'exploitation sont données par les normes (comme l'Eurocode 1). \(G_k\) inclut le poids propre de la dalle, des revêtements de sol (carrelage, parquet), des chapes, des faux-plafonds et des cloisons légères. \(Q_k\) dépend de l'usage du local : elle sera plus faible pour un logement que pour des bureaux, et encore plus élevée pour une zone de stockage ou une bibliothèque.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : L'unité kN/m² est fondamentale pour les dalles. C'est elle qui permet ensuite de passer facilement à une charge par mètre linéaire (kN/m) pour le calcul de notre bande de 1 mètre.

Normes (la référence réglementaire)

La combinaison de charges à l'ELU est définie par la formule (6.10) de l'Eurocode 0 (EN 1990).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère la combinaison fondamentale, en supposant que l'exploitation est la seule action variable. Les charges sont supposées uniformément réparties sur toute la surface de la dalle.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charge de calcul surfacique à l'ELU

\[ p_{Ed} = \gamma_G \cdot G_k + \gamma_Q \cdot Q_k \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(G_k = 6.5 \, \text{kN/m}^2\)
  • \(Q_k = 2.5 \, \text{kN/m}^2\)
  • \(\gamma_G = 1.35\), \(\gamma_Q = 1.50\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la charge ultime surfacique

\[ \begin{aligned} p_{Ed} &= (1.35 \times 6.5 \, \text{kN/m}^2) + (1.50 \times 2.5 \, \text{kN/m}^2) \\ &= 8.775 \, \text{kN/m}^2 + 3.75 \, \text{kN/m}^2 \\ &= 12.525 \, \text{kN/m}^2 \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Chaque mètre carré de la dalle doit être capable de supporter une charge ultime de 12.525 kN (environ 1.25 tonne). C'est cette charge qui va générer la flexion dans la dalle.

Point à retenir : Pour une dalle, la première étape est de calculer la charge ultime par unité de surface (en kN/m²).

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette charge surfacique est la base de tous les calculs de flexion qui suivent. Sans elle, il est impossible de déterminer les efforts dans la dalle.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Confondre les charges surfaciques (en kN/m²) et les charges linéiques (en kN/m). Le passage de l'un à l'autre se fait en multipliant par la largeur de la bande de calcul (1 mètre).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le poids propre d'une dalle de 20 cm est de \(0.20 \, \text{m} \times 25 \, \text{kN/m}^3 = 5 \, \text{kN/m}^2\). Dans notre cas, il représente la majeure partie de la charge permanente (\(G_k = 6.5 \, \text{kN/m}^2\)). Optimiser l'épaisseur d'une dalle est donc un levier économique majeur.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne combine-t-on pas avec le vent ou la neige ?

Pour un plancher intérieur, les charges climatiques comme le vent ou la neige ne s'appliquent pas directement. Elles sont appliquées sur la toiture et les façades, et leurs effets sont transmis aux dalles via les poutres et poteaux. Pour un calcul de dalle simple, on ne considère que les charges qui s'appliquent directement dessus.

Résultat Final : La charge de calcul à l'ELU est \(p_{Ed} = 12.53 \, \text{kN/m}^2\).

À vous de jouer : Quelle serait la charge \(p_{Ed}\) (en kN/m²) si la charge d'exploitation était de \(3.0 \, \text{kN/m}^2\) ?

Question 2 : Calculer le moment fléchissant maximal de calcul par mètre linéaire, \(M_{Ed}\)

Principe avec image animée (le concept physique)
p_Ed x 1m

Pour calculer la dalle, on l'isole en une bande de 1 mètre de large. La charge surfacique \(p_{Ed}\) (en kN/m²) devient alors une charge linéique en la multipliant par cette largeur de 1 mètre. On obtient une charge en kN/m, et on se retrouve avec le cas classique d'une poutre de 1 mètre de large sur deux appuis, pour laquelle on peut appliquer la formule du moment maximal \(M = pL^2/8\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette "méthode de la bande" est la base du calcul des dalles portant dans une seule direction. Le résultat du calcul, un moment en kNm par mètre (kNm/m), sera utilisé pour déterminer une section d'acier en cm² par mètre (cm²/m). Cela se traduira sur le chantier par des barres d'un certain diamètre espacées d'une certaine distance.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le passage de la charge surfacique à la charge linéique est simple car on multiplie par 1, mais il est conceptuellement essentiel. Ne l'oubliez pas dans votre raisonnement.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des dalles comme des poutres larges est la méthode standard décrite dans tous les manuels de béton armé et est conforme aux principes de l'Eurocode 2.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la dalle est simplement appuyée, sans encastrement sur les poutres porteuses. C'est une hypothèse courante et sécuritaire.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Moment maximal par mètre linéaire

