Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Flexion d’une Dalle en Béton Armé

Calcul de la Flexion d'une Dalle en Béton Armé

Calcul de la Flexion d'une Dalle en Béton Armé

Comprendre la Flexion des Dalles

Les dalles sont des éléments structuraux plans, généralement horizontaux, dont l'épaisseur est faible par rapport à leurs autres dimensions. Elles sont soumises principalement à des charges perpendiculaires à leur plan, ce qui engendre de la flexion. L'analyse de la flexion des dalles est cruciale en génie civil pour assurer la sécurité et la fonctionnalité des structures (planchers de bâtiments, tabliers de ponts, etc.). Elle permet de déterminer les déformations (flèches) et les efforts internes (moments fléchissants, efforts tranchants) pour dimensionner correctement les armatures dans le cas du béton armé, ou vérifier les contraintes dans d'autres matériaux.

Données de l'étude

On étudie une dalle rectangulaire en béton armé, simplement appuyée sur ses quatre côtés. La dalle est soumise à une charge uniformément répartie sur toute sa surface.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Portée selon x (plus petite dimension, \(a\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • Portée selon y (plus grande dimension, \(b\)) : \(6.0 \, \text{m}\)
  • Épaisseur de la dalle (\(h\)) : \(0.20 \, \text{m}\)
  • Module d'Young du béton (\(E\)) : \(31 \times 10^9 \, \text{Pa} = 31000 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient de Poisson du béton (\(\nu\)) : \(0.2\)

Chargement (ELU - État Limite Ultime) :

  • Charge uniformément répartie (\(q\)) : \(5.0 \, \text{kN/m}^2 = 5000 \, \text{N/m}^2\)

Coefficients pour dalle simplement appuyée sur 4 côtés (pour \(a/b = 4/6 \approx 0.667\)) :

  • Pour le calcul de la flèche maximale au centre (\(w_{max}\)) : \(\alpha = 0.0077\)
  • Pour le moment fléchissant maximal au centre selon x (\(M_{ox}\)) : \(\beta_x = 0.0769\)
  • Pour le moment fléchissant maximal au centre selon y (\(M_{oy}\)) : \(\beta_y = 0.0366\)

Note : Ces coefficients sont issus de tables ou de solutions analytiques (par exemple, méthode de Navier) pour les dalles isotropes simplement appuyées et soumises à une charge uniforme. Ils permettent de simplifier les calculs pour des cas courants.

Schéma de la Dalle et de son Chargement
q (charge) b = 6.0 m a = 4.0 m h = 0.20 m

Dalle rectangulaire simplement appuyée sur ses 4 côtés, soumise à une charge uniformément répartie q.

Questions à traiter

  1. Calculer la rigidité flexionnelle (\(D\)) de la dalle.
  2. Calculer le moment fléchissant maximal au centre de la dalle selon la direction x (\(M_{ox}\)).
  3. Calculer le moment fléchissant maximal au centre de la dalle selon la direction y (\(M_{oy}\)).
  4. Calculer la flèche maximale (\(w_{max}\)) au centre de la dalle.

Calculateur de Rigidité Flexionnelle (D)

Correction : Analyse de la Flexion de la Dalle

Question 1 : Calcul de la rigidité flexionnelle (\(D\))

Principe :

La rigidité flexionnelle \(D\) d'une plaque ou d'une dalle est une mesure de sa résistance à la flexion. Elle dépend du module d'Young \(E\) du matériau, de son coefficient de Poisson \(\nu\), et de l'épaisseur \(h\) de la dalle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[D = \frac{E \cdot h^3}{12(1-\nu^2)}\]
Données spécifiques (unités SI : Pa, m) :
  • \(E = 31 \times 10^9 \, \text{Pa}\)
  • \(h = 0.20 \, \text{m}\)
  • \(\nu = 0.2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} D &= \frac{(31 \times 10^9 \, \text{N/m}^2) \cdot (0.20 \, \text{m})^3}{12(1 - (0.2)^2)} \\ &= \frac{(31 \times 10^9) \cdot 0.008}{12(1 - 0.04)} \\ &= \frac{248 \times 10^6}{12 \times 0.96} \\ &= \frac{248 \times 10^6}{11.52} \\ &\approx 21527777.78 \, \text{N·m} \\ &\approx 21.53 \times 10^6 \, \text{N·m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La rigidité flexionnelle de la dalle est \(D \approx 21.53 \times 10^6 \, \text{N·m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'épaisseur de la dalle double, comment varie sa rigidité flexionnelle D (tous les autres paramètres restant constants) ?

Question 2 : Moment fléchissant maximal au centre selon x (\(M_{ox}\))

Principe :

Pour une dalle rectangulaire simplement appuyée sur ses quatre côtés et soumise à une charge uniformément répartie \(q\), le moment fléchissant maximal au centre dans la direction de la plus petite portée \(a\) (direction x ici) peut être calculé à l'aide d'un coefficient \(\beta_x\) qui dépend du rapport des portées \(a/b\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{ox} = \beta_x \cdot q \cdot a^2\]
Données spécifiques (unités SI : N/m², m) :
  • \(\beta_x = 0.0769\) (donné pour \(a/b \approx 0.667\))
  • \(q = 5000 \, \text{N/m}^2\)
  • \(a = 4.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{ox} &= 0.0769 \cdot (5000 \, \text{N/m}^2) \cdot (4.0 \, \text{m})^2 \\ &= 0.0769 \cdot 5000 \cdot 16 \\ &= 6152 \, \text{N·m/m} \\ &= 6.152 \, \text{kN·m/m} \end{aligned} \]

Note : Les moments dans les dalles sont souvent exprimés par unité de largeur (par exemple, en N·m/m ou kN·m/m).