\[ M_{Ed} = \frac{(p_{Ed} \times 1\,\text{m}) \cdot L^2}{8} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(p_{Ed} = 12.525 \, \text{kN/m}^2\)
  • \(L = 5.50 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du moment maximal

\[ \begin{aligned} M_{Ed} &= \frac{(12.525 \, \text{kN/m}^2 \times 1.0 \, \text{m}) \times (5.50 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{12.525 \times 30.25}{8} \\ &= 47.36 \, \text{kN} \cdot \text{m/m} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Chaque "bande" de 1 mètre de notre dalle doit être capable de résister à un moment de flexion de 47.36 kNm en son centre. C'est pour ce moment que nous allons maintenant calculer le ferraillage.

Point à retenir : Le moment dans une dalle se calcule pour une bande de 1m de large, en utilisant la formule classique d'une poutre sur deux appuis.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul du moment est l'étape qui permet de quantifier la flexion dans la dalle. C'est la sollicitation principale qui va dimensionner le ferraillage inférieur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Oublier de mettre la portée \(L\) au carré. C'est l'une des erreurs de calcul les plus fréquentes.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Si la dalle était appuyée sur ses 4 côtés (dalle portant dans deux directions), le calcul serait plus complexe. Le moment serait réparti dans les deux directions, et sa valeur maximale serait plus faible que \(pL^2/8\). On utiliserait alors des abaques ou des logiciels pour déterminer les moments dans chaque direction.

FAQ (pour lever les doutes)
L'unité du moment est "kNm/m". Qu'est-ce que cela signifie ?

Cela signifie "kilonewton-mètre par mètre de largeur". C'est le moment de flexion qui agit sur chaque bande de 1 mètre de la dalle.

Résultat Final : Le moment fléchissant maximal de calcul est \(M_{Ed} = 47.36 \, \text{kN} \cdot \text{m/m}\).

À vous de jouer : Quel serait le moment \(M_{Ed}\) (en kNm/m) pour une portée de 6.0 m ?

Question 3 : Déterminer la section d'armatures principales requise par mètre linéaire, \(A_{sx}\)

Principe avec image animée (le concept physique)
A.N. F_c (Béton) F_s (Acier) z

Le moment de flexion est repris par un couple de forces internes : la compression dans le béton au-dessus de l'axe neutre, et la traction dans les aciers en partie inférieure. Le calcul consiste à déterminer la section d'acier \(A_{sx}\) (en cm²/m) nécessaire pour que la force de traction qu'elle peut générer équilibre le moment appliqué \(M_{Ed}\), en s'appuyant sur le bras de levier interne \(z\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul est identique à celui d'une poutre, mais en considérant une largeur \(b = 100 \, \text{cm}\). La hauteur utile \(d\) est calculée en soustrayant l'enrobage et la moitié du diamètre supposé des barres à l'épaisseur totale de la dalle. Le bras de levier \(z\) est ensuite estimé à \(0.9d\), une approximation sûre pour les dalles courantes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le résultat \(A_{sx}\) sera en cm² par mètre de largeur. C'est la quantité d'acier à répartir sur chaque bande de 1 mètre de la dalle.

Normes (la référence réglementaire)

La méthode de calcul en flexion simple est définie dans la section 6.1 de l'Eurocode 2 (EN 1992-1-1).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On fait une première hypothèse sur le diamètre des aciers principaux (\(\phi_L = 10 \, \text{mm}\)) pour pouvoir calculer la hauteur utile \(d\). Cette hypothèse devra être cohérente avec le choix final de ferraillage.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hauteur utile

\[ d = h - c - \frac{\phi_L}{2} \]

Section d'acier requise par mètre

\[ A_{sx} \ge \frac{M_{Ed}}{0.9 d \cdot f_{yd}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(M_{Ed} = 47.36 \, \text{kN} \cdot \text{m/m}\)
  • \(h = 20 \, \text{cm}\), \(c = 2.5 \, \text{cm}\), \(\phi_L = 1.0 \, \text{cm}\) (hypothèse)
  • \(f_{yd} = 434.78 \, \text{MPa} = 43.48 \, \text{kN/cm}^2\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la hauteur utile \(d\)

\[ \begin{aligned} d &= 20 \, \text{cm} - 2.5 \, \text{cm} - \frac{1.0 \, \text{cm}}{2} \\ &= 17.0 \, \text{cm} \end{aligned} \]

Calcul de la section d'acier \(A_{sx}\)

\[ \begin{aligned} A_{sx} &\ge \frac{47.36 \, \text{kN} \cdot \text{m/m}}{0.9 \times 17.0 \, \text{cm} \times 43.48 \, \text{kN/cm}^2} \\ &\ge \frac{4736 \, \text{kN} \cdot \text{cm/m}}{0.9 \times 17.0 \times 43.48} \\ &\ge \frac{4736}{665.2} \\ &\ge 7.12 \, \text{cm}^2/\text{m} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le calcul nous indique qu'il faut prévoir une section d'acier de 7.12 cm² pour chaque mètre de largeur de la dalle. L'étape suivante consistera à traduire cette exigence en un choix de barres et d'espacements concrets.

Point à retenir : Le calcul d'acier pour une dalle se fait par mètre de largeur, en utilisant les mêmes formules de flexion qu'une poutre.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est le cœur du dimensionnement. Elle quantifie le besoin en matière (acier) pour assurer la résistance de la dalle à la flexion.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Oublier de vérifier les unités. Le moment est en kNm/m, il faut le convertir en kNcm/m pour être cohérent avec les autres unités (cm et kN/cm²).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les dalles, on utilise souvent des treillis soudés plutôt que des barres individuelles. Ce sont des panneaux d'acier pré-assemblés en usine, qui permettent une mise en œuvre beaucoup plus rapide sur le chantier.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'enrobage est-il plus faible que pour une poutre ?

L'enrobage dépend de la classe d'exposition. Pour un plancher intérieur (classe XC1), les conditions sont moins agressives que pour une fondation en contact avec le sol. Un enrobage de 2.5 cm est donc généralement suffisant pour assurer la durabilité.

Résultat Final : La section d'acier principale requise est \(A_{sx} = 7.12 \, \text{cm}^2/\text{m}\).

À vous de jouer : Quelle serait la section d'acier \(A_{sx}\) (en cm²/m) si l'épaisseur de la dalle était de 22 cm ?

Question 4 : Proposer un ferraillage pratique pour les armatures principales

Principe (le concept physique)

Le résultat du calcul (\(A_{sx}\) en cm²/m) doit être transformé en une solution constructible. On choisit un diamètre de barre commercial (par exemple, des barres de 10 mm de diamètre, ou HA 10), on calcule l'aire d'une seule barre, puis on en déduit l'espacement maximal entre les barres pour atteindre la section requise par mètre. On choisit ensuite un espacement pratique, arrondi à l'inférieur, et on vérifie qu'il respecte les limites réglementaires.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'espacement des barres dans une dalle est crucial. Un espacement trop grand ne permettrait pas de bien maîtriser la fissuration du béton entre les barres. C'est pourquoi l'Eurocode 2 impose un espacement maximal (généralement \(2 \times h\) ou 25 cm pour les zones courantes) qui doit être respecté même si le calcul de résistance autoriserait un espacement plus grand.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La formule de l'espacement est \(s \le (A_{\text{barre}} / A_{s,req}) \times 100\). On divise l'aire d'une barre par l'aire totale requise par mètre pour savoir combien de "place" on peut laisser à chaque barre.

Normes (la référence réglementaire)

Les règles sur l'espacement maximal des armatures principales dans une dalle sont données dans la section 9.3.1.1 de l'Eurocode 2.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On choisit d'utiliser des barres de diamètre 10 mm (HA 10), un choix très courant pour les dalles de plancher.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Espacement maximal calculé

\[ s_{\text{calc}} \le \frac{A_{\text{barre}}}{A_{sx}} \times 100 \, (\text{en cm}) \]

Espacement maximal réglementaire

\[ s_{\text{max,dalle}} \le \min(2h \,;\, 250\text{mm}) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(A_{sx} = 7.12 \, \text{cm}^2/\text{m}\)
  • Choix : HA 10, \(A_{\text{barre}} = 0.785 \, \text{cm}^2\)
  • \(h = 200 \, \text{mm}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'espacement maximal

\[ \begin{aligned} s_{\text{calc}} &\le \frac{0.785 \, \text{cm}^2}{7.12 \, \text{cm}^2/\text{m}} \times 100 \, \text{cm/m} \\ &\le 11.0 \, \text{cm} \end{aligned} \]

Vérification de l'espacement réglementaire

\[ \begin{aligned} s_{\text{max,dalle}} &\le \min(2 \times 200\text{mm} \,;\, 250\text{mm}) \\ &\le 250 \, \text{mm} = 25 \, \text{cm} \end{aligned} \]

L'espacement calculé (11.0 cm) est bien inférieur à l'espacement maximal réglementaire (25 cm). On choisit un espacement pratique arrondi à l'inférieur : s = 10 cm.