Résultat Question 2 : Le moment fléchissant maximal au centre selon x est \(M_{ox} \approx 6.15 \, \text{kN·m/m}\).

Question 3 : Moment fléchissant maximal au centre selon y (\(M_{oy}\))

Principe :

De même, le moment fléchissant maximal au centre dans la direction de la plus grande portée \(b\) (direction y ici) est calculé avec un coefficient \(\beta_y\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{oy} = \beta_y \cdot q \cdot a^2\]

Note : la formule utilise \(a^2\) (la plus petite portée au carré) même pour \(M_{oy}\) lorsque les coefficients \(\beta\) sont basés sur cette convention.

Données spécifiques :
  • \(\beta_y = 0.0366\) (donné pour \(a/b \approx 0.667\))
  • \(q = 5000 \, \text{N/m}^2\)
  • \(a = 4.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{oy} &= 0.0366 \cdot (5000 \, \text{N/m}^2) \cdot (4.0 \, \text{m})^2 \\ &= 0.0366 \cdot 5000 \cdot 16 \\ &= 2928 \, \text{N·m/m} \\ &= 2.928 \, \text{kN·m/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le moment fléchissant maximal au centre selon y est \(M_{oy} \approx 2.93 \, \text{kN·m/m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Pour une dalle rectangulaire simplement appuyée, le moment fléchissant est-il généralement plus grand dans la direction de la petite portée ou de la grande portée ?

Question 4 : Flèche maximale (\(w_{max}\)) au centre de la dalle

Principe :

La flèche maximale pour une dalle rectangulaire simplement appuyée sous charge uniforme se produit généralement au centre. Elle est calculée à l'aide d'un coefficient \(\alpha\) qui dépend du rapport \(a/b\) et de la rigidité flexionnelle \(D\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[w_{max} = \alpha \frac{q \cdot a^4}{D}\]
Données spécifiques :
  • \(\alpha = 0.0077\) (donné pour \(a/b \approx 0.667\))
  • \(q = 5000 \, \text{N/m}^2\)
  • \(a = 4.0 \, \text{m}\)
  • \(D \approx 21.53 \times 10^6 \, \text{N·m}\) (calculé à la question 1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} w_{max} &= 0.0077 \cdot \frac{(5000 \, \text{N/m}^2) \cdot (4.0 \, \text{m})^4}{21.53 \times 10^6 \, \text{N·m}} \\ &= 0.0077 \cdot \frac{5000 \cdot 256}{21.53 \times 10^6} \\ &= 0.0077 \cdot \frac{1280000}{21.53 \times 10^6} \\ &= 0.0077 \cdot 0.0594519... \\ &\approx 0.00045778 \, \text{m} \\ &\approx 0.458 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La flèche maximale au centre de la dalle est \(w_{max} \approx 0.458 \, \text{mm}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La rigidité flexionnelle D d'une dalle augmente si :

2. Pour une dalle simplement appuyée sur ses 4 côtés et uniformément chargée, où s'attend-on à trouver la flèche maximale ?

3. Les moments fléchissants dans une dalle sont généralement exprimés en :

Glossaire

Dalle
Élément de structure plan, généralement horizontal, dont l'épaisseur est faible par rapport à ses autres dimensions, et qui est principalement soumis à des charges perpendiculaires à son plan.
Flexion (d'une dalle)
Déformation d'une dalle sous l'effet de charges perpendiculaires à son plan, se traduisant par une courbure et l'apparition de moments fléchissants et d'efforts tranchants.
Rigidité Flexionnelle (\(D\))
Caractéristique d'une plaque ou d'une dalle qui mesure sa résistance à la flexion. \(D = Eh^3 / [12(1-\nu^2)]\).
Module d'Young (\(E\))
Mesure de la rigidité d'un matériau élastique ; rapport entre la contrainte et la déformation longitudinale.
Coefficient de Poisson (\(\nu\))
Rapport entre la déformation transversale et la déformation longitudinale sous l'effet d'une contrainte uniaxiale.
Moment Fléchissant (\(M\))
Effort interne dans une structure soumise à la flexion. Dans une dalle, on distingue les moments \(M_x\), \(M_y\) (flexion) et \(M_{xy}\) (torsion).
Flèche (\(w\))
Déplacement perpendiculaire au plan initial d'une dalle sous l'effet des charges.
Appui Simple
Condition d'appui qui empêche le déplacement perpendiculaire au plan de l'appui mais permet la rotation libre.
Charge Uniformément Répartie (\(q\))
Charge dont l'intensité est constante sur toute la surface considérée (exprimée en force par unité de surface, comme N/m² ou kPa).
Calcul de la Flexion d'une Dalle en Béton Armé

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