Schéma en coupe du ferraillage principal
e=10cm Aciers principaux HA 10
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La solution "HA 10 tous les 10 cm" est une prescription de ferraillage claire et facile à mettre en œuvre sur chantier. Elle fournit une section d'acier réelle de \(A_{s,prov} = 0.785 \times (100/10) = 7.85 \, \text{cm}^2/\text{m}\), ce qui est bien supérieur aux 7.12 cm²/m requis.

Point à retenir : Le ferraillage d'une dalle est défini par un diamètre de barre et un espacement, qui doivent satisfaire à la fois le calcul de résistance et les règles d'espacement maximal.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est la traduction concrète du calcul théorique en une instruction directement utilisable sur un plan de ferraillage pour le chantier.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Arrondir l'espacement à la valeur supérieure. Si le calcul donne 11.0 cm, choisir 12 cm ne serait pas sécuritaire car cela fournirait moins d'acier que requis. On arrondit toujours à une valeur pratique inférieure (10 cm dans ce cas).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les espacements des barres dans les dalles sont souvent des multiples de 5 cm (10, 15, 20, 25 cm) pour faciliter le calepinage et la pose sur le chantier. Les plans de ferraillage indiquent "HA10 e=15", ce qui signifie "barres de Haute Adhérence de 10mm de diamètre avec un espacement de 15 cm".

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne vérifie-t-on pas l'espacement minimal ?

Pour les dalles, l'espacement est généralement assez grand pour que le minimum réglementaire (lié à la taille des granulats) soit respecté. Cette vérification devient surtout critique dans les poutres ou poteaux très ferraillés, où les barres sont beaucoup plus proches les unes des autres.

Résultat Final : On adopte un ferraillage principal de barres HA 10 espacées de 10 cm.

À vous de jouer : Quel espacement (en cm) choisiriez-vous si vous utilisiez des barres HA 12 (\(A_{barre} = 1.13 \, \text{cm}^2\)) ?

Question 5 : Calculer et proposer un ferraillage de répartition (\(A_{sy}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
A_sx (principal) A_sy (répartition)

Dans une dalle portant dans un sens, les aciers principaux (\(A_{sx}\)) reprennent la flexion dans la direction de la portée. Cependant, on place aussi un ferraillage minimal dans la direction perpendiculaire. Ce "ferraillage de répartition" (\(A_{sy}\)) n'a pas de rôle structurel majeur en flexion, mais il est essentiel pour maintenir les barres principales à leur bon espacement pendant le bétonnage et pour contrôler la fissuration due au retrait et aux effets thermiques dans le sens transversal.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La quantité d'acier de répartition est généralement un pourcentage de l'acier principal. Pour les dalles, l'Eurocode 2 recommande de prévoir au minimum 20% de la section d'acier principale. Ce ferraillage est placé au-dessus de la nappe principale d'armatures.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Ne jamais oublier le ferraillage de répartition. Une dalle ferraillée dans un seul sens serait très vulnérable à la fissuration dans l'autre direction.

Normes (la référence réglementaire)

La règle des 20% pour les armatures de répartition est donnée dans l'Eurocode 2 (EN 1992-1-1), section 9.3.1.1 (2).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On applique la règle standard de 20% de la section d'acier principale mise en place.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Section d'acier de répartition

\[ A_{sy,min} = 0.20 \cdot A_{sx,prov} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(A_{sx,prov} = 7.85 \, \text{cm}^2/\text{m}\) (calculé avec HA 10 e=10cm)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la section de répartition

\[ \begin{aligned} A_{sy,min} &= 0.20 \times 7.85 \, \text{cm}^2/\text{m} \\ &= 1.57 \, \text{cm}^2/\text{m} \end{aligned} \]

On choisit un ferraillage pratique. Essayons des HA 8 (\(A_{barre} = 0.503 \, \text{cm}^2\)). L'espacement maximal serait \(s \le (0.503 / 1.57) \times 100 = 32 \, \text{cm}\). L'espacement maximal réglementaire pour les aciers de répartition est de \(3.5h = 3.5 \times 20 = 70\) cm ou 350 mm. On choisit donc un espacement pratique de s = 25 cm.

Vue en plan du ferraillage de la dalle
Poutre d'appui Poutre d'appui HA10 e=10cm (A_sx) HA8 e=25cm (A_sy)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La solution "HA 8 tous les 25 cm" est une solution standard pour le ferraillage de répartition. Elle fournit une section réelle de \(A_{s,prov,y} = 0.503 \times (100/25) = 2.01 \, \text{cm}^2/\text{m}\), ce qui est bien supérieur aux 1.57 cm²/m requis.

Point à retenir : Les armatures de répartition sont indispensables et représentent au minimum 20% des armatures principales.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape complète le ferraillage de la dalle en assurant sa bonne tenue dans la direction transversale, même si elle ne porte pas dans ce sens.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Oublier complètement ce ferraillage. C'est une erreur grave qui peut conduire à une fissuration importante et inesthétique de la dalle dans le sens non porteur.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les dalles épaisses comme les radiers de fondation, les armatures de répartition sont aussi appelées "aciers de peau". Ils sont placés près des surfaces pour contrôler la fissuration sur de grandes épaisseurs de béton.

FAQ (pour lever les doutes)
Les aciers de répartition sont-ils toujours placés au-dessus des aciers principaux ?

Oui, pour une dalle simplement appuyée. Les aciers principaux doivent être le plus bas possible pour avoir le plus grand bras de levier. Les aciers de répartition sont donc posés par-dessus, ligaturés à la nappe principale.

Résultat Final : On adopte un ferraillage de répartition de barres HA 8 espacées de 25 cm.

À vous de jouer : Quelle serait la section minimale de répartition \(A_{sy,min}\) (en cm²/m) si l'acier principal était de 10 cm²/m ?

Mini Fiche Mémo : Calcul d'une Dalle en Flexion

Étape Formule Clé & Objectif
1. Charge surfacique \( p_{Ed} = 1.35 G_k + 1.5 Q_k \)
Déterminer la charge ultime par mètre carré.
2. Moment par mètre \( M_{Ed} = p_{Ed} \cdot L^2 / 8 \)
Calculer le moment de flexion pour une bande de 1m.
3. Aciers principaux \( A_{sx} \ge M_{Ed} / (0.9 d \cdot f_{yd}) \)
Calculer la section d'acier principale par mètre.
4. Aciers de répartition \( A_{sy} \ge 0.20 \cdot A_{sx} \)
Calculer la section d'acier transversale minimale.

Outil Interactif : Calculateur de Dalle

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur le ferraillage.

Paramètres
5.5 m
20 cm
Résultats
Moment M_Ed -
Aciers principaux A_sx -
Proposition (HA 10) -

Le Saviez-Vous ?

Pour les très grandes portées, comme dans les ponts, on utilise du "béton précontraint". Avant de mettre la poutre en service, on tend des câbles d'acier à l'intérieur, ce qui la comprime. Cette compression initiale compense la traction qui apparaîtra sous l'effet des charges, permettant de franchir des distances beaucoup plus grandes avec moins de matière.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi calcule-t-on la poutre à l'ELU et pas à l'ELS ?

On calcule principalement les armatures à l'ELU pour garantir que la poutre ne se rompra pas sous des charges extrêmes (sécurité des personnes). On effectue ensuite des vérifications à l'ELS (fissuration, déformation) pour s'assurer que la poutre reste en bon état et confortable en conditions d'utilisation normales (confort des usagers).

Que se passe-t-il si on ne met pas assez d'étriers ?

Un manque d'étriers peut conduire à une rupture fragile et soudaine par effort tranchant. Des fissures inclinées apparaissent près des appuis et se propagent rapidement, menant à l'effondrement de la poutre sans signes avant-coureurs. C'est l'un des modes de rupture les plus dangereux en béton armé.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Le ferraillage principal d'une dalle portant dans un seul sens est placé...

  • Parallèlement aux appuis.
  • Uniquement sur les bords de la dalle.

2. Si on double la portée (L) d'une dalle, le moment de flexion maximal est multiplié par...

Dalle portant dans une direction
Dalle appuyée sur deux côtés opposés, qui fléchit principalement dans la direction perpendiculaire à ces appuis. Elle se calcule comme une série de poutres larges de 1 mètre.
Armatures principales
Ferraillage principal d'une dalle, placé en partie inférieure dans le sens de la portée pour reprendre les efforts de flexion.
Armatures de répartition
Ferraillage secondaire placé perpendiculairement aux armatures principales pour répartir les charges et contrôler la fissuration due au retrait.
Calepinage
Plan détaillé indiquant la position, le diamètre, l'espacement et la forme de chaque barre d'acier dans un élément en béton armé.
Fondamentaux du Génie Civil : Flexion d'une Dalle en Béton Armé

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